六年级上册语文试卷-歪歪头

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
河北省邯郸市永年二中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试
卷（文科）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合< br>题目要求的．
2
1．（5分）若集合A={0，4}，B={2，a}，则“a=2” 是“A∩B={4}”的（）
A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
2．（5分）已知复数z
1
=1﹣2i，则
A． i

3．（5分）若
A．

4．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣3 ，2），若（k+）∥（﹣3），则实数k的取值
为（）
A． ﹣ B． C． ﹣3 D． 3
B． ﹣i
的虚部是（）
C． 1 D． ﹣1
，且α是第二象限角，则tanα的值为（）
B． C． D．

32
5．（5分）已知函数f（x）=x﹣2x+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）
A．

B． C． D．
6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）
A． 8

B． 7 C． 2 D． 1
7．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间
值范围是（）

内，则输入的实数x的取

1

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A． （﹣∞，﹣2]

8．（5分）下列命题正确的是（）
A． 函数y=sin（2x+
44

B． [﹣2，﹣1] C． [﹣1，2] D． [2，+∞）
）在区间内单调递增
B． 函数y=cosx﹣sinx的最小正周期为2π
C． 函数y=cos（x+
D． 函数y=tan（x+

9．（5分）已知各项均为正 数的等比数列{a
n
}中，a
1
a
2
a
3
=8，a
3
a
4
a
5
=，则a
2
a
3
a
4
=（）
A． 512 B． 64 C． 1 D．
）的图象是关于点（
）的图象是关于直线x=
，0）成中心对称的图形
成轴对称的图形

10．（5分）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）
A． （﹣∞，﹣2] B． （﹣∞，﹣1] C． [2，+∞） D． [1，+∞）

11．（5分）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，S A=AB=1，，
则球O的表面积等于（）
A． 4π B． 3π C． 2π D． π

12．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时， f（x）的图
象如图所示，则不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（）

A． （﹣1，0）∪（0，1） B． （﹣1，1）
1） D． （﹣1，0）∪（1，3）


二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分.

C． （﹣3，﹣1）∪（0，
2

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13．（5分）如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何
体的体积 为．


14．（5分）已知数列{a
n
}为等差数列，其前n项 和为S．若a
1
＞0，S
20
=0，则使a
n
＞0成立的n的最大值是．

15．（5分）函数y=

16．（5分）已知函 数f（x）=（）﹣lnx，a＞b＞c＞0，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，
若实数d是函数 y=f（x）的一个零点，那么下列四个判断：
①d＜a； ②d＞b； ③d＜c； ④d＞c；
其中有可能成立的判断的序号为．


三、解答题：（本大题共6小题，共75分）
17．（10分）已知{a
n
}是等差数列，满足a
1
=3，a
4
=12，数列{b
n
} 满足b
1
=4，b
4
=20，且{b
n
﹣
a
n
}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b
n
}的前n项和．

18．（12分）在△AB C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．
x
sin2x+cosx的最小正周期为．
2

19．（12分） 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的
中点， F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

3

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20．（12分 ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．


21．（12分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，
（1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程
（2）若点Q在直线l
1
： x+y+3=0上，直线l
2
经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|
的最 小值．

322
22．（12分）设函数f（x）=x+ax﹣ax+5（a＞0）
（1）当函数f（x）有两个零点时，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，当x∈[﹣4，4]时，求函数f（x）的最大值．



河北省邯郸市永年二中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
2
1．（5分）若集合A={0，4}， B={2，a}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（）
A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．

4

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分析： 判断“a=2”成立时是否有 A∩B={4}成立；判断A∩B={4}成立时是否有“a=2”成
立；利用充分、必要条件的定义判 断出答案．
解答： 解：当“a=2”成立时，B={2，4}，∴A∩B={4}成立
2
反之，当A∩B={4}”成立时，∴4∈B∴a=4∴a=±2即“a=2“不一定成立
∴“a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件
故选A
点评： 本题考查如何判断一个命题是另一个命题的什么条件、考查利用交集的定义解决集
合的交集运算．

2．（5分）已知复数z
1
=1﹣2i，则的虚部是（）
D． ﹣1 A． i B． ﹣i C． 1

考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题： 计算题．
分析： 利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简
据复数的虚部的定义求出其虚部．
解答： 解：∵复数z
1
=1﹣2i，则====1+i，
，依
虚部等于1，
故选C．
点评： 本题考查两个复数代数形式的乘除法 ，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，
分子和分母同时乘以分母的共轭复数．
复数的徐不得定义．

