word教程网-一落千丈造句

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
山东省临沂市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题 共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的） < br>2
1．（5分）设集合M={x|0≤x≤2}，集合N={x|x﹣x﹣2＜0}，则M∩N= （）
A． {x|0＜x＜2} B． {x|0≤x＜2} C． {x|0≤x≤2} D． {x0＜x≤2}

3
2．（5分）命题“∃x
0
∈∁
R
Q，x
0
∈Q”的否定是（）
33
A． ∃x
0
∉∁
R
Q，x
0
∈Q B． ∃x
0
∈∁
R
Q，x
0
∉Q
33
C． ∀x
0
∉∁
R
Q，x
0
∈Q D． ∀x
0
∈∁
R
Q，x
0
∉Q

3．（5分）“x＜0”是“log
2
（x+1）＜0”的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也必要条件

4．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A． ＞ B． ＜ C． ＞ D． ＜

5．（5分）在等比数列{a
n
}中，T
n
表 示前n项的积，若T
7
=1，则（）
A． a
2
=1 B． a
3
=1 C． a
4
=1 D． a
5
=1

6．（5分）若平面α∥β，则下面可以是这两个平面法向量的是（）
A．
C．

7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=（a ﹣b）+6，C=
则△ABC的面积是（）
A． B． C． D． 2
22
=（1，2，3），
=（1，1，1），
=（﹣3，2，1）
=（﹣2，2，1）
B．
D．
=（1，2，3），
=（1，1，1），
=（﹣2，2，1）
=（﹣2，﹣2，﹣2）
，

8．（5分）下列结论错误的是（）
A． 若ab＞0，则+≥2
B． 函数y=cosx+
x﹣x
（0＜x＜）的最小值为2
C． 函数y=2+2的最小值为2
D． 若x∈（0，1），则函数y=lnx+

≤﹣2

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9．（5分）已知数 列{a
n
}的通项公式a
n
=
最接近的整数是（）
A． 13 B． 14

10．（5分）已知F
1
，F
2
是双 曲线﹣
，S
n
是数列{a
n
}的前n项和，则与S
98C． 15 D． 16
=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F
2
关于渐 近线
对称点恰好落在以点F
1
为圆心，|OF
1
|为半径的圆上，则 双曲线的离心率为（）
A． 2 B． 3 C． D．


二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.
11 ．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，7，λ），若，，共面，
则实数 λ=．
2
12．（5分）已知抛物线y=4x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A（x
1
，x
2
），B（x
2
，y
2
）
22
两点，则y
1
+y
2
的最小值为．

213．（5分）已知命题p：函数f（x）=x+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，若< br>“非p”是假命题，则a的取值范围是．

14．（5分）已知x，y满足，且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最
大值为．

15．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得 M
点的仰角∠AMN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MC A=60°，已
知山高BC=1000m，则山高MN= m．



三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

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16．（12分）在△ABC中，角A ，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=4，c=2
=
，cos（B+C）
（1）求sinC的值；
（2）求b的值．

2
17．（12分）已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，A点在抛物线上，且A的横坐标为 4，
|AF|=5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设l为过（4，0）点的任意 一条直线，若l交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直
径的圆必过坐标原点．

18．（12分）已知数列{a
n
}满足：a
1
=1，2a
n+1< br>=2a
n
+1，n∈N，数列{b
n
}的前n项和为S
n，S
n
=
（1﹣），n∈N
+
+
（1）求数列{a< br>n
}，{b
n
}的通项公式；
+
（2）设c
n=a
n
b
n
，n∈N，求数列{c
n
}的前n项和T< br>n
．

19．（12分）为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车 租赁公司，初期投入36
万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an
万元，已知{a
n
}
为等差数列，相关信息如图所示．
（1 ）设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；（总盈
利即n年总收入 减去成本及总维修费用）
（2）该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．


20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD， ∠BAD=120°，E，
F分别为BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD
（2）若PA=AB=4，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

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21．（14分）已知椭圆C：
个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的方程； < br>+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一
（2）设直线l：y=kx+m （|k|≤）与椭圆C相较于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作
▱OAPB，其中定点P在椭圆C 上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．



山东省临沂市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，< br>只有一项是符合题目要求的）
2
1．（5分）设集合M={x|0≤x≤2}，集合N ={x|x﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）
A． {x|0＜x＜2} B． {x|0≤x＜2} C． {x|0≤x≤2} D． {x0＜x≤2}

