变相体罚-绽放歌词

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2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二（下）期中数学 试卷（文科）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合 题目要求的.）
2
1．（5分）（2012•惠州模拟）复数（1﹣i）的虚部为（ ）
A． ﹣2 B． 2 C． ﹣2i D． 2i

考点： 复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．
专题： 计算题．
分析： 按照平方差公式展开，求出复数的实部与虚部即可．
22
解答： 解：因为复数（1﹣i）=1﹣2i+i=﹣2i．
所以复数的虚部为：﹣2．
故选A．
点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．

2．（5分）（2015春•辽宁校级期中）已知i是虚数单位，若
的点在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限
象限

考点： 复数代数形式的混合运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 根据复数的几何意义进行化简求解．
解答： 解：由，得z==
，则z在复平面内对应
C． 第三象限 D． 第四
=1+2i．
对应的坐标为（1，2），位于第一象限，
故选：A
点评： 本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算先进行化简是解决本题的关键．

3． （5分）（2012•黑龙江）在一组样本数据（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），„，（x
n
，y
n
）（n≥2，x
1
，x
2
，„，
x
n
不全相等）的散点图中，若所 有样本点（x
i
，y
i
）（i=1，2，„，n）都在直线y=x+1上，< br>则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．

考点： 相关系数．
专题： 规律型．
分析： 所有样本点（x
i
，y
i
）（ i=1，2，„，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全
正相关，故其相关系数为1．
﹣1 B． 0 C． D． 1

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解答： 解：由题设知，所有样本点（ x
i
，y
i
）（i=1，2，„，n）都在直线y=x+1上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，
故选D．
点评： 本题主要考查样本的相关系数，是简单题．

4．（5分）（2015春•辽宁校级期中）下面给出了关于复数的三种类比推理：
①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则；
②由实数可以比较大小类比得到复数也可以比较大小；
③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义；
其中正确的类比是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③

考点： 类比推理．
专题： 推理和证明．
分析： 由复数的知识和类比推理逐个选项验证可得．
解答： 解：由复数的知识和类比推理可得：
①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则，正确；
②由实数可以比较大小类比得到复数也可以比较大小，错误；
③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，正确；
故选：C
点评： 本题考查类比推理，涉及复数的知识，属基础题．

5．（5分）（2015春•辽宁校级期中）方程
A． 直线 B． 圆

考点： 抛物线的参数方程．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由方程，消去t，可得结论．
表示的曲线是（ ）
C． 椭圆 D． 抛物线
解答： 解：由方程，消去t，可得y=x+1，
2
∴表示的曲线是抛物线，
故选：D．
点评： 本题考查抛物线的参数方程，考查学生的计算能力，比较基础．

6．（5分）（2015春•辽宁校级期中）已知x、y的取值如下表：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
已知y与x线性相关，且回归方程为

，则a=（ ）
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A． 0.3 B． 0.35 C． 0.4 D． 0.45

考点： 线性回归方程．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据 样本中心点满
足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
解答： 解：由题意，=（3+4+5+6）=4.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，
将（4.5，3.5）代入线性回归直线方程是y=0.7x+a，可得3.5=3.15+a，
所以a=0.35．
故选：B．
点评： 本题考查回归分析，考查样本中心点满足 回归直线的方程，考查求一组数据的平均
数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂， 是一个好题．

7．（5分）（2012春•沙坪坝区校级期末）用反证法证明命题“三角 形中最多只有一个内角是
钝角”时，则假设的内容是（ ）
A． 三角形中有两个内角是钝角
B． 三角形中有三个内角是钝角
C． 三角形中至少有两个内角是钝角
D． 三角形中没有一个内角是钝角

考点： 反证法与放缩法．
专题： 应用题．
分析： 用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否 定成立，而命题“三角形中最多只有
一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”， 由此得出结论．
解答： 解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，
而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝
角”，
故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角．
故选C．
点评： 本题主要 考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的
反面，是解题的突破口．