3．（5分）若
A．
，且α是第二象限角，则tanα的值为（）
B． C． D．

考点： 同角三角函数间的基本关系．
专题： 计算题．
分析： 由α是第二象限 角，得到sinα的值大于0，可由cosα的值，利用同角三角函
数间的基本关系求出sinα的值， 再由sinα及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关
系弦化切，即可求出tanα的值．
解答： 解：∵
∴sinα=
，且α是第二象限角，
=，

5

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则tanα==﹣．
故选C
点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键，同时
注意角度的范围．

4．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣3，2），若（k+）∥（﹣3），则实数k的 取值
为（）
A． ﹣ B． C． ﹣3 D． 3

考点： 平行向量与共线向量；平面向量坐标表示的应用．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据 题目给出的两个向量的坐标，运用向量的数乘和加法运算求
然后运用向量共线的坐标表示列式求k的值．
解答： 解：由=（1，2），=（﹣3，2），得
2k+2），
=（10，﹣4），
则由，得（k﹣3）×（﹣4）﹣10×（2k+2）=0，所以k=﹣．
=（k﹣3，
和，
故选A．
点评： 本题考查了平行向量及平面向量坐标表 示的应用，解答的关键是掌握向量共线的坐
标表示，即，，则⇔x
1
y
2﹣x
2
y
1
=0．

32
5．（5分）已知 函数f（x）=x﹣2x+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）
A． B． C． D．

考点： 函数零点的判定定理．
专题： 计算题．
32
分析： 根据函数的解析式f（x）=x﹣2x+2，结合零点存在定理，我们可以分别判 断四个
答案中的四区间，如果区间（a，b）满足f（a）•f（b）＜0，则函数在区间（a，b）有 零
点．
32
解答： 解：∵f（x）=x﹣2x+2
32
∴f（﹣1）=（﹣1）﹣2（﹣1）+2=﹣1﹣2+2=﹣1＜0
f（﹣）=（﹣）﹣2（﹣）+2=﹣﹣+2=
∴f（﹣1）•f（﹣）＜0
32
＞0

6

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故函数f（x）=x﹣2x+2在区间
32
必有零点
故选：C
点评： 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中连续函数在区间（a，b）满足f（a）
•f（b）＜0，则函数在区间（a，b）有零点，是判断函数零点存在最常用的方法．

6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）
A． 8

考点：
专题：
分析：
解答：
B． 7 C． 2 D． 1
简单线性规划．
不等式的解法及应用．
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
解：作出不等式对应的平面区域，
，
，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线 y=﹣的截距最
由z=x+2y，得y=﹣
平移直线y=﹣
大，此时z最大．
由，得，
即A（3，2），
此时z的最大值为z=3+2×2=7，
故选：B．

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

7．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间
值范围是（）


7
内，则输入的实数x的取

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A． （﹣∞，﹣2] C． [﹣1，2] D． [2，+∞）

考点： 选择结构．
专题： 图表型．
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所 示的顺序，可知：该程序的作
用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数

B． [﹣2，﹣1]
的解析式，结合输出的函数值在区间
解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数f（x）=
内，即可得到答案．
的函数值．
又∵输出的函数值在区间内，
∴x∈[﹣2，﹣1]
故选B
点评： 本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本
题的关键．

8．（5分）下列命题正确的是（）
A． 函数y=sin（2x+
44
）在区间内单调递增
B． 函数y=cosx﹣sinx的最小正周期为2π
C． 函数y=cos（x+
D． 函 数y=tan（x+
）的图象是关于点（
）的图象是关于直线x=
，0）成中心对称的 图形
成轴对称的图形

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角 函数的周期性及其求法；余弦函数的对
称性；正切函数的奇偶性与对称性．
专题： 分析法．

