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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
福建省漳州外国语学校2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试
卷（理科）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有
一个选项正确）
1．（5分）在下列命题中，真命题是（）
2
A． “x=2时，x﹣3x+2=0”的否命题
2
B． “若b=3，则b=9”的逆命题
C． 若ac＞bc，则a＞b
D． “相似三角形的对应角相等”的逆否命题

2．（5分）“sinθ=
A． 充分不必要条件
C． 充要条件

3．（5分）已知向量
”是“θ=”的（）
B． 必要不充分条件
D． 既不充分也不必要条件
，则与的夹角为（）
A． 0° B． 45° C． 90° D． 180°

4．（5分）从2004名学生中选取50名组成参观团， 若采用下面的方法选取：先用简单随机抽
样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的 方法进行，则每人入选的概率为（）
A． 不全相等 B． 均不相等
C． 都相等，且为 D． 都相等，且为

22
5．（5分）椭圆4x+3y=48的焦点坐标是（）
A． （ 0，±） B． （±，0 ） C． （0，±2）

22
6．（5分）双曲线3x﹣y=3的渐近线方程是（）
A． y=±3x B． y=±x C． y=±x
D． （±2，0 ）
D． y=±x
2
7．（5分）已知M为抛物线y=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P（3，1），则|M P|+|MF|
的最小值为（）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

8．（5分）P是双曲线
的值为（）
A． 33

上一点，F
1
、F
2
是双曲线的两个焦点，且|PF
1
|=17，则| PF
2
|
B． 33或1 C． 1 D． 25或9
- 1 -

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9．（5分）（必修3做） 如图，大正方形靶盘的边长为，四个全等的直角三角形围成一个
小正方形，即阴影部分．较短的直角边长 为2，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影
区域的概率为（）

A． B． C． D．

10．（5分）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F
1，F
2
，若曲线C上存在点P满足|PF
1
|：|F
1
F
2
|：
|PF
2
|=4：3：2，则曲线C的离心率等于（）
A． B． C． D．


二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上）
11．（4分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则¬p命题是．

12．（ 4分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支
撑，其中最高支 柱的高度是．

2
13．（4分）已知点A（0，﹣1），当点B在曲线y=2x+ 1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方
程是．

14．（4分）已知
< br>15．（4分）已知F
1
、F
2
为椭圆C：=1的左、右焦点，则在该 椭圆上能够满足∠F
1
PF
2
=90°
，则的最小值是．
的点P共有个．


三、解答题（本大题共6个大题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1 6．（13分）已知命题p：
x
表示焦点在x轴的双曲线，命题q：f（x）=（5﹣
2m）是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

17．（1 3分）某校2015届高三某班的一次测试成绩的频率分布表以及频率分布直方图中的部
分数据如下，请 根据此解答如下问题：

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（1）求班级的总人数；
（2）将频率分布表及频率分布直方图的空余位置补充完整；
（3）若要从分数在[80，1 00）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，
求至少有一份分数在[90，100 ）之间的概率．
分组 频数 频率
[50，60） 0.08
[60，70） 7
[70，80） 10
[80，90）
[90，100） 2


18．（13分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为
x，且双曲线过点（，）
的直线交双曲线于A，B，求|AB|．

19．（13分）如图，在直三棱柱A< br>1
B
1
C
1
﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA
1
=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A
1
B与C
1
D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC
1
与ABA
1
所成二面角的正弦值．


20．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2
沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB；

，∠ABC=90°，如图1．把△ABD
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（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点 N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出
若不存在，说明理由．
的值；


21．（14分）已知F（﹣1，0），F（0）为平面内的两个 定点，动点P满足
12
1，
记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且．
，
（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；
（ⅱ）当直线AB过点F
1
时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．



福建省漳州外国语学校2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中只有
一个选项正确）
1．（5分）在下列命题中，真命题是（）
2
A． “x=2时，x﹣3x+2=0”的否命题
2
B． “若b=3，则b=9”的逆命题
C． 若ac＞bc，则a＞b
D． “相似三角形的对应角相等”的逆否命题

