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【篇一：大学数学试卷a及答案】

：名

姓线

：级封

班

： 密

号学 一． 选择题（每小题3分） 1．下列求极限的问题中，能用
洛必达法则的是（ ） x2sin1alim?x?sinxx?xx?0sinx
bxlim???x(2?arctanx) clime?ex??x?sinx
dlimx??ex2．limlnxx?1x?1?（ ） a1 b －1c 2d －2
3．limx3?3x2?2x??2x3?x2?x?4?（ ） a －１ b 0 c 12 d 2
4．若在区间（a,b）内，函数f(x)的一阶导数f(x)?0,二阶导数
f(x)?0，则函数f(x)在此区间内（ ） a 单调减少，曲线为凸 b 单调
增加，曲线为凸 c 单调减少，曲线为凹 d单调增加，曲线为凹
5．函数y=f(x)在点x?x0处取得极大值，则必有（ ） a f(x0)?0 b
f(x0)?0cf(x0)?0且f(x0)?0df(x0)?0或不存在 6．函数y?ln(1?x2)
的单调减少区间是（ ） a (??,??) b (0,??) c (??,0) d 以上都不对
7．曲线y?xe?x的拐点坐标是（ ） a（1，e?1） b（2，e?2） c
（2，2e?2） d（3，e?3）

8．下列等式中，成立的是（ ）

a d

c ?f(x)dx?f(x) b d?f(x)dx?f(x)dx
ddf(x)dx?f(x)?cf(x)dx?f(x)dxd ??dxdx

9．在区间(a,b)内的任一点x，如果总有f’(x)=g’(x)成立，则下列各
式中必定成立的 是（ ）

a.f(x)=g(x)b.f(x)=g(x)+1c.f(x)=g(x)+c d.(f(x)dx)?(g(x)dx) ??

10．已知?f(x)dx?cos2x?c，则f(x)=( )

a sin2xb －sin2xc cos2xd －cos2x

11． ?xexdx?( )

a xex?c b xex?ex?c c xex?ex?c d ex?c

12．?tanxdx?( )

a.－ln|sinx|+cb. ln|sinx|+c c. –ln|cosx|+c |cosx|+c

13．?6(x2

0?x?1)dx?( )

a 50 b 60c 70 d 80

14．?2x

0?x2dx=（ ） a 2?1b 2?1 c ?1 d ?1

23

15．行列式502=（ ）

304

a 16b －１６c 28d －28

二、判断题（每小题3分）

1．可导函数的驻点即为函数的极值点（ ）

2．函数f(x)二阶可导，且f’’(x0)=0，则点(x0,f(x0))为曲线y=f(x) 的
拐点 (

3．如果行列式有两列元素完全相同，则此行列式为零 （ ）

4．n阶行列式都可化为上三角行列式 ( )

5．每一个函数f(x)都有原函数 ( )

三、解答题（每题10分）

)

x2?11．求极限（1）lim（非定向班做） x?1lnx

1ln(1?) （定向班做） （2）limx???arccotx

2 ．（1）求函数f(x)?3x?4x?12x?1在[-3，3]上的最大值，最小值。
（非定向班做 ）

（2）求曲线的y=f(x)=x3-3x2-5x+6的凹、凸区间及拐点。（定向
班做）

432

3．求不定积分：

2（1）(x?2x?3)dx （非定向班做） ?

（2）

1?9x2?6x?2 （定向班做）

1

24．（1）计算行列式的值：3

42341341241 （非定向班做） 23

?3?x1?x2?x3?0? ?x1??x2?x3?0有非零解？ （定向班做）

?x?2?x?x?023?1

大学数学答案：

一、选择题：1—5．b a c d d6—10. c c b c a11—15. b c

b c d

三、1．（1）2；（2）1；

2．（1）最大值244，最小值－31；

（2）(1,??) (??,1)(1,?1)

x3

3．（1）?x2?3x?c； 3

1 （2）arctan(3x?1)?c； 3

4．（1） 168；

【篇二：大学数学试题】


xt>一、 填空题（每空3分，共15分）

z??

的定义域为 （1

）函数

（2）已知函数

z?arctan

20

y?z

?

x，则?x

2yy2

（3）交换积分次序，?

dy?

f(x,y)dx

＝

（4）已知l是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

?(x?y)ds?

l

（5）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为 二、选择题（每
空3分，共15分）

?x?3y?2z?1?0?

