面相额头-哈佛家训2

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
2
1．（5分）抛物线x=2y的焦点坐标是（）
A． B． C． （1，0） D． （0，1）

2
2．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b＞0的（）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

2
3．（5分）不等式x+2014x﹣2015＞0的解集为（）
A． {x|﹣2015＜x＜1} B． {x|x＞1或x＜﹣2015}
C． {x|﹣1＜x＜2015} D． {x|x＜﹣1或x＞2015}

4．（5分）等差 数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
3
=6，a
3
=0，则公差d等于（）
A． ﹣1 B． 1 C． 2 D． ﹣2
< br>5．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定
A ，B间距离的是（）
A． α，a，b B． α，β，a C． a，b，γ D． α，β，b

6．（5分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）

A． a
n
=n﹣n+1

2
B． a
n
= C． a
n
= D． a
n
=
7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）
A． 6

B． 7 C． 8 D． 23
- 1 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站

8．（5分）已知a＞0，b＞0，且2是2a与b的等差中项，则
A． B． C． 2
的最小值为（）
D． 4

9．（5分）已知点（2，1）和（﹣1 ，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）
A． ﹣4＜a＜9 B． ﹣9＜a＜4 C． a＜﹣4或a＞9 D． a＜﹣9或a＞4

10．（5分）已知各 项为正的等比数列{a
n
}中，a
4
与a
14
的等比中项为 ，则2a
7
+a
11
的最小值
为（）
A． 16 B． 8 C． D． 4

2
11．（5分）已知f（x）=x+2xf′（1），则f′（0）等于（）
A． 0 B． ﹣2 C． ﹣4 D． 2

12．（5分）已知方程=k在（0，+∞ ）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结
论正确的是（）
A． sinα=﹣αcosβ B． sinα=αcosβ C． cosα=βsinβ D． sinβ=βsinα


二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
2
13．（5分）命题“∃x＜0，有x＞0”的否定是．

14．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．

15．（5分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=sinC，B=30°，b=2，
则边c=．

16．（5分）现有甲、乙两人相约到登封爬嵩山，若甲上山的速度为v1
，下山的速度为v（，
2
v
1
≠v
2
）乙上山和下山的速度都是（甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回），则甲、乙两
人上下山所用 的时间t
1
、t
2
的大小关系为．


三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设等差数列{a
n
}满足a
3
=5，a
10
=﹣9．
（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求{a
n
}的前n项和S
n
的最大值．

22
18．（12分）命题p：关于x的不等式x+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立．命题q：抛 物线y=4ax
的焦点在（1，0）的左侧，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围 ．


- 2 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
19．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB
（1）求角C的大小；
22
（2）若c=（a﹣b）+6，求△ABC的面积．

20．（12分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停 住，
我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．某市的一条道路在
一个限速为40kmh的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是
相撞了． 事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12m，乙车刹车距离略超过10m．又知甲、乙两
2
种车 型的刹车距离 S（m）与车速x（kmh）之间分别有如下关系：S
甲
=0.1x+0.01 x，S
乙
2
=0.05x+0.005x．问：甲、乙两车有无超速现象？

x
21．（12分）已知函数f（x）=e﹣2x（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若存在

22．（12分）已知圆 C：x+y=3的半径等于椭圆E：
22
使不等式f（x）＜mx成立，求实数m的取值范围．
+=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E
的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x﹣的距离 为﹣，点M是直线l与圆C的公共
点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x
1
，y< br>1
），B（x
2
，y
2
）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．




河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
2
1．（5分）抛物线x=2y的焦点坐标是（）
A． B． C． （1，0） D． （0，1）

考点： 抛物线的简单性质．

- 3 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
专题： 计算题．
分析： 根据抛物线的定义可得，x=2py（p＞0）的焦点坐标（0，）可直接求解
解答： 解：根据抛物线的定义可得，x=2y的焦点坐标（0，）
故选B．
点评： 本题主要考查了抛物线的简单的性质，属于基础试题．

2
2．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b＞0的（）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 规律型．
分析： 结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
2
解答： 解：当a＞b，b=0时，不等式（a﹣b）b＞0不成立．
2
若（a﹣b）b＞0，则b≠0，且a﹣b＞0，
∴a＞b成立．
2
即a＞b是（a﹣b）b＞0的必要不充分条件．
故选：B．
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，
比较基础．

2
3．（5分）不等式x+2014x﹣2015＞0的解集为（）
A． {x|﹣2015＜x＜1} B． {x|x＞1或x＜﹣2015}
C． {x|﹣1＜x＜2015} D． {x|x＜﹣1或x＞2015}