考点： 四种命题的真假关系．
2
分析： A、写出其否命题，“x≠2时，x﹣3x+2≠0”的否命题然后再举反例作判断；
22
B、写出其逆命题：若b=9，则b=3，根据（±3）=9，即可判断；
C、若c＜0，则有a＜b，从而进行判断；
D、根据原命题与逆否命题之间的关系进行判断；
22
解答： 解：A、“x=2时 ，x﹣3x+2=0”的否命题为x≠2时，x﹣3x+2≠0”，因为当x=1时
2
x﹣3x +2=0，∴A错误；
222
B、“若b=3，则b=9”的逆命题：若b=9，则b=3， ∵b=9⇒b=±3，故B错误；
C、若c＜0，∵ac＞bc，∴a＜b，故C错误；
D 、∵根据相似三角形的性质，其对应角相等，是真命题，再由于原命题和其逆否命题的关系
可知“相似三 角形的对应角相等”的逆否命题也是真命题，故D正确；

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故选D．
点评： 本题考查真命题的概念和相似三角形的性质以及运用反例说明问题的方法．

2．（5分）“sinθ=”是“θ=”的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 简易逻辑．
分析： 根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．
解答： 解：sinθ=
θ=推出sinθ=
推不出θ=，不是充分条件，
，是必要条件，
故选：B．
点评： 本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．

3．（5分）已知向量
A． 0° B． 45°

考点： 数量积表示两个向量的夹角．
专题： 计算题．
C． 90°
，则与的夹角为（）
D． 180°
分析： 设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得，
可得θ=90°
解答： 解：设则与的夹角为θ
由向量夹角的定义可得，
0°≤θ≤180°
∵0°≤θ≤180°
∴θ=90°
故选C
点评： 解决本题的关键需掌握：向量数量积的坐标表示，还 要知道向量的夹角的范围[0，
π]，只有数列掌握基础知识，才能在解题时灵活应用．
< br>4．（5分）从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽
样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为（）
A． 不全相等 B． 均不相等
C． 都相等，且为 D． 都相等，且为

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考点： 系统抽样方法；简单随机抽样．
专题： 计算题．
分析： 本题是一个 系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个
数，从2004名学生中选取50 名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程
中每个个体被抽到的概率相等．
解答： 解：由题意知本题是一个系统抽样，
在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，
从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，
在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等
∴得到每个个体被抽到的概率是
故选C．
点评： 本题考查系统抽样和简单随机抽样，不管用什么方法抽样，在抽样过程中每个个体
被抽 到的概率都相等，本题是一个基础题．

22
5．（5分）椭圆4x+3y=48的焦点坐标是（）
A． （ 0，±） B． （±，0 ） C． （0，±2） D． （±2，0 ）

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 化椭圆方程4x+3y=48为标准方程
解答： 解：椭圆4x+3y=48可化为
+=1；
22
22
+=1；从而求焦点坐标．
故c=2；且在y轴，
故焦点坐标为（0，±2）；
故选C．
点评： 本题考查了椭圆的方程的化简与椭圆的几何性质应用，属于基础题．

22
6．（5分）双曲线3x﹣y=3的渐近线方程是（）
A． y=±3x B． y=±x C． y=±x D． y=±x

考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题．
分析： 双曲线3x﹣y=3的标准形式为
得到双曲线的渐近线．
22
，其渐近线方程是，整理后就

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解答： 解：双曲线3x﹣y=3的标准形式为
22
，
其渐近线方程是，
整理得．
故选C．
点评： 把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．

27．（5分）已知M为抛物线y=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P（3，1），则|MP|+|M F|
的最小值为（）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为
求|MP| +|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，答案可得．
解答： 解：设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|
∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，
当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，为3﹣（﹣1）=4．
故选B．
点评： 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共
线 时|PM|+|MD|最小，是解题的关键．

8．（5分）P是双曲线上一点，F
1
、F
2
是双曲线的两个焦点，且|PF
1
|=17，则|PF2
|
的值为（）
A． 33 B． 33或1 C． 1 D． 25或9

考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 求出双曲线的a，b，c，根据|PF
1
|=17＜c+a=18，则P在双 曲线的左支上，再由双曲
线的定义，即可得到所求值．
解答： 解：双曲线
c===10，
的a=8，b=6，
由于|PF
1
|=17＜c+a=18，
则P在双曲线的左支上，
由双曲线的定义，可得，
|PF
2
|﹣|PF
1
|=2a=16，

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则有|PF
2
|=16+|PF
1
|=16+17=33．
故选A．
点评： 本题考查双曲线的方程和性质、定义，考查运算能力，属于基础题和易错题．

