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2011届高三数学一轮复习：基础知识归纳
第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自 变量的取值？还
．．．．．
是因变量的取值？还是曲线上的点？„
2.数形结合是 解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩
．．．．
图等工具，将 抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法
解决
3.(1) 元 素与集合的关系：
xAxC
U
A
,
xC
U
AxA
.
（2）德摩根公式：
C
U
(AB)C
U
AC
U
B;C
U
(AB)C
U
ACU
B
.
（3）
ABAABB
ABC
U
BC
U
AAC
U
B
C
U
A BR

注意：讨论的时候不要遗忘了
A

的情况.
（4）集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}
的 子集个数共有
2
个；真子集有
2
–1个；非空子集有
2
–1个；
非空真子集有
2
–2个.
4．

是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
5.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法；
6.集合的交并补运算，主
n< br>nnn
要性质和运算率
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第二部分 函数与导数
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；
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ab

⑥利用均值不等式
ab
2
a
2
b
2
； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、
2
绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（
a
x
、
sinx
、
cosx
等）；⑨平方法；⑩ 导数法
3．复合函数的有关问题:
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤
b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值
域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数
yf[g(x)]
分解为 基本函数：内函数
ug(x)
与外函数
yf(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性:
⑪函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
． ．．．
⑫
f(x)
是奇函数
f(x)f(x)
；
f (x)
是偶函数
f(x)f(x)
.
⑬奇函数
f(x)
在0处有定义，则
f(0)0

⑭在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性
⑮若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性
6．函数的单调性:
⑪单调性的定义：
①
f(x)
在区间
M
上是增函数
x
1
,x
2
M,
当
x
1
x2
时有
f(x
1
)f(x
2
)
；
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
x
1
,x2
M,
当
x
1
x
2
时有
f(x< br>1
)f(x
2
)
；
⑫单调性的判定：①定义法：一般要将 式子
f(x
1
)f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形 式，
以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性：
(1)周期性的定义 ：对定义域内的任意
x
，若有
f(xT)f(x)
（其中
T< br>为非零常数），
则称函数
f(x)
为周期函数，
T
为它的一个 周期。所有正周期中最小的称为函数的最
小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期：①
ysinx:T2

；②
ycosx:T2

；
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③
ytanx:T
；④
yAsin(

x

),yAcos(< br>
x

):T
2

；
|
< br>|
⑤
ytan

x:T


|

|
(3)与周期有关的结论：
f(xa)f(xa)
或
f(x2a)f(x)(a0)


f(x)
的周期为
2a

8．基本初等函数的图像与性质：
㈠.⑪指数函数：
ya(a0,a1)；⑫对数函数:
ylog
a
x(a0,a1)
；
⑬幂函数：
yx
（

R)
；⑭正弦函数:
ysinx
；⑮余弦函数：
ycosx
；
（ 6）正切函数：
ytanx
；⑰一元二次函数：
axbxc0
（a≠ 0）；⑱其它常用函
数：
① 正比例函数：
ykx(k0)
；②反比例 函数：
y
㈡.⑪分数指数幂：
aa
；
a
b
x< br>
2
ka
③函数
yx(a0)

(k0)< br>；
xx

m
n
n
m

m
n

1
a
m
n
（以上
a0,m,nN
， 且
n1
）.
⑫.①
aNlog
a
Nb
； ②
log
a

MN

log
a
Mlog
aN
；
Mn
log
a
Mlog
a
N
； ④
log
a
m
b
n
log
a
b
.
Nm
log
m
N
logN
⑬.对数的换底公式:
log< br>a
N
.对数恒等式:
a
a
N
.
log
m
a
③
log
a
9．二次函数：
⑪解析式：①一般式：
f(x)axbxc
；②顶点式：
f(x)a(xh )k
，
(h,k)
为顶
点；
③零点式：
f(x)a( xx
1
)(xx
2
)
（a≠0）.
⑫二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
22

b4acb
2
b
二次函数
yaxbxc
的图象的 对称轴方程是
x
，顶点坐标是



2a
，< br>4a
2a

2




。

10．函数图象：
⑪图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法
⑫图象变换：
① 平移变换：ⅰ )
yf(x)yf(xa)
，
(a0)
———左“+”右“－”；
ⅱ)
yf(x)yf(x)k,(k0)