考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 把不等式化为（x+2015）（x﹣1）＞0，求出解集即可．
2
解答： 解：不等式x+2014x﹣2015＞0可化为
（x+2015）（x﹣1）＞0，
解得x＜﹣2015或x＞1；
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣2015}．
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．

4．（5分）等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
3
=6，a
3
=0，则公差d等于（）
A． ﹣1 B． 1 C． 2 D． ﹣2

考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意结合等差数列的性质和求和公式可得a
2
的值，进而可得公差d．
解答： 解：∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
3
=6，a
3
=0，

- 4 -
2
2

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
∴S
3
=a
1
+a
2
+a
3
=3a
2
= 6，∴a
2
=2，
∴公差d=a
3
﹣a
2
=0﹣2=﹣2
故选：D
点评： 本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．

5．（5分）如图 所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定
A，B间距离的是（）
A． α，a，b B． α，β，a C． a，b，γ D． α，β，b

考点： 解三角形的实际应用．
专题： 应用题；解三角形．
分析： 给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．
解答： 解：给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．
故选：A．
点评： 本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础．

6．（5分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）

A． a
n
=n﹣n+1
2
B． a
n
= C． a
n
= D． a
n
=

考点： 数列递推式．
专题： 规律型．
分析： 由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，„，1+2+ 3+„+n；得出数列第n项，即通
项公式．
解答： 解析：从图中可观察星星的构成规律，
n=1时，有1个；n=2时，有3个；
n=3时，有6个；n=4时，有10个；
∴a
n
=1+2+3+4+„+n=．
答案：C
点评： 这是一个简单的自然数求和公式，由观察得出猜想，一般不需要证明．考查学生的
观察猜想能力．

- 5 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站

7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）
A． 6 B． 7 C． 8 D． 23

考点： 简单线性规划的应用．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据 已知的约束条件
．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．
解答： 解：画出不等式．表示的可行域，如图，
让目标函数表示直线在可行域上平移，
知在点B自目标函数取到最小值，
解方程组
所以z
min
=4+3=7，
故选B．
得（2，1），

点评： 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找 出约束条件和目标函数是
关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程 组）寻求约束
条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得 到
目标函数的最优解．

8．（5分）已知a＞0，b＞0，且2是2a与b的等差中项，则的最小值为（）

- 6 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
A．

考点：
专题：
分析：
解答：
B． C． 2 D． 4
基本不等式；等差数列．
不等式的解法及应用．
利用等差中项及基本不等式的性质即可求出答案．
解：∵2是2a与b的等差中项，∴2a+b=4，
=，当且仅当2a=b=2，即a=1，b=2时取等又∵a＞0，b＞0，∴
号，
∴．
故选B．
点评： 充分理解基本不等式及其变形是解题的关键．

9．（5分）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
A． ﹣4＜a＜9 B． ﹣9＜a＜4 C． a＜﹣4或a＞9 D． a＜﹣9或a＞4

考点： 直线的斜率．
专题： 直线与圆．
分析： 由点（2，1） 和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，把两点的坐标代入3x﹣2y+a
所得的值异号，由 此列不等式求得a的范围．
解答： 解：∵点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，
∴（3×2﹣2×1+a）（﹣1×3﹣2×3+a）＜0，
即（a+4）（a﹣9）＜0．
解得﹣4＜a＜9．
故选：A．
点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题．

10． （5分）已知各项为正的等比数列{a
n
}中，a
4
与a
14
的等比中项为，则2a
7
+a
11
的最小值
为（）
A． 16 B． 8 C． D． 4

考点： 等比数列的通项公式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
2
分析： 由各项为正的等比数列{an
}中，a
4
与a
14
的等比中项为，知a
4
•a
14
=（2）=8，
故a
7
•a
11
=8，利 用均值不等式能够求出2a
7
+a
11
的最小值．
解答： 解：∵ 各项为正的等比数列{a
n
}中，a
4
与a
14
的等比中项 为，
2
∴a
4
•a
14
=（2）=8，
∴a
7
•a
11
=8，
∵a
7
＞0，a
11
＞0，
∴2a
7
+a
11
≥2
故选B．

- 7 -
=2=8．

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
点评： 本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．

2
11．（5分）已知f（x）=x+2xf′（1），则f′（0）等于（）
A． 0 B． ﹣2 C． ﹣4 D． 2

考点： 导数的运算．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′（1）的值．
2
解答： 解：由f（x）=x+2xf′（1），
得：f′（x）=2x+2f′（1），
取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），
所以，f′（1）=﹣2．
所以f′（x）=2x﹣4
故f′（0）=2f′（1）=﹣4，
故选：C．
点评： 本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′
（1）只是一个常数，此题是基础题．