（1）设直线l为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（ ）

a. l平行于? b. l在?上 c. l垂直于?d. l与?斜交 （2

（ ）

xyz?

?(1,0,?1)处的dz?

?dy

（3）已知?是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） a.

2

2

2

22(x?y)dv????

?

2?0

d??rdr?dz

2

3

5

2r

2

3

5

b.

?

2?0

d??rdr?dz

2?

2

5

4

3

5

?c.

2?0

d??rdr?

5dz

d. ，则其收敛半径

）

?

d??r2dr?dz

（4）已知幂级数

1

a. 2

b. 1c. 2

d. x??

（5）微分方程y???3y??2y?3x?2e的特解y的形式为y?（ ）

a.

x

xx

(ax?b)xe(ax?b)?ce b. c.

d.(ax?b)?cxe

三、计算题（每题8分，共48分）

x?1y?2z?3x?2y?1z

????

ll10?1211的平面方程 121、 求过直线:且平行于直线：

?z?z

22

2、 已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y

3、

设

x,y)x?y?4}，利用极坐标求

22

2x??dxdyd

4、 求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值

2x2

?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x?e)dy?l5、计算曲线积分， 其中l为
摆线?y?1?cost从点

o(0,0)到a(?,2)的一段弧

2

y

x

?xy?y?xe6、求微分方程 满足 yx?1?1的特解

四.解答题（共22分）

1、利用高斯公式计算

2

2xzdydz?yzdzdx?zdxdy????

z??

，其中由圆锥面与上

z?? )半球面所围成的立体表面的外侧(10

?

n?1n(?1)?n?1

3n?12、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条
件收敛；（6?）

（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1

?nx

?

n

的和函数（6?）

高等数学（下）模拟试卷一参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

4y

dxf(x,y)dy122?0x{(x,y)|x?y?0,x?y?0}21、 2、x?y 3

、

x?3x

y?ce?ce124

5、

?

二、选择题：（每空3分，共15分） 1.c2.d3.c4a5.d 三、计算题
（每题8分，共48分）

1、解： a(1,2,3)

?

?

?

s1?{1,0,?1}s2?{2,1,1} 2?

?

i

n?s1?s2?1

?

?

?

jk

???

0?1?i?3j?k

1

6?

?

21

?平面方程为 x?3y?z?2?0 8?

2

v?x2y 2? 2、解： 令u?xy?z?z?u?z?v

??????x?u?x?v?x

?z?z?u?z?v??????y?u?y?v?y3、解：d:0???2?

f1??y2?f2??2xy

6?

f1??2xy?f2??x2

8?

0?r?2，3?

2

2?0

?

??xdxdy???rcos?drd???

d

d

23

cos?d??r3dr

2

2

?4? 8?

2x2

?f(x,y)?e(2x?2y?4y?1)?0?x

1?2x(,?1)f(x,y)?e(2y?2)?0?y4．解： ?得驻点2 4?


a?fxx(x,y)?e2x(4x?4y2?8y?4),b?fxy(x,y)?e2x(4y? 4),c?fyy(x,y)?
2e2x

6?

11f(,?1)??e

?a?2e?0,ac?b2?4e2?0?极小值为228?

?p2?2x??q,?5．解：p?2xy?3sinx,q?x?ey

，有?y?x

曲线积分与路径无关2? 积分路线选择：l1:y?0,x从0??，l2:x??,y
从0?24?

?

l

(2xy?3sinx)dx?(x2?ey)dy??lpdx?qdy?1

?lpdx?qdy

2

?

2

??0

3sinxdx??0

(?2?ey)dy?2?2?e2?7

8y??

1xy?ex?p?1

x,q?ex6．解：

2?

?p(x)dx

1

1

?通解为

y?e?

[?q(x)e?p(x)dxdx?c]?e??x

dx[?exe?xdxdx?c]

4?

?1[?ex?xdx?c]?1

[(x?1)ex? xxc]

6?

代入yy1xx?1?1，得c?1，?特解为?x[(x?1)e?1] 8?
???2xzdydz?yzdzdx?z2

dxdy?z)dv?1、解：

?

???(2z?z?2?

???zdv?

4?

????r3cos?sin?drd?d?

?

6?

4方法一：

原式＝?

2??

d??cos?sin?d?0

3dr?

?

2 10?

方法二：

原式＝

?