———上“+”下“－”；
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② 对称变换：ⅰ)
yf (x)

yf(x)
；ⅱ)
yf(x)

yf(x)
；
ⅲ)
yf(x)

yf(x)
； ⅳ)
yf(x)

xf(y)
；
③ 翻折变换： ⅰ)
yf(x)yf(|x|)
———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（
f(x)
在
y
左侧图象
去掉）；
ⅱ)
yf(x)y |f(x)|
———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|
f(x)
|在
x
下面无
图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明：
(1)证明函 数
yf(x)
图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的
对称点 仍在图像上；
（2）证明函数
yf(x)
与
yg(x)
图象的 对称性，即证明
yf(x)
图象上任意点关于
对称中心（对称轴）的对称点在
yg(x)
的图象上，反之亦然。
注：①曲线C
1
:f(x,y)=0 关于原点（0,0）的对称曲线C
2
方程为：f(－x,－y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C
2
方程为：f(－x, y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C
2
方程为：f(x, －y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线y =x的对称曲线C
2
方程为：f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）

y=f(x)图像关于直线x=
x0yx
(0,0)y0
ab
对称；
2
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）

y=f(x)图像关于直线x=a对称.
③
yf(x)的图象关于点
(a,b)
对称

f

ax

f

ax

2b
.
特别地：
y f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称

f

a x

f

ax

.
④函数
yf (xa)
与函数
yf(ax)
的图象关于直线
xa
对称;
函数
yf(ax)
与函数
yf(ax)
的图象 关于直线
x0
对称。
12．函数零点的求法：
⑪直接法（求
f(x)0
的根）；⑫图象法；⑬二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一
个零点。
13．导数：
⑪导数定义：f (x)在点x
0
处的导数记作
y

'
xx
0f

(x
0
)lim
n1
x0
f( x
0
x)f(x
0
)

x
'
⑫常见函数的导数公式: ①
C
0
；②
( x)nx
'x'x
n'
；③
(sinx)cosx
；
x
'
④
(cosx)sinx
；⑤
(a)alna
；⑥
(e)e
；⑦
(log
a
x)
x'
1
；
xlna
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⑧
(lnx)
'

1
。
x
u
v
u

vuv

;
v
2
⑬导数的四则运算法则：
(uv)

u
v

;(uv)

u

vuv

;()



⑭
（理科）
复合函数的导数：
y

x
y
u
u
x
;
⑮导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的
切线？
②利用导数判断函数单调性：i）
f

(x)0f(x)
是增函 数；ii）
f

(x)0f(x)
为
减函数；iii）
f

(x)0f(x)
为常数；
③利用导数求极值：ⅰ）求导数f

(x)
；ⅱ）求方程
f

(x)0
的根 ；ⅲ）列表得极值。
④ 利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较
得最值。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑪角度制与弧度制的互化：

弧度
180
，
1



180
弧度，
1
弧度
(
180

)

57

18
'

⑫弧长公式：
l

R
；扇形面积公式：
S
11
lR

R
2
。 < br>22
2．三角函数定义:角

终边上任一点（非原点）P
(x,y)< br>,设
|OP|r

则：
sin


yx< br>y
,cos

,
tan



rr
x
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
5．⑪
yAsin(

x

)

对称 轴：令

x

k



2
， 得
x;
对称中心：
(
k



,0)(kZ)
；

⑫
yAcos(

x

)