0123
8．（5分）（2015春•辽宁校级期中）如果：在10进制中200 4=4×10+0×10+0×10+2×10，
那么类比：在5进制中数码2004折合成十进制为（ ）
A． 29 B． 254 C． 602 D． 2004

考点： 类比推理．
专题： 计算题．
分析： 本题考查的知识点是类比推理，由10进制的转换方 法类比推理出5进制的转换方法，
5进制与十进制数之间的转换，只要我们根据10进制转换方法逐位进 行转换，即可得到答案．
3
解答： 解：（2004）
5
=2×5+4=254．
故选B．

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点评： 类比推理的一般步骤是： （1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事
物的性质去推测另一类事物的性质，得出一 个明确的命题（猜想）．

2*
9．（5分）（2014•奎文区校级模拟）已知 数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
1
=1，S
n
=na
n
（n∈N），
可归纳猜想出S
n
的表达式为（ ）
A． B． C． D．

考点： 数列的求和；归纳推理．
专题： 计算题．
2*
分析： 数列{a
n
}中，前n项和为S< br>n
，由a
1
=1，S
n
=na
n
（n∈N） ，可得s
1
；由s
2
可得a
2
的值，
从而得s2
；同理可得s
3
，s
4
；
可以猜想：s
n
=，本题不需要证明．．
2*
解答： 解：在数列 {a
n
}中，前n项和为S
n
，且a
1
=1，S
n
=na
n
（n∈N），
∴s
1
=a
1
= 1=；s
2
=1+a
2
=4a
2
，∴a
2
=，s
2
==；
，s
4
==； s
3
=1++a
3
=9a
3
，∴a
3
=，s
3
==
„于是猜想：s
n
=．
；s
4
=1+++a
4
=16a
4
，∴a
4
=
故选A．
点评： 本题考查了用递 推公式，通过归纳推理，求数列的前n项和为S
n
，需要有一定的计
算能力和归纳猜想 能力．

10．（5分）（2015•桐城市一模）对任意复数z=x+yi（x，y∈R ），i为虚数单位，则下列结论
正确的是（ ）
A． |z﹣|=2y
|z|≤|x|+|y|

考点： 虚数单位i及其性质．
专题： 数系的扩充和复数．
B． z=x+y
222
C． |z﹣|≥2x D．
分析： 根据|z﹣|=|2yi|=2|y|，可得 A、C不正确，根据z=x﹣y﹣2xyi，可得B不正确，
由|z|= 可得D正确．
2 22
解答： 解：由于复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，∴|z﹣|=|2yi|=2 |y|，故（A）
错误．
2 22
由z=x﹣y+2xyi，故（B）错误．
由|z﹣|=2|y|，不一定大于或等于2x，故（C）错误．
由|z|=≤=|x|+|y|，故（D）正确．
故选：D．
点评： 本题考查两 个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义，
准确理解复数的模的定义，是解题 的关键，属于基础题．

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*
11．（5分 ）（2015春•辽宁校级期中）设a
n
=log
n+1
（n+2）（n∈N ），观察下列运算：
a
1
•a
2
=log
2
3•l og
3
4==2；
=3；则当a
1
•a
2
„ak
=2015a
1
•a
2
•a
3
•a
4
•a
5
•a
6
=log
2
3•log
3
4„log
6
7•log
7
8=
时，正整数k为（ ）
2015
A． 2﹣2

考点： 对数的运算性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由题意知a
1
•a
2
•„•a
k
=••
B． 2
2015
C． 2
2015
+2 D． 2
2015
﹣4
••=2015，解方程即可得到结论．
解答： 解：a
1
•a
2
••a
k
=••••==log
2
（k+2），
由当a
1
•a
2
„a
k
=2015，
即log
2
（k+2）=2015，
2015
解得k+2=2，
2015
即k=2﹣2．
故选：A
点评： 本题主要考查对数的基本运算 ，利用对数的换底公式将条件进行化简是解决本题的
关键．解题时要注意公式的灵活运用．