12．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有 两个不同的解α，β（α＜β），则下面结
论正确的是（）
A． sinα=﹣αcosβ B． sinα=αcosβ C． cosα=βsinβ D． sinβ=βsinα

考点： 根的存在性及根的个数判断．
专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析： 由题意，方程=k可化为|sinx |=kx，作函数y=|sinx|与y=kx的图象，从而
=﹣cosβ，化简即可． 可求得y′|
x=β
=﹣cosβ，即k=﹣cosβ，从而可得
解答： 解：在（0，+∞）上，方程
作函数y=|sinx|与y=kx的图象如下，
=k可化为|sinx|=kx，

在x=β时，==k，

- 8 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
又∵在x=β处直线与y=|sinx|相切，
∴y′|
x=β
=﹣cosβ，
故k=﹣cosβ，
则=﹣cosβ，
即sinα=﹣αcosβ；
故选A．
点评： 本题 考查了导数的几何意义的应用及方程的根与函数图象的关系应用，同时考查了
数形结合的思想应用，属于 中档题．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
22
13．（5分）命题“∃x＜0，有x＞0”的否定是∀x＜0，有x≤0．

考点： 命题的否定．
分析： 对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定 是全称命题，即：对命
题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”；对命题“∀x ∈A，P（X）”的否定
2
是：“∃x∈A，¬P（X）”，由此不难得到对命题“∃x＜0， 有x＞0”的否定．
解答： 解：∵对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”
22
∴对命题“∃x＜0，有x＞0”的否定是“∀x＜0，有x≤0”
2
故答案为：∀x＜0，有x≤0
点评： 对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”；
对命题“∀x∈A，P（X）”的否定是：“∃x∈A，¬P（X）”，
即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题

14．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．

考点： 等差数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差
即可得答案．
解答： 解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=
又可得2a=2+b=2+
同理可得2c=9+
故c﹣a=﹣=
=
=，解之可得a=
，解得c=
=
，
，
，
故答案为：
点评： 本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．


- 9 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
15．（5分）在△ABC中，角A， B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=sinC，B=30°，b=2，
则边c=2．

考点： 正弦定理；余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 在△ABC中，由正弦定理求得a=c，结合余弦定理，即可求出c的值
解答： 解：∵在△ABC中，sinA=sinC
∴a=c
又∵B=30°，由余弦定理，可得：cosB=cos30°===
解得c=2
故答案为：2．
点评： 本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，熟练掌握定理是解题的关键，属于中档
题．
16．（5分）现有甲、乙两人相约到登封爬嵩山，若甲上山的速度为v
1
，下山的速度为 v（，
2
v
1
≠v
2
）
乙上山和下山的速度都是（ 甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回），则甲、乙两
人上下山所用的时间t
1
、 t
2
的大小关系为t
1
＞t
2
．

考点： 有理数指数幂的化简求值．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由题意，甲用的时间t
1
=+=S；乙用的时间t
2
=2× =；从
而作差比较大小即可．
解答： 解：由题意知，甲用的时间t
1
=+=S•；
乙用的时间t
2
=2×=；
∴t
1
﹣t
2
=S﹣=S（﹣）=S＞0；
故t
1
＞t
2
；
故答案为：t
1
＞t
2
．
点评： 本题考查了有理指数幂的化简求值，属于基础题．

三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设等差数列{a
n
}满足a
3
=5，a
1 0
=﹣9．
（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求{a
n
}的前n项和S
n
的最大值．

- 10 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站

考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）运用等差数列的通项公式，列出方程，解得首项和公差，即可得到通项公式；
（Ⅱ）运用前n项和的公式，配方，结合二次函数的最值，即可得到．
解答： 解：（Ⅰ）由 a
n
=a
1
+（n﹣1）d，及a
3
=5，a
10
=﹣9得，
，
解得，
数列{a
n
}的通项公式为a
n
=11﹣2n．
（Ⅱ）由（1）知
因为．
．
所以n=5时，S
n
取得最大值25．
点评： 本题考查等差数列的通项公 式和前n项和公式的运用，考查解方程组和二次函数的
最值的求法，属于基础题．

22
18．（12分）命题p：关于x的不等式x+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立．命题q：抛 物线y=4ax
的焦点在（1，0）的左侧，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围 ．

考点： 复合命题的真假．
专题： 计算题；简易逻辑．
分析： 先分别求出p，q为真时实数a的取值范围，再由p或q为真，p且q为假，可知p
和q一真一假，从而 解得．
2
解答： 解：设g（x）=x+2ax+4，
2
由于关于x的不等式x+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，
2
故△=4a﹣16＜0，
∴﹣2＜a＜2．
2
又∵抛物线y=4ax的焦点在（1，0）的左侧，
∴a＜1．a≠0．
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
（1）若p真q假，则∴1≤a＜2；或a=0．
（2）若p假q真，则∴a≤﹣2．
综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．或a=0．
点评： 本题考查了复合命题的真假性的应用，属于基础题．