对称轴：令

x

k

，得
x
k


k




；对称中心：

2


(

,0)(kZ)
；
⑬周 期公式:①函数
yAsin(

x

)
及
y Acos(

x

)
的周期
T
常数，
且A≠0).②函数
yAtan


x


的周期
T
6．同角三角函数的基本关系：
sin
2
xcos2
x1;
7．三角函数的单调区间及对称性：
2


(A、ω、

为

(A、ω、

为常数，且A≠0).

sinx
tanx

cosx
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⑪
ysinx
的单调递增区间为

2k





2
,2k




2


kZ< br>,单调递减区间为

3




，对称轴 为
2k

,2k

kZ
xk

 (kZ)
,对称中心为

k

,0

(kZ)
.

22
2

⑫
ycosx
的单 调递增区间为

2k



,2k

< br>kZ
,单调递减区间为

2k

,2k




kZ
，
对称轴为
xk

(k Z)
,对称中心为

k


⑬
ytanx的单调递增区间为

k






,0

(kZ)
.
2




2
,k





kZ
，对 称中心为
2


k


,0


kZ

.

2

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①
sin(



)sin

cos

 cos

sin

；
cos(


)cos

cos

sin

sin
< br>；
tan(



)
tan

tan

.
1

tan

tan
< br>2222
22
②
sin(



)sin(



)sin

sin

；
cos(



)cos(



) cos

sin

.
③
asin

 bcos

=
absin(



)
( 其中,辅助角

所在象限由点
(a,b)
所在的象限
决定,
tan


b
).
a
2
9．二倍角公式：①
sin2

2sin

cos
< br>.
(sin

cos

)12sin

cos

1sin2


②
cos2
cos

sin

2cos

112si n

（升幂公式）.
2222
cos
2


10．正、余弦定理：
⑪ 正弦定理：
1cos2

1cos2

（降幂公式）.
,sin
2


22
abc
）
2R
（
2R
是
ABC
外接圆直径
s inAsinBsinC
注：①
a:b:csinA:sinB:sinC
；②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC
；
③
abcabc
。

sinAsinBsinCsinAsinBsinC
222
b
2
c
2
a
2
⑫余弦定理：
ab c2bccosA
等三个；
cosA
等三个。
2bc

111
ah
a
bh
b
ch
c
（
h< br>a
、h
b
、h
c
分别表示a、
222
111
b、c边上的高）；②
SabsinCbcsinAcasinB
.③
222

2

2
1
S
OAB
(|OA||OB|)(OAOB)

2
11.几个公式 :⑪三角形面积公式：①
S
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⑫内切圆半径r=
2S
ABC
； 外接圆直径2R=
sinA
abc

a

bc
;

sinBsinC
第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：⑪画三视图要求：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧
视图与俯视图宽相等。 ⑫斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。
2．表（侧）面积与体积公式：
⑪柱体：①表面积：S=S
侧
+2S
底
；②侧面积：S
侧
=
2

rh
；③体积：V= S
底
h
⑫锥体：①表面积：S=S
侧
+S
底
； ②侧面积：S
侧
=

rl
；③体积：V=
⑬台体：①表面积 ：S=S
侧
+
S
上底
h；
⑭球体：①表面积：S=
4

R
；②体积：V=

R
.
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑪直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑫直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行

线面平行。
⑬平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑭直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑮平面与平面垂直：①定义----两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
注：以上理科还可用向量法。
4.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）
⑪异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法
⑫直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法
5.结论：
⑪棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截
面 面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成
比例的多边形是 相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与
小棱锥的侧面积的比等于顶点 到截面距离与棱锥高的平方比．
⑫长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则体对角线长 为
abc
全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。
23
⑬ 正方体的棱长为a，则体对角线长为
3a
，全面积为
6a
，体积V=
a
。
222
1
S
底
h：
3
1
''
'