12．（5分）（2015春•辽宁校级期中）已知不等式|x+a|+|x﹣3|≤|x﹣4|的解集 包含[2，3]，
则a的取值范围为（ ）
A． [﹣3，﹣2] B． [﹣2，0] C． [﹣3，0] D． [﹣
2，1]

考点： 绝对值不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 由题意可得，x=2和 x=3满足不等式|x+a|+|x﹣3|≤|x﹣4|，于是把x=2和 x=3分
别代入不等式，求得a的范围，再取交集，即得所求．
解答： 解：由题意可得，x=2和x=3满足不等式|x+a|+|x﹣3|≤|x﹣4|，
故有|2+a|+|2﹣3|≤|2﹣4|，即|2+a|≤1，﹣1≤2+a≤1，﹣3≤a≤﹣1．
|3+a|+|3﹣3|≤|3﹣4|，即|3+a|≤1，﹣1≤3+a≤1﹣4≤a≤﹣2．
综合可得﹣3≤a≤﹣2，
故选：A．
点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）
2
13．（5分）（2015春•辽宁校级期中）不等式x﹣2≤x的解集为 {x|﹣1≤x≤2} ．


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考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
2
分析： 先求出方程x﹣x﹣2=0的实数根，进而得出不等式的解集
2
解答： 解：∵x﹣x﹣2=0，分解因式为（x﹣2）（x+1）=0，解得x=﹣1或2，
2
∴不等式 x﹣2≤x的解集是{x|﹣1≤x≤2}．
故答案为{x|﹣1≤x≤2}．
点评： 熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．

14．（5分）（2015春•辽宁校级期中）椭圆上的各点横坐标缩短为原来的，所得曲
线的参数方程为 （θ为参数） ．

考点： 椭圆的参数方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： 把椭圆的普通方程化为参数方程，再把它的各点横坐标缩短为原来的即可．
解答： 解：∵椭圆的参数方程为
，
当椭圆上的各点横坐标缩短为原来的，
所得曲线的参数方程为
（θ为参数）．
故答案为：（θ为参数）．
点评： 本题考查了椭圆的普通方程化为参数方程的应用问题，是基础题目．

1 5．（5分）（2014•金州区校级模拟）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两
2 22
边AB、AC互相垂直，则三角形三边长满足关系：AB+AC=BC．若三棱锥A﹣BCD的三个 侧面
2222
ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积满足的关系为 S
BCD
=S
ABC
+S
ACD
+S
ADB
．

考点： 归纳推理．
专题： 常规题型．
分析： 斜边的平方 等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个
直角面的面积的平方和，边对应着 面．
2222
解答： 解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得S
BCD< br>=S
ABC
+S
ACD
+S
ADB
．

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点评： 本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．

16．（5分）（2015春•辽宁校级期中）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则

考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： a＞0，b＞0，且a+b=1，可得
解答： 解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
则==8，当且仅当a=b=时取等号．
=，再利用基本不等式的性质即可得出．
的最小值为 8 ．
故答案为：8．
点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
1 7．（10分）（2014秋•秦安县校级期末）已知复数，若z+az+b=1
2
﹣i，
（1）求z；
（2）求实数a，b的值．

考点： 复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．
专题： 计算题．
22
分析： （1）（1﹣i）=1﹣2i+i=﹣2i，再由复数除法知识，分子分母同乘以2+i，化简整理
即可 ．
2
（2）把Z=1+i代入z+az+b=1﹣i，整理成x+yi形式，由复数相等知识 实部、虚部分别相等，
列方程组求解．
解答： 解：（1）
2
，
2
（2）把Z=1+i代入z+az+b=1﹣i，即（1+i）+a（1+i）+b=1﹣i，
得a+b+（2+a）i=1﹣i．
所以
解得a=﹣3；b=4
所以实数a，b的值分别为﹣3，4
点评： 本题考查复数的基本运算和复数相等等知识，属基本运算的考查．

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18．（12分）（20 15春•辽宁校级期中）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项
运动，其中有男生60名 ，调查发现，男、女生中分别有40人和20人爱好运动．
（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：
男 女 总计
爱好
不爱好
总计 110
（Ⅱ）判断爱好该项运动与性别是否有关？
参考公式：K=
2
其中n=a+b+c+d
附表：
2
p（K≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828

