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南昌二中2014－2015学年度下学期期末考试
高二数学（理）试卷


一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分）
1．已知集合
A{2,1,0,1,2}
，
B{x|(x1)(x2) 0}
，则
AB
（ ）
A．
{1,0}
B．
{0,1}
C．
{1,0,1}
D．
{0,1,2}

2．若< br>2x5x20
，则
4x
2
4x12|x2|
等于 （ ）
A．
4x5
B．3 C．
3
D．
54x

3. 6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法( )
A.C
9
B.A
9
33

2
C.. A
9
6

D. A
9
·A
3

33
4．4张卡片上分别写有数字1,2,3 ,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张
卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )
1213
A. B. C. D.
3324
5．若不等式
tt2
a
在
t

0,2

上恒成立,则
a
的取值范围是 （ ） < br>t
2
9t
2

1

14
< br>2

1

A.

,1

B.

,

C.

,1

D.

,22



6

613

13


6

6．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙 三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中
正确的是（ ）
Ａ．甲学科总体的方差最小
Ｂ．丙学科总体的均值最小
Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中
Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同
7．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为

全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽
取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
附表：
感染 未感染 总计

错误！未找0．10 0．05 0．025
服用 10 40 50

到引用源。
未服用 20 30 50

错误！未找2．706 3．841 5．024
总计 30 70 100

到引用源。

参照附表，下列结论正确的是（ ）．
A. 在犯错误的概率不超错误！未找到引用源。过 的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫
苗有关”；
B．在犯错误的概率不超错误 ！未找到引用源。过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫
苗无关”；
C．有错误！未找到引用源。的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；
D． 有错误！未找到引用源。的把握认为“小动物是否被感染与有没
D
C
Q
有服用 疫苗无关”．
8．如图1，已知正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
l
D
1
的棱长为
a
，动点
M
、
N
、
Q
分别
B
A
在线段
AD< br>1
,B
1
C,C
1
D
1
上.当三棱锥
Q-BMN
的俯视图如图2所示时，
M
1
1
1
1
三棱锥
Q-BMN
的正视图面积等于（ ）

1
2
A.
a

2
N
C
D

A
B
正视方向
1
图2
图1

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B.
1
2
a
4

2a
2
C.
4
3a
2
D.
4
9．下列四个结论，其中正确的有 （ ）个．
①已知错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。；
②过原点作曲线 错误！未找到引用源。的切线，则切线方程为错误！未找到引用源。（其中错误！未找
到引用源。为自然 对数的底数）；
③已知随机变量错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。
④已知错误！未找到引用源。为正偶数，用数学归纳法证明等式错误！未找到引用源。时，若假设错误！
未找到引用源。时，命题为真，则还需利用归纳假设再证明错误！未找到引用源。时等式成立，即可证明
等式对一切正偶数错误！未找到引用源。都成立．
⑤在回归分析中，常用错误！未找到引用源。来刻画 回归效果，在线性回归模型中，错误！未找到引用源。
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，错误！ 未找到引用源。越接近1，表示回归的效果越好．
A．2 B．3 C．4 D．5

10．考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱，甲从这9条棱中任选一条，乙 从这9条棱中任选一条，
则这两条棱互相垂直的概率为 （ ）
A．
22

81
B．
37

81
C．
44

81
D．
59

81
11．将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到 右每个球依次对应序号为1，2，„，8，若同
颜色的球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4 个蓝球对应序号之和的排列方法种数为
（ ）
A．31 B．27 C．54 D．62

12．在右图所示的电路 中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关
合上时，电路畅通的概 率是 ( )
A．
295512929
B．C． D．
36720

72144


二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。
。（用数字作答）。
14．由数字1，3，4，6，
x
五个数字组成没有重复数字的 五位数，所有这些五位数各位上的数字之和的总
值为2640，则
x
＝
15．已知x为实数，则
y273x5x15
的最大值为

16．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为

三、解答题
17．（本小题满分10分）
已知集合错误！未找到引用源。．
（Ⅰ）若错误！未找到引用源。的充分条件，求错误！未找到引用源。的取值范围；
（Ⅱ）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的取值范围．



2

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18 （本小题满分12分）
甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个 ，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，
乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
（I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（II）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手< br>依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.






19．（本小题满分12分）
已知函 数
f(x)kx3,kR
且
f(x3)0
的解集为
< br>1,1

（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若
a,b,c
是正实数，且

111123
1
，求证：
abc1
。
ka2kb3kc999




20．（本小题满分12分）
为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数x天 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y个 6 12 25 49 95 190

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图，根 据散点图判断：
yabx
与
y=
C
1
e
由）
C
2
x
哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型为最佳？（给 出判断即可，不必说明理
666
x

y

z


(xx)
i
i1
2


(xx) (yy)

(xx)(zz)
iiii
i1i1
3.5
6283 3.5
3
17.5

596.505

12.04






1
6
其中
z
i
lny
i
；
z

z
i

6
i1
（2）根据（1）的判断最佳结果及表中的数据，建立y关于x 的回归方程。
参考公式：
b

(xx)(yy)
iii1
n

(xx)
i
i1
n

aybx

2


21．（本小题满分12分）

3

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如图，在ABC
中，已知
ABC45,
O
在
AB
上，且
OBOC
2
AB,
又
PO
平面
3
A BC,DAPO,DAA
1
2
O
.
PO
（Ⅰ）求证：
PD
⊥平面
COD
；
（Ⅱ）求二面角
BDCO
的余弦值．








22．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)x
2
(1)
k
2lnx(kN
*
)
.
（Ⅰ）讨论函数
f(x)
的单调性；
（Ⅱ）当
k
为 奇数时，
x0
，
nN
*
时，求证：
[f

(x)]
n
2
n1
f

(x
n
)2
n
(2
n
2).