S
下底
;②侧面积：S
侧
=
< br>(rr)l
;③体积：V=（S+
SSS
）
3
4
3
3
2
，
⑭球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是
正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
⑭正四面体的性质：设棱长为
a
，则正四面体的：
① 高：
h< br>6266
a
；②对棱间距离：
a
；③内切球半径：
a
；④外接球半径：
a
。
32124
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第五部分 直线与圆
1．斜率公式：
k
y
2
y
1
，其中
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
.
x
2
x
1
直线的方向向量
v

a,b

，则直线的斜率为
k
=
2.直线方程的五种形式：
b
(a0)
.
a< br>(1)点斜式：
yy
1
k(xx
1
)
(直线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)，且斜率为
k
)．
(2)斜截式：
ykxb
(
b
为直线
l
在
y
轴上的截距).
(3)两点式：
( 4)截距式：
yy
1
xx
1
(
P

1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x2
,y
2
)

x
1
x
2
，
y
1
y
2
).
y
2
y
1< br>x
2
x
1
xy
1
(其中
a
、
b
分别为直线在
x
轴、
y
轴上的截距，且
a0, b0
).
ab
(5)一般式：
AxByC0
(其中A、B不同时为0).
3．两条直线的位置关系：
（1）若
l
1
:yk
1xb
1
，
l
2
:yk
2
xb
2
,则：
①
l
1
∥
l
2
k
1
k
2
,
b
1
b
2
；
②
l
1
l
2
k
1
k
2
 1
.
（2）若
l
1
:A
1
xB
1< br>yC
1
0
,
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
,则：
①
l
1
l
2
A
1
B
2
A
2
B
1< br>0
且
A
1
C
2
A
2
C
1
0
；②
l
1
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
0
.
4．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
5．两个公式:
⑪点P（x
0，
y
0
）到直线Ax+By +C=0的距离：
d
Ax
0
By
0
C
；
A
2
B
2
⑫两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的距离
d
6．圆的方程：
C
1
C
2
AB
22

⑪标准方程：①
(xa)(yb)r
；②
xyr
。
⑫一般方程：
xyDxEyF0
（
DE4F0)

注：Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圆

A=C≠0且B=0且D+E－4AF>0
7．圆的方程的求法：⑪待定系数法；⑫几何法。
8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑪点与圆的位置关系：（
d
表示点到圆心的距离）
①
dR点在圆上；②
dR
点在圆内；③
dR
点在圆外。
⑫直线与圆的位置关系：（
d
表示圆心到直线的距离）
①
dR
相切；②
dR
相交；③
dR
相离。
⑬圆与圆的位 置关系：（
d
表示圆心距，
R,r
表示两圆半径，且
Rr
）
①
dRr
相离；②
dRr
外切；③
Rr dRr
相交；
④
dRr
内切；⑤
0dRr
内含。
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2222
222222
2222

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9．直线与圆相交所得弦长
|AB|2rd


第六部分 圆锥曲线
1．定义：⑪椭圆：
|MF
1
||MF
2
|2a,(2a|F
1
F
2
|)
；
⑫双曲线：
||MF
1
||MF
2
||2a,(2a|F< br>1
F
2
|)
； ⑬抛物线：|MF|=d
2．结论 ：⑪直 线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
22
AB(x1
x
2
)
2
(y
1
y
2
)
2
,或
ABx
1
x
2
1k
2< br>, 或
ABy
1
y
2
1
1
.
k
2
2b
2
注：①抛物线：
AB
＝x
1
+x
2
+p；②通径（最短弦）：ⅰ）椭圆、双曲线：；ⅱ）抛
a
物线：2p .
⑫过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：
mxny1
（
m,n
同时大于0时表示椭
圆；
；当点
P
与椭圆短轴顶 点重合时
F
1
PF
2
最大；
mn0
时表示双曲线）
⑬双曲线中的结论：
22
22
① 双曲线
x