考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 利用交集定义和不等式性质求解．
2
解答： 解：∵集合M={x|0≤x≤2}，集合N={x|x﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，
∴M∩N={x|0≤x＜2}．
故选：B．
点评： 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．

32．（5分）命题“∃x
0
∈∁
R
Q，x
0
∈Q”的否 定是（）
33
A． ∃x
0
∉∁
R
Q，x
0
∈Q B． ∃x
0
∈∁
R
Q，x
0
∉Q
33
C． ∀x
0
∉∁
R
Q，x
0
∈Q D． ∀x
0
∈∁
R
Q，x
0
∉Q

考点： 命题的否定．
专题： 应用题．
分析： 根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是 “∀x∈A，非p（A）”，结合已知中
命题，即可得到答案．
解答： 解：∵命题“∃x< br>0
∈C
R
Q，
∴“∃x
0
∈C
R
Q ，
∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，
∉Q ∈Q”的否定是∀x
0
∈C
R
Q，
故选D
点评： 本题考 查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“∃x∈A，p
（A）”的否定是“∀x∈ A，非p（A）”，是解答本题的关键．

3．（5分）“x＜0”是“log
2
（x+1）＜0”的（）

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A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 简易逻辑．
分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答： 解：由log
2
（x+1）＜0得0＜x+1＜1，解得﹣1＜x＜0，
则“x＜0”是“log
2
（x+1）＜0”的必要不充分条件，
故选：B
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．

4．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A． ＞

考点：
专题：
分析：
解答：
则
B． ＜ C． ＞ D． ＜
不等式比较大小；不等关系与不等式．
不等式的解法及应用．
利用特例法，判断选项即可．
解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
，，∴A、B不正确；
，=﹣，
∴C不正确，D正确．

解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴
∴．
，

故选：D．
点评： 本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．

5．（5分）在 等比数列{a
n
}中，T
n
表示前n项的积，若T
7
=1， 则（）
A． a
2
=1 B． a
3
=1 C． a
4
=1 D． a
5
=1

考点： 等比数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
7
分析： 由等比数列的性质可得T
7
=a
4
=1，解方程可得．

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解答： 解：由等比数列的性质可得a
1
a
7
=a
2
a
6
=a
3
a
5
=a
4
，
7
∴T
7
=a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
=a
4
=1，
∴a
4
=1
故选：C
点评： 本题考查等比数列的性质，属基础题．

6．（5分）若平面α∥β，则下面可以是这两个平面法向量的是（）
A．
C．
=（1，2，3），
=（1，1，1），
=（﹣3，2，1）
=（﹣2，2，1）
B．
D．
=（1，2，3），
=（1，1，1），
=（﹣2，2，1）
=（﹣2，﹣2，﹣2）
2

考点： 平面的法向量．
专题： 空间向量及应用．
分析： 由于平面α∥β，可得这两个平面法向量共线．判断出即可．
解答： 解：∵平面α∥β，
∴这两个平面法向量共线．
只有D中的，
故选；D．
点评： 本题考查了平行平面的性质、向量共线定理，属于基础题．

7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=（a﹣b）+6，C=
则△ABC的面积是（）
A． B． C． D． 2
22
，

考点： 余弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
222
分析： 运用余弦定理可得c=a+b+ab，再由条件可得ab，再由三角形的面积公式计算即
可得到．
解答： 解：因为c=（a﹣b）+6，C=
又由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos
222
22
，
=a2+b2+ab，
2
所以a+b+ab=（a﹣b）+3ab=（a﹣b）+6，
解得ab=2，
所以S△ABC=absinC=×2×=．
故选：A．
点评： 本题考查余弦定理及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

8．（5分）下列结论错误的是（）

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A． 若ab＞0，则+≥2
B． 函数y=cosx+
x﹣x
（0＜x＜）的最小值为2
C． 函数y=2+2的最小值为2
D． 若x∈（0，1），则函数y=lnx+≤﹣2