2???1

1

d0


四、解答题

rdr?

r

?2??r(1?r2)dr?

?

2 10?

n?1?

un?1n2、解：（1）令
n?(?1)3n?1limun?1n? ?u?limn?1nn??3n?3n?13?1??n3n?1n?1
收敛， ?

? ?(?1)n?1n

n?1

3n?1

绝对收敛。6? ??

s(x)?（2）令

?nxn

?x?nxn?1?xs1(x)

n?1

n?1

2?

?

x?

x

?

x0

s1(x)dx???nxn?1

dx??xn?

1?x?sx)?(x1?x)??1

1(n?1

n?1

(1?x)2 5?4?

?

?s(x)?

x(1?x)2

x?(?1,1)

6?

【篇三：大学数学习题八答案】

列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界 集？并分别指
出它们的聚点集和边界：

(1) {(x,y)|x≠0};

(2) {(x,y)|1≤x2+y24};

(3) {(x,y)|yx2};

(4) {(x,y)|(x-1)2+y2≤1}∪{(x,y)|(x+1)2+y2≤1}.

解：(1)开集、无界集，聚点集：r2，边界：{(x,y)|x=0}. (2)既非开
集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x,y)|1≤x2+y2≤4}， 边界：{(x,y)|x2

+y2

=1}∪{(x,y)| x2

+y2

=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x,y)|y≤x2

}， 边界：{(x,y)| y=x2}.

(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，

边界：{(x,y)|(x-1)2+y2=1}∪{(x,y)|(x+1)2+y2=1}. 2. 已知
f(x,y)=x2+y2-xytan

xy

,试求f(tx,ty).

解：f(tx,ty)?(tx)2?(ty)2?tx?tytan

tx2

ty

?tf(x,y).

3. 已知f(u,v,w)?uw?wu?v,试求f(x?y,x?y,xy). 解：f(x+y, x-y, xy)
=(x+y)xy+(xy)x+y+x-y =(x+y)xy+(xy)2x. 4. 求下列各函数的定义域：

(1)z?ln(y2

?2x?

1);

(2)z?

?

(3)z?

ln(1?x?

y)

(4)u?

(5)z?

(6)z?ln(y?x)?

(7)u?arccos

解：(1)d?{(x,y)|y2

?2x?1?0}.

(2)d?{(x,y)|x?y?0,x?y?0}.

(3)d?{(x,y)|4x?y?0,1?x?y?0,x?y?0}.

2

2

2

2

2

(4)d?{(x,y,z)|x?0,y?0,z?0}. (5)d?{(x,y)|x?0,y?0,x2

?y}. (6)d?{(x,y)|y?x?0,x?0,x2

?y2

?1}. (7)d?{(x,y,z)|x2

?y2

?0,x2

?y2

?z2

?0}.5. 求下列各极限：

y

(1)lim

ln(x?e)x?1 y?0

(3)lim

x?0xy

y?0

(5)lim

sinxyx?0x

y?0

解：(1)原式

?ln2.(2)原式=+∞. (3)原式

=lim

1x?0??

y?0

4

.

(4)原式

=lim

x?0xy?1?1

?2.

y?0

(5)原式=lim

sinxyx?0xy

?y?1?0?0.

y?0

1

(x2?y2)

2

2(6)原式=lim

y2

x?02

2

2

x?0y?0

(x?y)e

x?y

2

?lim

x?2e

(x2

?y2

)

?0.

y?0

6. 判断下列函数在原点o(0，
2

(1)z??

y3)

?y2

,x?y?0,?x2

??

0,x2

?y2

?0;

(2)lim

1x?0x2

?

y

2

;

y?0

(4)lim

x?0

y?0

2

2

(6)lim

0)处是否连续： ?sin(x3?2

1?cos(x?y)x?0(x2

?y2

.y?0

)e

x2

?y

2

?sin(x3?y3)

,?

(2)z??x3?y3

?0,?

x?y?0,x?y?0;

3

3

33

22

?xy

,?222

(3) (2)z??xy?(x?y)

?0,?

x?y?0,x?y?0;

2

2

22

解：(1)由于0?

sin(x?y)x?y

2

2

33

?

x?yx?y

3

3

332

2

?

sin(x?y)x?y

3

3

33

?(x?y)

sin(x?y)x?y

3

3

33

又lim(x?y)?0，且lim

x?0

y?0

sin(x?y)x?y

3

3

x?0y?0

?lim

sinuu

u?0

?1,

故limz?0?z(0,0).

x?0y?0

故函数在o(0,0)处连续. (2)limz?lim

x?0y?0

sinuu

u?0

?1?z(0,0)?0

故o(0,0)是z的间断点.