y
1
（a>0,b>0）的渐近线：
x

y
0
；
a
2
b
2
a
2
b
2
2
2
b
y
x
②共渐进线
y x
的双曲线标准方程可设为；

2


(

为参数，

≠ 0 ）
2
a
ab
22
③双曲线为等轴双曲线

e2
渐近线互相垂直；
⑭焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑪直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：①联 立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程？②直线斜率不
存在 时
考虑了吗？③判别式验证了吗？
⑫设而不求（点差法----- 代点作差法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x
1
，y< br>1
)、B(x
2
,y
2
)；②作差得
k
AB

y
1
y
2

；③解决问题。
x
1
x
2
4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （ 2）直接法（列等式）；（3）
代入法（又称相关点法或坐标转移法）；⑭待定系数法；（5）消参法； （6）交轨法；（7）
几何法。

第七部分 平面向量
1.平面上 两点间的距离公式:
d
A,B
(x
2
x
1
)< br>2
(y
2
y
1
)
2
，其中A
( x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
.
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2.向量的平行与垂直： 设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=< br>(x
2
,y
2
)
，且
b

0
，则：
①
a
∥
b

b
=λ
a
x
1
y
2
x
2
y
1
0
；
②
a

b
(
a

0
)

a
·
b
=0
x
1
x
2
y
1
y
2
0
.
3.a·b=|a||b|cos=x
1
x
2
+y
1
y
2
；
注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；
②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
=
ab
|a||b|
；
5.三点共线的充要条件：P ，A，B三点共线


OP

xOA

yOB

且xy1
。

第八部分 数列
1．定义：
(1)等差数列｛a
n
｝a
n1
a
n
d(d为常数,nN

）a
n
a
n1
d(n2)
2a
2
n
a
n1
a
n1
(n2,nN*)a
n
knbS
n
AnBn

⑫等比数列
｛a
a
n1
n}
a
q(q0)a
2
n
a
n-1
 a
n1
(n2,nN

)

n
2．等差、等比数列性质：
等差数列 等比数列
通项公式
a
n
a
1
(n1)d

a
n1
n
a
1
q

1.q1时，S
n
na
1
;
前n项和
Sa
1
a
n
)
2
na
n(n1)
n
n

n(
1

2
d

2.q1时，S
a
1
(1q)

n
1q< br>
a
1
a
n
q
1q
性质 ①a+ (n－m)d, ①a
n-m
n
=a
mn
=a
m
q;
②m+n=p+q时a
m
+a
n
=a
p
+a
q
②m+n=p+q时a
m
a
n
=a
p
a
q

③
S
k
,S
2kS
k
,S
3k
S
2k
,
成AP ③
S
k
,S
2k
S
k
,S
3k
 S
2k
,
成GP
④
aa
q
m
k
,
km
,a
k2m
,
成AP,
d'md
④
a
k
,a
km
,a
k2m< br>,
成GP,
q'

3．常见数列通项的求法：
⑪定义法 （利用AP,GP的定义）；⑫累加法（
a
n
1
a
n
 c
n
型）；⑬公式法：
a
S
1

n
=
S
n
－S
n-1
⑭累乘法（
a< br>n1
a
c
n
型）；⑮待定系数法（
a
n1ka
n
b
型）转化为
a
n1
xk(a
n
x)

n
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(n=1)

(n≥2)

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（6）间接法（例如：
a< br>n1
a
n
4a
n
a
n1

11
；（7）（理科）数学归纳法。
4
）
a
n
an1
4．前
n
项和的求法：⑪分组求和法；⑫错位相减法；⑬裂项法。
5．等差数列前n项和最值的求法：
⑪
S
n
最大值

a
n
0


a0


或S
n
最小值

n

；⑫利用二次函数的图象与性质。


a
n1
0


a
n 1
0


第九部分 不等式
ab

1．均值不等式：
ab
2
a
2
b
2
(a,b0)