19．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

b=2csinB
- 11 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
（1）求角C的大小；
22
（2）若c=（a﹣b）+6，求△ABC的面积．

考点： 余弦定理；正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： （1）已知等式利用正弦定理化简， 根据sinB不为0求出sinC的值，由C为锐角求
出C的度数即可；
（2）利用余弦定理 列出关系式，把cosC的值代入并利用完全平方公式变形，结合已知等式求
出ab的值，再由sinC 的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
解答： 解：（1）由正弦定理
得：sinB=2sinCsinB，
，
==，及b=2csinB，
∵sinB≠0，∴sinC=
∵C为锐角，
∴C=60°；
222222
（2）由余弦定理得：c=a+b﹣2abcosC= a+b﹣ab=（a﹣b）+ab，
22
∵c=（a﹣b）+6，
∴ab=6，
则S
△ABC
=absinC=．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三 角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌
握定理是解本题的关键．

20． （12分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，
我们称这段距 离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．某市的一条道路在
一个限速为40kmh的弯 道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是
相撞了．事后现场勘查测得甲车刹车 距离刚好12m，乙车刹车距离略超过10m．又知甲、乙两
2
种车型的刹车距离 S（m）与 车速x（kmh）之间分别有如下关系：S
甲
=0.1x+0.01x，S
乙
2
=0.05x+0.005x．问：甲、乙两车有无超速现象？

考点： 函数模型的选择与应用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由题意列出不等式组，分别求解两种车型的事发前的车速，判断它们是不是超速行
驶，即可得到结论．
2
解答： 解：由题意知，对于甲车，有0.1x+0.01x=12．
2
即x+10x﹣1200=0，„（2分）
解得x=30或x=﹣40（x=﹣40不符合实际意义，舍去）．„（4分）
这表明甲车的车速为30kmh．
甲车车速不会超过限速40kmh．„（6分）
2
对于乙车，有0.05x+0.005x＞10，
2
即x+10x﹣2000＞0，„（8分）
解得x＞40或x＜﹣50（x＜﹣50不符合实际意义，舍去）．„（10分）
这表明乙车的车速超过40kmh，超过规定限速．„（12分）

- 12 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
点评： 本题的考点是函数模型的选择 与应用，考查不等式模型的构建，考查利用数学知识
解决实际问题．解题的关键是利用函数关系式构建不 等式．

x
21．（12分）已知函数f（x）=e﹣2x（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若存在使不等式f（x）＜mx成立，求实数m的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）先求出函数的导数，令f′（x）=0，解得x=ln2，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为求的最小值．令，通过求导得到函数g
（x）的最小值，从而求出m的范围．
x
解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e﹣2，
x
令f′（x）=0，即e﹣2=0，解得x=ln2，
x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，ln2），单调递增区间为（ln2，+∞）．
（Ⅱ）由题意知使f（x）＜mx成立，
即使成立；
所以的最小值．
令，，
所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，
则g（x）
min
=g（1）=e﹣2，所以m∈（e﹣2，+∞）．
点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查转化思想，
是一道中档题．

22．（12分）已知圆C：x+y=3的半径等于椭圆E：
22
+=1（ a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E
的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x﹣的距离为﹣，点M是直线 l与圆C的公共
点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．

- 13 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站


考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （Ⅰ）设点F（c，0）（c＞0），由已知条件得
椭圆E的短半轴长，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由圆心O到直线l的距离为，得
，圆C的半径等于
，
由已知条件推导出|AF |+|AM|=2，|BF|+|BM|=2，由此能证明|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．
解答： （Ⅰ）解：设点F（c，0）（c＞0），
则F到直线l的距离为，
即，„（2分）
因为F在圆C内，所以，故c=1；„（4分）
2
因为圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，所以b=3，
椭圆方程为．„（6分）
（Ⅱ）证明：因为圆心O到直线l的距离为
所以直线l与圆C相切，M是切点，
故△AOM为直角三角形，
所以，
，
又，得
，
，„（7分）
又，得，„（9分）
所以|AF|+|AM|=2，同理可得|BF|+|BM|=2，„（11分）
所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|，
即|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．„（12分）
点评： 本题考查椭圆方程的求 法，考查两组线段差相等的证明，解题时要认真审题，注意
点到直线的距离公式的合理运用．

- 14 -