9．（5分） （必修3做）如图，大正方形靶盘的边长为，四个全等的直角三角形围成一个
小正方形，即阴影部分．较 短的直角边长为2，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影
区域的概率为（）

A． B． C． D．

考点： 几何概型．
专题： 计算题．
分析： 根据几何概率的求法，针头扎在阴影部分的概率为阴影部分与正方形的面积比，根< br>据题意，可得阴影部分正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案．
解答： 解：根据题意，“赵爽弦图”中，四个全等的直角三角直角边分别是3和2，
则阴影部分的正方形的边长为1，面积为1；
大正方形的边长为，
面积为13；
故针头扎在阴影部分的概率为 ；
故选C．
点评： 用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；难点是得到两个正方形的边长．

10． （5分）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F
1
，F
2
，若曲线C上存在点P满 足|PF
1
|：|F
1
F
2
|：
|PF
2
|=4：3：2，则曲线C的离心率等于（）
A． B． C． D．

考点： 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 可设|PF
1
|=4t，|F1
F
2
|=3t，|PF
2
|=2t，讨论曲线为椭圆或双曲线 ，运用椭圆或双曲线
的定义，及离心率公式，即可得到结论．
解答： 解：由于曲线C上存在 点P满足|PF
1
|：|F
1
F
2
|：|PF
2< br>|=4：3：2，
可设|PF
1
|=4t，|F
1
F
2
|=3t，|PF
2
|=2t，
若曲线为椭圆，则由离心率公式，可得e===；
若曲线为双曲线，则由离心率公式，可得e===．

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故选A．
点评： 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质：离心率，考查运算能力，属于基础题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上）
11．（4分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则¬p命题是∃x∈R，cosx＞1．

考点： 命题的否定．
专题： 阅读型．
分析： 本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量
词，否定结论即可
解答： 解：命题p：∀x∈R，cosx≤1，是一个全称命题
∴¬p：∃x∈R，cosx＞1，
故答案：∃x∈R，cosx＞1
点评： 本 题研究命题的否定，解题的关键是理解全称命题的否定的书写规则，其否定是一
个特称命题，要将原命题 中的全称量词改为存在量词．

12．（4分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米 ，在建桥时，每隔4米需用一根柱支
撑，其中最高支柱的高度是3.84米．

考点： 抛物线的应用．
专题： 计算题；应用题．
2
分析： 本题利 用解析法解决．先建立适当坐标系，设抛物线方程为x=﹣2py（p＞0），把点
B（10，﹣4）代 入抛物线方程，求得p，得到抛物线方程，进而把x=2代入抛物线方程求得y，
可得最高支柱的高度．
解答： 解：建立如图所示的直角坐标系，
2
设抛物线方程为x=﹣2py（p＞0），
∵过定点B（10，﹣4），
代入x=﹣2py，得p=
∴x=﹣25y．
当x=2时，y=，
=3.84（m），
2
2
．
∴最长支柱长为4﹣|y|=4﹣
故答案为：3.84米．

点评： 本题 主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．解应用题需要把文字语言转化
为形式化数学语言．本题就 是要利用解析法解决，介入一个抛物线方程，利用抛物线的性质来
解决问题．

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2
13． （4分）已知点A（0，﹣1），当点B在曲线y=2x+1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方
2< br>程是y=4x．

考点： 轨迹方程．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
2
分析： 设出M的坐标，求出P的坐标，动点 P在抛物线y=2x+1上运动，点P满足抛物线
方程，代入求解，即可得到M的轨迹方程．
解答： 解：设M的坐标（x，y），由题意点B与点 A（0，﹣1）所连线段的中点M，可知B
（2x，2y+1），
222
动点B在抛物线y=2x+1上运动，所以2y+1=2（2x）+1，所以y=4x．
2
所以点B与点 A（0，﹣1）所连线段的中M的轨迹方程是：y=4x．
2
故答案为：y=4x．
点评： 本题是中档题，考查点的轨迹方程的求法，相关点 法，是常见的求轨迹方程的方法，
注意中点坐标的应用．