(3)若p(x,y) 沿直线y=x趋于(0，0)点，则

limz?lim

x?x

2

22

2

x?0y?x?0

x?0

x?x?0

?1,

若点p(x,y) 沿直线y=-x趋于(0，0)点，则

limz?lim

x(?x)

2

22

2

2

x?0

y??x?0

x?0

x?(?x)?4x

?lim

x

2

2

x?0

x?4

?0

故limz不存在.故函数z在o(0，0)处不连续.

x?0y?0

7. 指出下列函数在向外间断： (1) f(x,y)=

x?y

3

23

x?y

(2) f(x,y)=

y?2xy?2x

2

2

2



(3) f(x,y)=ln(1－x2－y2);

?x?x2?2ey,

(4)f(x,y)=?y

?

0,?

y?0,y?0.

解：(1)因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线y=-x 上的所
有点处间断，而在其余

点处均连续.

(2)因为当y 2=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x上的
所有点处间断.而在其余各点处均连续.< br>
(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上
所 有点处间断.而在其余各点

处均连续.

(4)因为点p(x,y)沿直线y=x趋于o(0,0)时.

limf(x,y)?lim

xx

2

x?0x?0

e

?1

??.

y?x?0

故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续
偏导数： 22

(1)z=x2

y+

xy

2

(2)s=

u?vuv;

(3)z=x

ln;

(4)z=lntanxy



(5)z=(1+xy)y; (6)u=zxy;

y

(7)u=arctan(x-y)z

(8)u?xz.

解：(1)

?z?2xy?

1?z2

2x?x

y

2

,

?y

?x?

y

3

.

(2)s?u?

. 8. 求下列函数的

v

?s1uv

u

?u

?v

?

vu

2

,

?s?v

??v

2

?

1u

.

2

(3)?z?x

?lnx2x?

122

2

ln(x?y)?

x

x2

?y

2

,?z?y

?xy?

xy2x2

?y

2

.

(4)?z?

1

?x

?sec

2

xtan

xy?1y?2ycsc2xy

, y

?zx2xx?y

?

1tan

x?sec

2

y

?(?

xy

2

)??y

2

csc

2y

.

y

(5)两边取对数得lnz?yln(1?xy)

故

?z?x

?(1?xy)y

??yln(1?xy)??y

2

x?(1?xy)y

?

1?xy

?y2(1?xy)

y?1

.

?z

y

?y?(1?xy)??yln(1?xy)??y?y?(1?xy)?

ln(1?xy)?yx??1?xy??

?(1?xy)y?

?xy??ln(1?xy)?

1?xy?.?(6)

?u?x?lnz?z

xy

?y

?uxy?1

?y

?lnz?z

xy

?x

?u?z

?xy?z

(7)?uz(x?y)

z?1?x?

11?[(x?y)z]2

?z(x?y)

z?1

?

1?(x?y)

2z

.

?uz(x?y)

z?1

(?1)

?y)

z?1?y?

?1?[(x?y)z]

2

??

z(x1?(x?y)

2z

.

?uz?y)z

?z

?

(x?y)ln(x?y)ln(x?y)1?[(x?y)z

]

2

?

(x1?(x?y)

2z

.

y

(8)

?uz

?1

?x?

yz

x

. ?uy

?y?xzlnx?

1?1y

z

z

xzlnx.

?u

y

y

?xzlnx????y?

yz?z?z2??

??z2xlnx.29.已知u?

xy

2

?ux?y

，求证：x

?x

?y

?u?y

?3u.

2

证明：

?u(x?y)?x2y

2

222xy3

?x?

2xy(x?y)2

?

xy?(x?y)

2

.

?ux2

y2

?2yx3

由对称性知?y

?(x?y)2

.

x

?u?ux2

y2

于是 (x?y)?x

?y?y

?

3(x?y)

2

?3u.

??1?110.设z?e??

?xy??

，求证：x

2

?zz?x

?y

2

??y

?2z.

??1

1?????1?1证明： ?z?e

?xy??

??1??

1

?????xy??

?x

????x2????x2e,

?

由z关于x,y的对称性得