考点： 独立性检验的应用．
专题： 应用题；概率与统计．
分析： （Ⅰ）由题意得到列2×2列联表；
2
（Ⅱ）代入公式计算K的值，和临界值表比对后即可得到答案．
解答： 解：（Ⅰ）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列
联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
„（6分）
（Ⅱ）由K=
2
≈7.8＞6.635„（10分）
∴判断有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”„（12分）
点评： 本题是一 个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假
设，若值较大就拒绝假设，即拒 绝两个事件无关．

19．（12分）（2015春•辽宁校级期中）用适当方法证明下列不等式：
（Ⅰ）用综合法证明：若a＞0，b＞0，求证：（a+b）（
（Ⅱ）用分析法证明：．

考点： 综合法与分析法(选修）；不等式的证明．
专题： 综合题；推理和证明．
分析： （Ⅰ）利用基本不等式，再相乘，即得所证．
（Ⅱ）寻找使
解答： 证明：（Ⅰ）∵

）≥4；
成立的充分条件，直到使不等式成立的条件显然具备为止．
，„（2分）
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∴
∴（a+b）（
（Ⅱ）要证
只需证
，„（4分）
）≥4．„（6分）
．成立
，„（8分）
即证，
只需证，
即证42＞40显然为真，
故原式成立．„（12分）
点评： 本题主要考查用综合法和分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．

20．（12分）（2015•南昌校级二模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知曲线 C
1
的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标 系，曲线C
2
的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C
1
的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C
1
与C
2
交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

考点： 参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．
专题： 压轴题；直线与圆．
22
分析： （Ⅰ）对于曲线C
1
利 用三角函数的平方关系式sint+cost=1即可得到圆C
1
的普通方
程；再利用 极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C
1
的极坐标方程；
（Ⅱ）先求出曲线C2
的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐
标与直角坐标的互 化公式即可求出C
1
与C
2
交点的极坐标．
解答： 解：（Ⅰ）曲线C
1
的参数方程式
22
（t为参数），
得（x﹣4）+（y﹣5）=25即为圆C
1
的普通方程，
22
即x+y﹣8x﹣10y+16=0．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．
2
ρ﹣8ρcosθ﹣10ρs inθ+16=0，此即为C
1
的极坐标方程；
22
（Ⅱ）曲线C
2
的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x+y﹣2y=0，
由，解得或．
∴C
1
与C
2
交点的极坐标分别为（，），（2，）．
点评： 本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握
极坐 标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．


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21．（12分）（2015•嘉峪关 校级三模）已知曲线C
1
：（t为参数），C
2
：
（θ为参数）．
（1）化C
1
，C
2
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲 线；
（2）若C
1
上的点P对应的参数为t=，Q为C
2
上的动点 ，求PQ中点M到直线C
3
：
（t为参数）距离的最小值．

考点： 参数方程化成普通方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： （Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，再根据圆、椭圆的标准方程可得结论．
（Ⅱ）利用点到直线的距 离公式求得M到C
3
的距离
（θ+α）﹣|，从而求得d取得最小值．
=|sin
解答： 解：（Ⅰ）把C
1
，C
2
的参数方程消 去参数，化为普通方程分别为
，
C
1
为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆 ；C
2
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，
短半轴长是3的椭圆． < br>（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，
C
3
为 直线x﹣2y﹣7=0，
求得M到C
3
的距离
（θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．
时，d取得最小值为 ．
=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin
从而当sin（θ+α）=1，即当
点评： 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式，辅助角
公式的应用，正弦函数 的值域，属于基础题．

22．（12分）（2015•辽宁校级模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）
已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．
专题： 压轴题；不等式的解法及应用．

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分析： （Ⅰ ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设
y= |2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．
（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此
解得a的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当
﹣2对都成立．
时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a
故﹣≥a﹣2，解得 a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．

点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体
现了 数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．


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