考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 计算题；阅读型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： 若ab＞0，则＞0，＞0，由基本不等式即可判断A；
令t=cosx（0＜x＜
x
），则0＜t＜1，y=t+在（0，1）上递减，即可判断B；
令t=2，则t＞0，再由基本不等式，可得最小值，即可判断C；
令t=lnx，则t＜0，y=t+=﹣[（﹣t）+]，运用基本不等式即可判断D．
=2，则A正确； 解答： 解：对于A．若ab＞0，则＞0，＞0，则+≥2
对于B．令t =cosx（0＜x＜
小值，则B错误；
），则0＜t＜1，y=t+在（0，1）上递减， 即有y＞2，无最
对于C．令t=2，则t＞0，y=2+2=t+≥2，当且仅当t=1即x=0时， 取得最小值2，则C
正确；
对于D．令t=lnx，则t＜0，则y=t+=﹣[（﹣t）+ ]≤﹣2=﹣2，当且仅当
xx﹣x
t=﹣1，取得最大值﹣2，则D正确．
故选B．
点评： 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查余弦函数、指数函数和对数函数 的单调
性的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．

9．（5分）已知数列{ a
n
}的通项公式a
n
=
最接近的整数是（）
A． 13 B． 14

考点： 数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由a
n
=
最接近的整数．
=
，S
n是数列{a
n
}的前n项和，则与S
98
C． 15 D． 16 =10（），利用裂项求和法能求出与S
98

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解答： 解：∵a
n
===10（），
∴S
98
=10（1﹣
=10（1+﹣
=
）
+„+）
≈14.7≈15．
∴与S
98
最接近的整数是15．
故选：C．
点评： 本题考查与前98项和最接近的整数的求法，是中档题，解题时要认真审 题，注意
裂项求和法的合理运用．

10．（5分）已知F
1
，F
2
是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F
2
关于渐近线对称点恰好落在以点F
1
为圆心，|OF
1
|为半径的圆上，则双曲线的 离心率为（）
A． 2 B． 3 C． D．

考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 首先求出F
2
到渐近线的距离，利用F
2
关于渐近线的对称点恰落在以F1
为圆心，|OF
1
|
为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线 的离心率．
解答： 解：由题意，F
1
（0，﹣c），F
2
（0，c），
一条渐近线方程为y=x，则F
2
到渐近线的距离为=b．
设F
2
关于渐近线的对称点为M，F
2
M与渐近线交于A，
∴|MF
2
|=2b，A为F
2
M的中点，
又0是F1
F
2
的中点，∴OA∥F
1
M，∴∠F
1
M F
2
为直角，
∴△MF
1
F
2
为直角三角形，
222
∴由勾股定理得4c=c+4b
22222
∴3c=4（c﹣a），∴c=4a，
∴c=2a，∴e=2．
故选：A．
点评： 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定 理的运
用，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.
11 ．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，7，λ），若，，共面，
则实数 λ=9．

考点： 向量的数量积判断向量的共线与垂直．

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专题： 空间向量及应用．
分析： 由若，，共面，则存在实数m，n，使得，由此能求出实数λ．
解答： 解：∵=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，7，λ），
∴若，，共面，则存在实数 m，n，使得
∴（7，7，λ）=m（2，﹣1，3）+n（﹣1，4，﹣2），
，
∴，
解得n=3，m=5，
∴λ=3×5﹣2×3=9．
故答案为：9．
点评： 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面的性质的合
理运用．

2
12．（5分）已知抛物线y=4x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A（x
1
，x
2
），B（x
2
，y
2
）
22
两点，则y
1
+y
2
的最小值为8．

考点： 抛物线的简单性质．
专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 求出抛 物线的焦点，设直线方程为x=my+1，代入抛物线方程，消去x，运用韦达定
理，再由配方和二次函 数的最值，即可得到最小值．
2
解答： 解：抛物线y=4x的焦点为F（1，0），
设直线方程为x=my+1，与抛物线方程联立消去x得，
2
y﹣4my﹣4=0，
∴y
1
+y
2
=4m，y
1
y
2
=﹣4，
2222
则y
1
+y
2
=（y
1
+y
2
）﹣2y
1
y
2
=16m+8≥8，
当m=0时取等号，
22
则y
1
+y
2
的最小值为8．
故答案为：8．
点评： 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，注意联立方程运用韦达定理，属于中
档题．
2
13．（5分）已知命题p：函数f（x）=x+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减 函数，若
“非p”是假命题，则a的取值范围是a≤﹣3．

考点： 复合命题的真假；二次函数的性质．
专题： 计算题；函数的性质及应用；简易逻辑．
2
分析： 由题意知函数f（x）=x+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数是 真命题，
从而得﹣（a﹣1）≥4，从而解得．
解答： 解：∵“非p”是假命题，

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∴命题p：函数f（x）=x+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数是真命题，
∴﹣（a﹣1）≥4；
解得，a≤﹣3；
故答案为：a≤﹣3．
点评： 本题考查了复合命题的判断及二次函数的单调性的应用，属于基础题．