14．（4分）已知

考点： 空间向量的加减法；向量的模．
专题： 计算题．
分析： 根据向量、的坐标，可得向量
得到=
=（1+t，2t﹣1，0） ，结合向量的模的公式，
的最小值．
，则的最小值是．
，最后利用二次函数求最值的方法，可得
， 解答： 解：∵
∴向量
可得向量
2
=（1+t，2t﹣1，0）
的模
2
==
∵5t﹣2t+2=5（t﹣）+
∴当且仅当t=时，5t﹣2t+2的最小值为
所以当t=时，
故答案为：
的最小值是=
2
点评： 本题给出两个含有字母参数的向量，求它们差的长度的最小 值，着重考查了空间向
量的坐标运算和二次函数的最值等知识点，属于基础题．


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15．（4分 ）已知F
1
、F
2
为椭圆C：=1的左、右焦点，则在该椭圆上能够满足∠F
1
PF
2
=90°
的点P共有4个．

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由椭圆方程求得椭圆 的长半轴长及离心率，设出P的坐标，由焦半径公式得到左右
焦半径，结合勾股定理求得P的坐标得答案 ．
解答： 解：设P（x
0
，y
0
）为椭圆
由a=9，b =4，得c=a﹣b=5，c=
∴2c=2．
由焦半径公式得：
若∠F
1
PF
2
=90°，
则，解得：．
22222
=1上的一点，
．
，，
∴椭圆上能够满足∠F
1
PF
2
=90°的点P共有4个．
故答案为：4．
点评： 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了焦半径公式的运用，是基础题．

三、解答题（本大题共6个大题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1 6．（13分）已知命题p：
x
表示焦点在x轴的双曲线，命题q：f（x）=（5﹣
2m）是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

考点： 复合命题的真假．
专题： 简易逻辑．
分析： 首先，求解当命题p，q为真命题时，实 数m的取值范围，然后结合条件，p、q中一
个真，另一个为假命题，进行讨论求解．
解答： 解：由命题p：得，
即，
得„（2分）
x
根据命题q：f（x）=（5﹣2m）是增函数，得
5﹣2m＞1即m＜2„（4分）
由于p或q为真命题，p且q为假命题

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故p、q中一个真，另一个为假命题．„（6分）
若p真q假，此时m的解集为空集„（8分）
若p假q真，则
因此，实数m的取值范围
，„（11分）
，„（13分）
点评： 本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的真值表等知识，属于中档题．

17．（13分）某校2015届高三某班的一次测试成绩的频率分布表以及频率分布直方图中的部
分 数据如下，请根据此解答如下问题：
（1）求班级的总人数；
（2）将频率分布表及频率分布直方图的空余位置补充完整；
（3）若要从分数在[80，1 00）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，
求至少有一份分数在[90，100 ）之间的概率．
分组 频数 频率
[50，60） 0.08
[60，70） 7
[70，80） 10
[80，90）
[90，100） 2


考点： 频率分布直方图；频率分布表．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： （1）分数在[90，100）的频率为0.008 ×10=0.08，频数为2，即可求得本次考试的
总人数；
（2）[50，60）频数为2 ；[60，70）频率为=0.28；[70，80）频率为=0.4；[80，90）
频数为4，频率 为0.16，可得频率分布表及频率分布直方图的空余位置；
（3）用列举法列举出所有的基本事件， 找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计
算公式即可求出结果．
解答： 解：（1）分数在[90，100）的频率为0.008×10=0.08，频数为2，

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∴全班人数为=25； < br>=0.28；[70，80）频率为=0.4；[80，90）（2）[50，60）频数为2；[60， 70）频率为
频数为4，频率为0.16，频率分布表
分组 频数 频率
[50，60） 2 0.08
[60，70） 7 0.28
[70，80） 10 0.40
[80，90） 4 0.16
[90，100） 2 0.08
频率分布直方图
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为
；
=15个，
（3）将[80，90）之间的频数为4，[90，100）之间的频数为2，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是0.7．
点评： 本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，
此题是基础题．

18．（13分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±x，且双曲线过点（，）
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）设双曲线方程为：3x﹣y=λ，点代入，即可求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求|AB|．
解答： 解：（Ⅰ）设双曲线方程为：3x﹣y=λ，点
所以所求双曲线方程为：„（6分）
22
22
代入得：λ=3，

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（Ⅱ）直线AB的方程为：y=x﹣2，
由得：2x+4x﹣7=0，„（10分）
2
∴．„（12分）
点评： 本题考查双曲线方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于
中档题．

19．（13分）如图，在直三棱柱A
1
B
1
C
1
﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA
1
=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A
1
B与C
1
D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC
1
与ABA
1
所成二面角的正弦值．