8

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分析： 先根 据x的范围求出2x+的范围，再由正弦函数的单调性可判断A；根据同角三
44
角函数的基本 关系和二倍角公式将y=cosx﹣sinx为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=
可判断B； 根据对称中心的函数值等于0可判断C，从而确定答案．
解答： 解：∵x∈∴2x+∈（﹣，），∴y=sin（2x+）在区间
内是先增后减，排除A；
∵ y=cosx﹣sinx=cosx﹣sinx=cos2x，T=
令x=代入得到cos（+）=co s
4422
，排除B；
，0）是函数y=cos（x+）的图象=0，∴点（
的对称中心，满足条件．
故选C．
点评： 本题主要考查正弦函数的单调性、二倍角公式和单调性的应用．三角函数部分公式
比较多，要强化记忆．

9．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a
n
}中，a
1a
2
a
3
=8，a
3
a
4
a
5
=，则a
2
a
3
a
4
=（）
A． 512 B． 64 C． 1 D．

考点： 等比数列的性质．
专题： 计算题．
分析： 利用等比数列的性质可得a
1
a
2
a
3
，a
2
a
3
a
4
，a
3
a
4
a
5
成等比数列，利用等比数列的性质
可求
解答： 解：∵数 列{a
n
}中等比数列，a
1
a
2
a
3
= 8，a
3
a
4
a
5
=，且a
n
＞0 由等比数列的性质可得，a
1
a
2
a
3
，a
2
a
3
a
4
，a
3
a
4
a
5
成等比数列
∴a
2
a
3
a
4
==1
故选C
点评： 本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题

10．（5分）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）
A． （﹣∞，﹣2] B． （﹣∞，﹣1] C． [2，+∞） D． [1，+∞）
考点： 利用导数研究函数的单调性．
专题： 导数的综合应用．
分析： f′（ x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′
（x）≥0在区 间（1，+∞）上恒成立．
解出即可．

9

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解答： 解：f′（x）=k﹣，
∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，
∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．
∴，
而y=在区间（1，+∞）上单调递减，
∴k≥1．
∴k的取值范围是[1，+∞）．
故选：D．
点评： 本题查克拉利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．

11． （5分）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，
则球O的表面积等于（）
A． 4π B． 3π C． 2π D． π

考点： 直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．
专题： 压轴题．
分析： 先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三
角形的性 质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．
解答： 解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点
∴OA=OB=OC=OS=1
又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，
∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，
2
∴表面积为4πR=4π．
故选A．

点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关 知识，考查空间想
象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

12．（5分 ）已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图
象如图所示，则 不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（）

10

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A． （﹣1，0）∪（0，1） B． （﹣1，1） C． （﹣3，﹣1）∪（0，
1） D． （﹣1，0）∪（1，3）

考点： 函数奇偶性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由f（﹣x）•x＞0，得f（x）•x＜0，由图象知，当x∈（0， 3）时不等式的解，
根据奇函数性质可得x∈（﹣3，0]时不等式的解．
解答： 解：f（﹣x）•x＞0即﹣f（x）•x＞0，所以f（x）•x＜0，
由图象知，当x∈（0，3）时，可得0＜x＜1，
由奇函数性质得，当x∈（﹣3，0]时，可得﹣1＜x＜0，
综上，不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（﹣1，0）∪（0，1），
故选A．
点评： 本题考查函数奇偶性的应用，考查数形结合思想，属基础题．

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分.
13．（5分）如图，若一个空间几何体的三 视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何
体的体积为．


考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题．
分析： 几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是 一个边长是1的正方形，四棱锥的一条侧棱
与底面垂直，且这条侧棱长是1，根据四棱锥的体积公式，写 出四棱锥的体积．
解答： 解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个边长是1的正方形，
四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱长是1，
∴四棱锥的体积是，

11

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故答案为：
点评： 本题考 查由三视图求几何体的体积，本题是一个基础题，题目所给的图形和数字都
比较简单，没有易错点．

14．（5分）已知数列{a
n
}为等差数列，其前n项和为S．若a1
＞0，S
20
=0，则使a
n
＞0成立
的n的最大值 是10．

考点： 等差数列的性质．
分析： 先由等差数列前n项和将
列的性质求解．
解答： 解∵
转化为∴a
1+a
20
=0，再由等差数
∴a
1
+a
20
= 0
由等差数列的性质得：
∴a
1
+a
20
=a
2
+a
19
=„=a
11
+a
10
=0
又∵a
1
＞0
∴a
10
＞0，a
11
＜0
∴使a
n
＞0成立的n的最大值是10
故答案是10
点评： 本题主要考查等差数列的性质．