2
14．（ 5分）已知x，y满足，且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最
大值为10．

考点： 简单线性规划．
专题： 计算题．
分析： 画出满足条件的可行域，结 合目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，
然后求出此目标函数的最大值即可．
解答： 解：作出x不等式组满足的可行域如下图：
可得直线x=2与直线﹣2x+y+c=0的交点B，使目标函数z=3x+y取得最小值5，
故由 x=2和﹣2x+y+c=0，解得 x=2，y=4﹣c，
代入3x+y=5得6+4﹣c=5
∴c=5，
由x+y=4和﹣2x+y+5=0可得C（3，1）
当过点C（3，1）时，目标函数z=3x+y取得最大值，最大值为10．
故答案为：10

点评： 本题主要考查了利用可行域求解目标函数的最大值，解题的关键是由最小值求解出c的值，如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区
域，分析 取得最优解的位置

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15． （5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M
点的仰角∠AM N=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已
知 山高BC=1000m，则山高MN=1500 m．


考点： 解三角形的实际应用．
专题： 应用题；解三角形．
分析： △ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；△AMC中，由条件利用正
弦定理求得A M；Rt△AMN中，根据MN=AM•sin∠MAN，计算求得结果．
解答： 解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=1000，
∴AC==1000．
△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，
∴∠AMC=45°，由正弦定理可得，解得AM=1000．
Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=1000×sin60°=1500（m），
故答案为：1500．
点评： 本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16 ．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=4，c=2，cos（B+C）
=
（1）求sinC的值；
（2）求b的值．

考点： 正弦定理；余弦定理．
专题： 计算题；三角函数的求值；解三角形．
分析： （1）由诱导公式可得cosA，再由平方关系可得sinA，再由正弦定理，可得sinC；
222
（2）运用余弦定理a=b+c﹣2bccosA，计算即可得到b．
解答： 解：（1）cos（B+C）=
sinA==，
，即有cosA=﹣，
由正弦定理可得sinC===；

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（2）由a=4，c=2，cosA=﹣，
则运用余弦定理可得，
222
a=b+c﹣2bccosA，
即为16=b+8﹣2×
2
2
b×（﹣），
即有b+2b﹣8=0，
解得b=2（﹣4舍去）．
点评： 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查同角的基本关系式的运用，考查运算能
力，属于基础题．

2
17．（12分）已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，A点在抛物线上 ，且A的横坐标为4，
|AF|=5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设l为过（ 4，0）点的任意一条直线，若l交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直
径的圆必过坐标原点．

考点： 抛物线的简单性质．
专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）求出抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛
物线方程；
（2）设直线l：x=my+4，A（x
1
，y
1
），B（x
2< br>，y
2
），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合
向量垂直的条件，即可证得以 AB为直径的圆必过坐标原点．
解答： （1）解：抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线为x=﹣，
由抛物线的定义可得，|AF|=4+=5，
解得p=2，
2
即有抛物线的方程为y=4x；
（2）证明：设直线l：x=my+4，A（x< br>1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
2
代入抛物线方程y=4x，可得
2
y﹣4my﹣16=0，
2
判别式为16m+64＞0恒成立，
y
1
+y
2
=4m，y
1
y
2
=﹣16，
x
1
x
2
=•=16，
2
即有x
1x
2
+y
1
y
2
=0，
则⊥，
则以AB为直径的圆必过坐标原点．
点评： 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查 抛物线的方程的运用，注意联立方
程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，属于中档题．

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18．（12分）已知数列{a
n
}满足：a
1
=1，2a
n+1
=2a
n
+1 ，n∈N，数列{b
n
}的前n项和为S
n
，S
n
=
（1﹣），n∈N
+
+
（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式；
+
（2）设c
n
=a
n
b
n
，n∈N，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．

考点： 数列的求和；数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （ 1）由2a
n+1
=2a
n
+1，变形为
S
n
=（ 1﹣），利用递推式可得b
n
．
，利用等差数列的通项公式可得a
n
．由
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
解答： 解：（1） ∵2a
n+1
=2a
n
+1，∴
∴数列{a
n
}是 等差数列，首项a
1
=1，公差d=．
∴a
n
=1+
∵S
n
=（1﹣
=
），
，
）﹣=．
．
，
∴当n≥2时，S
n﹣1
=
b
n
=S
n
﹣S
n﹣1
=（1﹣
当n= 1时，
∴
综上可得：a
n
=
（2）c
n
=a
n
b
n
=
∴数列{c
n
}的前n项和T
n
=
=
∴=
+
．
，
．
=，上式也成立．
．
+„+
+„+
+„+
，
，