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南昌二中2014－2015学年度下学期期末考试
高二数学（理）试卷参考答案
一．选择题：ABABC AABBC AA
二．填空题
13．31； 14．
x8
； 15．
43
； 16．
1

12
三．解答题
17． 解：（Ⅰ）错误！未找到引用源。
①当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，不合题意;
②当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，由题意知错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
③当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，由错误！未找 到引用源。得错误！未找到引用源。，
此时无解,综上：错误！未找到引用源。
（Ⅱ）错误！未找到引用源。
① 当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，合题意．
② 当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用
源。
③ 当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用
源。
综上述：错误！未找到引用源。时错误！未找到引用源。
18.解：（Ⅰ）设事件错误！未找到引用源。为“两手所取的球不同色”，
则错误！未找到引用源。.
（Ⅱ）依题意，错误！未找到引用源。的可能取值为0,1,2．
左手所取的两球颜色相同的概率为错误！未找到引用源。，
右手所取的两球颜色相同的概率为错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。， 所以Ｘ的分布列为：
错误！未找到引用源。.
19解：（Ⅰ）因为
f(x)k x3
，所以
f(x3)0
Ｘ 0 1 2
等价于
xk

错误！未错误！未错误！未
Ｐ 找到引找到引找到引
得
k0
，且其解集为

xkxk


由
xk
有解，
用源。 用源。 用源。
又
f(x3) 0
的解集为

1,1

，故
k1


111
1
，
又
a,b,c
是正实数，由均值不等式得
a2b3c
111aa2b2b3c3c
a2b3c(a 2b3c)()3
a2b3c2b3ca3ca2b
a2ba3c2 b3c

3()()()32229
2ba3ca3c2b< br>当且仅当
a2b3c
时取等号。
123
也即
abc1
999

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
C
2
x
20. (1)由散点图看出样本点分布在 一条指数函数y=
C
1
e
的周围，于是选择y=
C
1
e
5
4.55
C
2
x

ˆ
a
（2）令Z=lny,则
Z=bX
x 1 2
Z 1.79 2.48
3
3.22
4
3.89
6
5.25

5

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b

(xx)(z
i
i1
6
ii1
6
i
z)

2

(xx)
12.04
0.688
，
azbx
1.122
17.5
ˆ
ˆ
=e
0.688x1.122
得
Z=0.688X1.122
； 则有
y
21．解：（Ⅰ）设
OA1,则POOB2,DA
， 由
DAPO,PO
平面
ABC
，知
DA
⊥平面
1
ABC,DAAO
.从而
DO2,PD2

在
PDO< br>中
PO2
PDO
为直角三角形，故
PDDO
< br>又
OCOB2,ABC45
，
COAB
又
P O
平面
ABC,

POOC,PO,AB
平面
PA B,POABO
，
CO
平面
PAB
．
（Ⅱ）以< br>OC,OB,OP
所在射线分别为
x,y,z
轴，建立直角坐标系如图
则由（Ⅰ）知，
C(2B,P0
,


PD

,
(0,1,1),

BC

0
 (2,2,0),

BD

D
(0,3,1)

PD
平面
COD,

PD

是平面
DCO
的一个法向量，
设平面
BD
的法向量为

n( x,y,z),




nBC0

2x2y0
0

，


,

nBD

3yz0
令
y1
，则
x1, z3,

n(1,1
cos

PD

,


n
PD

,3)
，
|

PD

n
||

n|

13222
211

11

由图可知，二面角
B DCO
的余弦值为
222
11
.

22．解：（Ⅰ）由已 知得
x0
且
f

(x)2x(1)
k
2
x

当
k
为奇数时，则
f

(x) 0
，则
f(x)
在
(0,)
上是增函数；
当
k
为偶数时，则
f

(x)2x
22(x1)(x1)x

x

所以当
x(0,1)
时，
f

(x)0
，当
x(1,)
时，
f

(x) 0

故当
k
为偶数时，
f(x)
在
(0,1)< br>上是减函数，在
(1,)
上是增函数。
（Ⅱ）由已知得，
f
(x)2x
2
x
(x0)
，所以左边=
(2x
2
nn1n
2
x
)2(2x
x
n
)

2
n
(C
1n22n4
C
n 2
1
n1
1
n
xC
n
x
n
x
n4
C
n
x
n2
)

令S=C
1n22n4n2
1
n
n
xC
n
xC
n
x
n4
C
1
1
n
x
n2
倒序相加得
2SC
1
1
24
1
n2
1
n1
1
2
n
(x
n2

x
n2
)C
n
(x
n

x
n 4
)C
n
(
x
n4
x
n4)C
n
(
x
n2
x
n
)
(C< br>12
C
n2n1
n
C
nn
Cn
)
=
2(2
n
2)
，可得
S(2
n
2)
，
所以：
[f

(x)]
n
 2
n1
f

(x
n
)2
n
(2
n
2).
成立。


（Ⅰ）知
2
6
由