15．（5分）函数y=sin2x+cosx的最小正周期为π．
2

考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（ x）=sin
（2x+），从而求得函数的最小正周期
sin2x+cosx=
2
解答： 解：∵函数y=sin2x+
=π，
=sin（2x+）+，
故函数的最小正周期的最小正周期为
故答案为：π．
点评： 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基
础题．
< br>16．（5分）已知函数f（x）=（）﹣lnx，a＞b＞c＞0，且满足f（a）f（b）f（c）＜ 0，
若实数d是函数y=f（x）的一个零点，那么下列四个判断：

12
x

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①d＜a； ②d＞b； ③d＜c； ④d＞c；
其中有可能成立的判断的序号为①②③④．

考点： 函数零点的判定定理．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 利用函数f（x）=（）﹣lnx 在（0，+∞）上是减函数及已知条件，分 f（a）
＜0，f（c）＞f（b）＞0； 或 f（a）＜f（b）＜f（c）＜0 二种情况，分别求得可能成立
选项，从而得到答案．
解答： 解：∵已知函数f（x）=（）﹣lnx 在（0，+∞）上是减函数，a＞b＞c＞0，且
f（a）f（b）f（c）＜0，
故f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的两项为正的；或者三项都是负的．
即 f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）； 或 f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．
由于实数d是函数y=f（x）的一个零点，
当 f（a）＜0，f（c）＞f（b）＞0 时，b＜d＜a，此时 ①②④成立．
当 f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，d＜c，此时①③成立．
综上可得，有可能成立的判断的序号为①②③④，
故答案为 ①②③④．
点评： 本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了分类
讨论的数学思想，属于 基础题．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分）
17．（10分）已知{ a
n
}是等差数列，满足a
1
=3，a
4
=12，数列{b
n
}满足b
1
=4，b
4
=20，且{b
n
﹣
a
n
}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b
n
}的前n项和．

考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；
（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．
解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a
n
}的公差为d，由题意得
d===3．
x< br>x
∴a
n
=a
1
+（n﹣1）d=3n（n=1，2，„），
设等比数列{b
n
﹣a
n
}的公比为q，则
q=
3
==8，∴q=2，
n﹣1n﹣1
∴b
n
﹣a
n
=（b
1
﹣a
1
）q=2，
n﹣1
∴b
n
=3n+2（n=1，2，„）．
n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b
n
=3n+2（n=1，2，„）．

13

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∵数列{a
n
}的前n项和为n（n+1），数列{2
n
n﹣1
}的前n项和为1×=2﹣ 1，
n
∴数列{b
n
}的前n项和为n（n+1）+2﹣1．
点评： 本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考
查学生 的基本的运算能力，属基础题．

18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别 为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．

考点： 正弦定理；余弦定理．
专题： 计算题．
分析： （1）先利用正弦定理把（2b﹣c）c osA﹣acosC=0中的边转化成角的正弦，进而化
简整理得sinB（2cosA﹣1）=0，求 得cosA，进而求得A．
22
（2）根据三角形面积公式求得bc，进而利用余弦定理求得 b+c进而求得b和c，结果为
a=b=c，进而判断出∴△ABC为等边三角形．
解答： 解：（Ⅰ）∵（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，由正弦定理，
得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，
∴2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，sinB（2cosA﹣1）=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴
∵0＜A＜π，
∴．
，

，
（Ⅱ）∵
即
∴bc=3①
由余弦定理可知cosA=
22
=
∴b+c=6，②
由①②得，
∴△ABC为等边三角形．
点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析问题和灵活运用所学
知识的能力．

19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，P D=AD，E是PB的
中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．

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（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．


考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以< br>PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接BH，取BH中点G，连接EG， 因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面
ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够 求出三棱锥E﹣BCF的体积．
解答： （Ⅰ）证明：∵AB⊥平面PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH为△PAD中AD边上的高，
∴PH⊥AD，
又∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，
∵E是PB的中点，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
则EG=PH=，
∴V
E﹣BCF
=S
△BCF
•EG=••FC•AD•EG=．

点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理< br>地化立体几何问题为平面几何问题．


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20．（12分）如图，四棱锥P﹣A BCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．