=﹣

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=+﹣
∴T
n
=﹣
，
．
点评： 本题考查了等 差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，
考查了推理能力与计算能力，属于中 档题．

19．（12分）为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初 期投入36
万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作a
n
万元，已知{a
n
}
为等差数列，相关信息如图所示．
（1）设该公司前 n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；（总盈
利即n年总收入减去成本及总 维修费用）
（2）该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．


考点： 数列与不等式的综合；函数模型的选择与应用．
专题： 应用题；函数的性质及应用．
分析： （1）由题意知，每年的费用是以6为首项，2为公差的等差数 列，即可把y表示
成n的函数，利用配方法求出y的最大值；
（2）年平均盈利=﹣（n+） +20，利用基本不等式能求出这种设备使用6年，该公司的
年平均获利最大．
解答： 解：（1）由题意，每年的维修费是以6为首项，2为公差的等差数列，
∴a
n
=a
1
+2（n﹣1）=2n+4，
∴y=25n﹣﹣36=﹣n+20n﹣36=﹣（n﹣10）+64
22
∴n=10时，y的最大值为64万元；
（2）年平均盈利=﹣（n+
当且仅当n=
）+20≤﹣2+20=8，
，即n=6时，年平均收益最大．
所以这种设备使用6年，该公司的年平均获利最大．
点评： 本题考查数列在生产实际中的应用，考查基本不等式的运用，确定函数关系是关键．

20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BAD= 120°，E，
F分别为BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD
（2）若PA=AB=4，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

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考点： 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）由已知条件推导出AE⊥BC，AE⊥AD，由线面垂 直得PA⊥AE，由此能证明AE⊥
平面PAD，则AE⊥PD；
（2）过E作ES⊥AF于 S，连接OS，由已知条件得∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，由
此能求出二面角E﹣AF﹣C 的余弦值．
解答： （1）证明：如图，
由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形．
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，PA⊥AE．
而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
PD⊂面PAD，∵AE⊥PD；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．
过E作EO⊥AC于O，则由面面垂直的性质定理可知：EO⊥平面PAC，
∴EO⊥AF，过E作ES⊥AF于S，连接OS，AF⊥平面ESO，
∴AF⊥SO，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角．
在Rt△AOE中，OE=AEsin30°=，OA=AEcos30°=3，
又F是PC的中点，PA=AC，∴AF⊥PC且AF=FC，
在Rt△ASO中，SO=AOsin45°=
又SE=．
，
在Rt△ESO中，cosESO=．
即二面角E﹣AF﹣C的余弦值为．

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点评： 本题考查直线与平 面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，
注意空间思维能力的培养，是中档题．

21．（14分）已知椭圆C：
个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相较于A，B 两点，以线段OA，OB为邻边作
+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一▱OAPB，其中定点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （1）由题意可得，解得即可得出；
（2）设A（x
1
，y
1
）， B（x
2
，y
2
），P（x
0
，y
0
）． 由于四边形OAPB是平行四边形，利用
222
，
可得x
0
=x1
+x
2
，y
0
=y
1
+y
2
．直线方程与椭圆方程联立化为（1+3k）x+6kmx+3m﹣6=0，利用根
与系数的关系可得 P（x
0
，y
0
），代入椭圆方程可得m=
2
．由于|OP |=
2
=6﹣，
利用|k|≤，即可得出．
解答： 解：（1）由题意可得，解得c=2，b=2，a=6．∴椭圆C的方程为
22
．
（ 2）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），P（x
0
，y
0
）．
∵四边形OAPB是平行四边形，∴， ∴x
0
=x
1
+x
2
，y
0
=y
1
+y
2
．

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联立，化为（1+3k）x+6kmx+3m﹣6=0，
222
∴x
1+x
2
=，x
1
x
2
=，
∴y
0< br>=k（x
1
+x
2
）+2m=，x
0
=，
把P（x
0
，y
0
）代入椭圆方程可得：
化为m=
2
2
+3=6，
．
|OP|==+===6﹣，
∵|k|≤
∴
2
，
，
∴2≤|OP|≤4，
∴≤|OP|≤2．
点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化 为方程联立可得根
与系数的关系、两点之间的距离公式、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算 能力，
属于难题．