2
ab
2
a
2
b
2
)(a,bR)
。 注意：①一正二定三相 等；②变形：
ab(
22
2．极值定理：已知
x,y
都是正数，则 有：
(1)如果积
xy
是定值
p
，那么当
xy
时和
xy
有最小值
2p
；
(2)如果和
xy
是定值
s
，那么当
xy
时积
xy
有最大值
21
2
s
.
4
3.解一元二次不等式
axbxc 0(或0)
:若
a0
,则对于解集不是全集或空集时,对应
的
解集为“大两边，小中间”.如:当
x
1
x
2
,

xx
1

xx
2

0x
1
 xx
2
；

xx
1

xx
2< br>
0xx
2
或xx
1
.
4.含有绝对值的 不等式：当
a0
时，有：①
xaxaaxa
；
②
xaxaxa
或
xa
.
5.分式不等式： 22
22
f

x

f

x

0f

x

g

x

0
； （2）
0f

x

g

x

0
；
g

x

g
x


f

x

g

x< br>
0

f

x

g

x

0
f

x

f

x

0

0

（3） ； （4）.

g

x

g

x


g x0

gx0
（1）
6.指数不等式与对数不等式
(1)当
a1
时,
a
f(x)
a
g(x)

f (x)0

f(x)g(x)
；
log
a
f(x) log
a
g(x)

g(x)0
.

f(x )g(x)


f(x)0

f(x)g(x)
；
log
a
f(x)log
a
g(x)

g(x )0


f(x)g(x)

(2)当
0a1时,
a
f(x)
a
g(x)
3．不等式的性质：
⑪
abba
；⑫
ab,bcac
；⑬
abac bc
；
ab,cd

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acbd
；⑭ab,c0acbd
；
ab,c0acbc
；
ab 0,
cd0

acbd
;⑮
ab0a
nb
n
0(nN

)
;⑯
ab0
n
a
n
b(nN

)


第十部分 复数
1．概念：
2
⑪z=a+bi∈R

b=0 (a,b∈R)

z=
z

z≥ 0；⑫z=a+bi是虚数

b≠ 0(a,b∈R)；
2
⑬z=a+bi是纯虚数

a=0且b≠ 0(a,b∈R)

z＋
z
＝0（z≠ 0）

z<0；
⑭a+bi=c+di

a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z z
2
= (a + b) ± (c + d)i；⑫ z
1
.z
2
= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
1
±
⑬
z
1
(abi)(cdi)
bdbcad
(z≠ 0) =


ac
2
i
z
2
(cdi)(cdi)
c
2
d
2
c
2
d
2
3．几个重要的结论：
①
(1i)
2
2i
；②
1i
i;
1i
i;

1i1i
③
i
性质：T=4；
i
4n
1,i
4n1
 i,i
4n2
1,i
4n3
i
；
i
4 n
i
4n1
i
42
i
4n3
0;< br>
4．模的性质：⑪
|z
1
z
2
||z
1
||z
2
|
；⑫
|
2
z
1
|z|
|
1
；⑬
|z
n
||z|
n
。 z
2
|z
2
|
5.实系数一元二次方程
axbxc 0
的解：
bb
2
4ac
b
2
①若< br>b4ac0
,则
x
1,2

;②若
b 4ac0
,则
x
1
x
2

;
2a
2a
2
③若
b4ac0
，它在实数集
R
内 没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭复数
2
b(b
2
4ac)i
2
(b4ac0)
. 根
x
2a

第十一部分 概率
1．事件的关系：
⑪事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作
AB
；
⑫事件A与事件B相等：若
AB,BA
，则事件A与B相等，记作A=B； ⑬并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作
AB
（或
A B
）；
⑭并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作
AB
（或
AB
） ；
⑮事件A与事件B互斥：若
AB
为不 可能事件（
AB