考点： 点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥
平面AEC；
（Ⅱ）通过 AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，
说明AH就是 A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．
解答： 解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，
∵ABCD是矩形，
∴O为BD的中点
∵E为PD的中点，
∴EO∥PB．
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC
∴PB∥平面AEC；
（Ⅱ）∵AP=1，AD=
∴V=
∴AB=，
作AH⊥PB交PB于H，
由题意可知BC⊥平面PAB
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．
又
A到平面PBC的距离

．
，三棱锥P﹣ABD的体积V=
=，
，

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点评： 本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能
力．

21．（12分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，
（1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程
（2）若点Q在直线l
1
： x+y+3=0上，直线l
2
经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|
的最 小值．

考点： 直线和圆的方程的应用；轨迹方程．
专题： 计算题；综合题．
分析： （1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2| PB|，整
理即得点P的轨迹方程；
（2）求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到 直线的距离，半径，|QM|满足勾股
定理，求出|QM|就是最小值．
解答： 解：（1）设P点的坐标为（x，y），
∵两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，
2222
∴（x+3）+y=4[（x﹣3）+y]，
22
即（x﹣5）+y=16．
22
所以此曲线的方程为（x﹣5）+y=16．
22
（2）∵（x﹣5） +y=16的圆心坐标为M′（5，0），半径为4，则圆心M′到直线l
1
的距离
为 ：=4，
22
∵点Q在直线l
1
：x+y+3=0上，过点Q的直线l2
与曲线C（x﹣5）+y=16只有一个公共点M，
∴|QM|的最小值为：=4．
点评： 考查两点间距离公式及圆的性质，着重考查直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，
考 查计算能力，转化思想的应用，属于难题．

322
22．（12分）设函数f（x）=x+ax﹣ax+5（a＞0）
（1）当函数f（x）有两个零点时，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，当x∈[﹣4，4]时，求函数f（x）的最大值．

考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 计算题；分类讨论．

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分析： （1）由题意得f′（x）=3（x﹣）（x+a）（a＞0），所以函数f（x）的增区间为
（﹣∞，﹣a），（，+∞），减区间为（﹣a，），所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f
（﹣a）=0或f（）=0，因为a＞0所以a=3．
（2）由题知﹣a∈[﹣6，﹣3]，∈[1 ，2]，当4≤a≤6时，因为函数f（x）在[﹣4，）
上单调递减，在（，4]上单调递增，所以f （﹣4）﹣f（4）=8（a﹣16）≥0，所以f（x）
max
2
=f（﹣4）=4 a2+16a﹣59，同理得当3≤a＜4时，f（x）
max
=f（4）=﹣4a+16a+ 69；
22
2
解答： 解：（1）由题意得f′（x）=3x+2ax﹣a=3（x﹣）（x+a）（a＞0），
由f′（x）＞0得x＜﹣a，或x＞，由f′（x）＜0得﹣a＜x＜，
所以函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣a），（，+∞），减区间为（﹣a，），
即当x=﹣a时，函数取极大值f（﹣a）=a+5，
当x=时，函数取极小值f（）=﹣
3
3
+5，
3
又f（﹣2a）=﹣2a+5＜f（），f（2a）=10a+5＞f（﹣a），
所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（﹣a）=0或f（）=0，
注意到a＞0，所以f（）=﹣
故a的值是3．
（2）由题知﹣a∈[﹣6，﹣3]，∈[1，2]，
当﹣a≤﹣4即4≤a≤6时，
函数f（x）在[﹣4，）上单调递减，在（，4]上单调递增，
注意到f（﹣4）﹣f（4）=8（a﹣16）≥0，
所以f（x）
max
=f（﹣4）=4a2+16a﹣59；
当﹣a＞﹣4即3≤a＜4时，
函数f（x）在[﹣4，﹣a）上单调增，在（﹣a，）上单调减，在（，4]上单调增，
注意到f（﹣a）﹣f（4）=a+4a﹣16a﹣64=（a+4）（a﹣4），
2
所以f（x）
max
=f（4）=﹣4a+16a+69；
综上，f（x）
max
=．
322
2
=0，即a=3．

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点评： 本 题考查利用导数解决极值问题通过极值求出参数，利用参数的范围与定义域的关
系讨论函数的单调性，进 而得到函数的最大值．本题利用了分类讨论的思想这是数学上的一
个很主要的数学思想．




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