考点： 与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向 量法
能求出异面直线A
1
B与C
1
D所成角的余弦值．
（ 2）分别求出平面ABA
1
的法向量和平面ADC
1
的法向量，利用向量法能 求出平面ADC
1
与ABA
1
所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出 平面ADC
1
与ABA
1
所成二面角的正弦值．
解答： 解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A
1
（0，0，4），D（1，1，0），C
1
（0，2，4），
∴，=（1，﹣1，﹣4），
∴cos＜＞===，
∴异面直线A
1B与C
1
D所成角的余弦值为
（2）
设平面ADC
1
的 法向量为
．
是平面ABA
1
的一个法向量，
，

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∵，
∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，
∴平面ADC
1
的法向量为
设平面ADC
1
与ABA
1
所成二面角为θ，
∴cosθ=|cos＜
∴sinθ=
＞|=|
=．
，
|=，
∴平面ADC
1
与ABA
1
所成二面角的正弦值为．

点评： 本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的
求法 ，解题时要注意向量法的合理运用．

20．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC ，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图1．把△ABD
沿BD翻折，使得平面ABD⊥ 平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB；
（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点 N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出
若不存在，说明理由．
的值；



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考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面
间的距离计算．
专题： 综合题；空间角．
分析： （Ⅰ）先证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD ，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直
的性质可得CD⊥AB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量为
M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，设
，可得，利用向量的夹 角公式，建立
，进而可求点
方程，即可求得结论．
解答： （Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．„（2分）
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．
∴CD⊥平面ABD．„（3分）
又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．„（4分） （Ⅱ）解：以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标
系， 如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，
0）．
∴
设平面ACD的法向量为
令x=1，得平面ACD的一个法向量为
，则
，
．„（6分）
，∴
∴点M到平面ACD的距离．„（8分）
（Ⅲ）解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°．„（9分）
设
∴
又∵平面ACD的法向量
，则N（2﹣2λ，2λ，0），
，
且直线AN与平面ACD所成角为60°，
∴
可得8λ+2λ﹣1=0，
∴
2
，„（11分）
（舍去）．
．„（13分） 综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时

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点评： 本小题主要考查直 线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象
能力、推理论证能力、运算求解能力等， 考查化归与转化思想．

21．（14分）已知F（﹣1，0），F（0）为平面内的两个定 点，动点P满足
12
1，
记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且．
，
（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；
（ⅱ）当直线AB过点F
1
时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）根据椭圆的定义，可知点P的轨迹是以F1
（﹣1，0），F
2
（1，0）为焦点的椭
圆，进而可得曲线Γ的方程 ；
（Ⅱ）将转化为坐标之间的关系．（ⅰ）设直线AB的方程代入椭圆方程并整理，
利用韦达 定理，确定点C的坐标，利用斜率公式可得直线AB与OC的斜率之积为定值；（ⅱ）
先判断直线AB的 斜率存在，确定点C的坐标代入椭圆方程，可求k的值，进而分类求出直线
AB、OC与x轴所围成的三 角形的面积．
解答： 解：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F
1
（﹣1，0），F
2
（1，0）的距离之和为定值，
所以点P的轨迹是以F
1
（﹣1 ，0），F
2
（1，0）为焦点的椭圆．„（2分）
又，c=1，所以b=1，
故所求方程为．„（4分）
（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
）， B（x
2
，y
2
），C（x
3
，y
3
）．
由，得x
1
+x
2
+x
3
=0，y
1+y
2
+y
3
=0．„（5分）
（ⅰ）可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），
22222
代入x+2y=2并整理得，（1+2k）x+4knx+2n﹣2=0，
依题意，△＞0，则
从而可得点C的坐标为
，
，．
，

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因为，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．„（8分）
，由， （ⅱ）若AB⊥x轴时，
得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意．
因此直线AB的斜率存在．„（9分）
由（ⅰ）可知，当直线AB过点F
1
时，有n=k，点C的坐标为．
代入x+2y=2得，
22
，即4k=1+2k，
22
所以
（1）当
． „（11分）
时，由（ⅰ）知，，从而．
，故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1 ，且底边上的高
所求等腰三角形的面积
（2）当时，又由（ⅰ）知，
．
，从而
．
．„（13分）
，
同理可求直线AB、OC与x轴所 围成的三角形的面积为
综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为
点评 ： 本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查
推理论证能力、运 算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．



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