），则事件A与互斥；
⑯对立事件：
AB
为不可能事件，
AB
为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑪互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
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⑫古典概型：
P(A)
A包含的基本事件的个数
；
基本事件的总数
构成事件A的区域长度（面积或体积等）
；
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
第十二部分 统计与统计案例
⑬几何概型：
P(A)

1．抽样方法：
⑪简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量
为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为
n
；
N
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。
⑫系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，
从
每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④
按预
先制定的规则抽取样本。
⑬分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情
况，
将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

n

N
注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2．频 率分布直方图与茎叶图：⑪用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分
布直方图。⑫当数据是 两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，
两边的数字表示个位数，即第二个有效 数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎
上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
3．总体特征数的估计：
n
⑪样本平均数
x
1
(x1
x
2
x
n
)
1

x
i
；
nn
i1
n
⑫样本方差
S
2
1
[(x
1
x)
2
(x
2
x )
2
(x
n
x)
2
]

1< br>
(x
i
x)
2
；
n
n
i 1
n
⑬样本标准差
S
1
[(x
1
x)
2
(x
2
x)
2
(x
n
x)2
]
=
1

(x
i
x)
2

n
n
i1
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r

xx

yy

ii
i1
22
(xx)(yy)

i

i
i1i1
nn
n




xx

yy

ii
i1
n
(

x
i
2
 nx
2
)(

y
i
2
ny
2
)
i1i1
nn

注：⑪
r
>0时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；⑫当
|r|
越接近于1，两
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个变量的线性相关性越强；当
|r|
越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关
系。
4． 回归直线方程
n


x
i
x

y
i
y< br>


i1

b
n

2yabx
，其中


x
i
x



i1


aybx

xynxyii
i1
n
n

x
i
2
nx2
i1



第十三部分 算法初步
1．程序框图：
⑪图形符号：
① 终端框（起止框）；② 输入、输出框；

③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑫程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r =0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质数 n是质数 i=i+1
i=2
i

n或r=0? 否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型） ——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑪输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式

⑫条件语句：① ②
IF 条件THEN IF条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF

⑬循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE条件 DO
循环体 循环体
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WEND LOOP UNTIL 条件

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1．充要条件的判断：
（1）定义法---- 正、反方向推理
注意区分：“甲是乙的充分条件（甲

乙）”与“甲的充分条件是乙 （乙

甲）”
（2）利用集合间的包含关系：例如：若
AB
，则 A是B的充分条件或B是A的必要条
件；若A=B，则A是B的充要条件。
2．逻辑联结词：
⑪且(and) ：命题形式 p

q； p q p

q p

q

p
⑫或（or）： 命题形式 p

q； 真 真 真 真 假
⑬非（not）：命题形式

p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
3．四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

4。四种命题：
⑪原命题：若p则q； ⑫逆命题：若q则p；
⑬否命题：若

p则

q； ⑭逆否命题：若

q则

p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
5.全称量词与存在量词
⑪全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用

表示；
全称命题p：
xM,p(x)
； 全称命题p的否定

p：
xM,p(x)
。
⑫存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用

表示；
特称命题p：
xM,p(x)
；
6.常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
小于
对所有
x
，
成立
对任何
x
，
不成立
特称命题p的否定

p：
xM,p(x)
；
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
存在某
x
，
不成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个

p
或
q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n1
）个
至少有（
n1
）个

p
且
q

存在某
x
，
成立
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p
且
q

p
或
q

第十五部分 推理与证明
1．推理： < br>⑪合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进
行归纳 、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些
特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为 归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理： 由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具
有这些特征的推理，称为类比 推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑫演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑪大前提 ---------已知的一般结论；⑫小前提
---------所研究的特殊情况； ⑬结论 ---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
2．证明：
⑪直接证明 ①综 合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系
列的推理论证，最后推导出所要 证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺
推法或由因导果法。
②分析法：一 般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要
证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明
的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或 执果索因法。
（2）间接证明（反证法）：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛 盾，
因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。



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