八年级上册语文作业本-牛肉炖萝卜

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2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第三章
第二节函数模型及其应用
一. 教学内容：
函数模型及其应用

二. 重点、难点：
利用函数解决实际问题
1. 将实际问题抽象为具体函数
（1）确定
x
，通常为自由变化的量
（2）确定
y
，通常为所求的值
（3）建立函数关系
yf(x)
，通常利用一些实际定义
例如：利润=销售额－成本 销售额=单价×数量
面积公式：距离=速度×时间等
（4）确定函数的定义域
2. 利用函数相关内容，解决数学问题

【典型例题】
[例1] 某产品进货单价40元，按50元一个出售可卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个。
（1）定价 元时，日销售额最大为 。
（2）定价 元时，日利润最大为 。
解：设定价
x
元，日销售为
y
元
2
∴
yx[500(x50)10]
10x1000x

∴
x50
时，
y
max
25000
元
（2）设定价
x
元，日利润
y
元
y(x40)[50 0(x50)10]
10x
2
1400x40000

∴
x70
时，
y
max
9000
元

[例2] A地产汽油，B地需汽油，只能用汽车运输。汽车满载的油量等于汽车往返A、B 两地所需油耗，故
无法直接由A运到B，在A、B之间建立一个中转汽油库P，从A将油运至P，再由P 运至B，为使运油
率最大。（运油率
AB。

B地收到的油
A地运出的油
）P的位置应满足AP=
解：设AB=1，
APx(0,1)
，设A地有油M吨
由A→P，P地为
(1x)
M 由P→B，B地为
x(1x)M

∴ 运油率
y
x(1x) M
M
xx(x
2
1
2
)
2
1
4

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∴
x
1
2
时，
y
max

1
4


[例3] 某厂今年1、2、3月生产某种产品分别为1 万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后每个月的产量，
以这三个月的产品数量为依据，用一个函 数模拟该产品的月产量
y
与月份
x
的关系，模拟函数可以选用二
次函 数或函数
yabc
。已知4月份该产品的产量为1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数
较好。
解：（1）设
yf(x)pxqxr
(p0)


f(1)1

p0.05



f(2)1.2


q0.35

r0.7

f(3)1. 3
2

由


f(x)0.05x0.35x0.7

2
x
设
yg(x)abc


g(1) 1

a0.8


g(2)1.2

b 0.5
1
x
g(x)0.8()1.4

g(3)1. 3

c1.4

2

f(4)1.3
万，
g(4)1.35
万
x
∵
|1.371.35||1.371.30|
∴
yg(x)
作为模拟函数误差较小

[例4] 某蔬菜基地种植西红柿， 由历年市场行情得知从二月一日起的300天内，西红柿的市场售价与上市
时间的关系用图I所示的一条 折线表示，西红柿的种值成本与上市时间用II所示抛物线表示。
（1）写出图I、图II的函数关系 式。
Pf(t)
，
Qg(t)

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的收益最大。

a
1
tb
1
(0t200)
f(t)


a
2
tb
2
(200t300)
解：

∵
f(0)300
，
f(200)100
，
f(30 0)300

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
b
1
300

a
1
 1


200a
1
b
1
100
< br>b
1
300


200ab100

300t(0t200)
22

a
2
2
f(t )


b300

2

2t300(2 00t300)
∴

300a
2
b
2
300
∴
g(t)a(t150)100

g(50)150
1
2
g(t)(t150)100
200
∴
2
a
1
200

设纯收益
h(t)f(t)g(t)

1
2
1175< br>
tt(0t200)


20022
h(t)



1
t
2

7
t
1025
(200t300)

22

200

1

2
(t50)100(0t200)


200




1
(t350)
2
1 00(200t300)


200

∴
t[0, 200]
时
t50
，
h(t)
max
100

t(200,300]
时
t300
，
h(t)
max< br>87.5

∴
t50
时，
h(t)
最大
∴ 从二月一日起的第50天时上市的西红柿收益最大

[例5] 某报刊摊点从 报社批发进某种晚报的价格是每份0.12元，卖出价格为每份0.2元，卖不完的报纸可
以每份0.0 4元的价格退回报社，在每月中（30天计）有20天每天可以卖出400份，有10天只能卖出250
份。设每天从报社买进相同数额的报纸问应每天买进多少份，才能使每月获利润最大。
解：设每天买进
x
份，
250x400
，
xN
，利润为
y< br>
y(0.20.12)x20(0.20.12)25010(x250) (0.120.04)10


0.8x400

∴
x400
时
y
max
720
元

[例6] 若关于
x
的方程，
lg(x20x)lg(8x6a3) 0
有唯一实数解，求实数
a
取值范围。
2


x(,20)(0,)(1)

x20x0

2

2

x20x8x6a3

x12x(6a3) 0(2)

解：由题意即
2
①
0
时
a
11
2
（2）的解为
x6
不合题意
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
f(20)0
1631

a
62
②
0
时，

f(0)0

∴
a [
163
6
,
1
)
2
时方程有唯一解

[例7] 政府收购某种农产品的原价格为200元担，其中征税率标准为每100元征10 元（称税率为10%），
并计划收购
a
万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低< br>x
个百分点，预计收购量可增加
2x
个百分点。
（1）写出税收
y
与
x
的函数关系式；
（2）要使此项税 收在税率调节后不低于原计划税收的83.2%，试确定
x
的取值范围。
解：（1） 调节后税率为
(10x)%
，预计可收购为
a(12x%)
万担
∴
y200a(12x%)(10x)%
a

a
2 5
(x40x500)
2
(0x10)

（2）原计划税收为
200a10%20a
万元
依题意：
25
(x40x500)20a83.2%
2

2
2
x40x500416

x40x840

42x2

∵
x(0,10)
∴
x(0,2]


[例8] 公园要建造一个圆形的喷水池在水池，中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中 心，
OA1.25m
，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的 抛物线路径落下，
且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流到 OA距离1米处达
到距水面最大高度2.25m。如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才 能使喷出的水流不致落
到池外。

解：抛物线
ya(x1)2.25

A(0,1.25)
∴
a1

∴
y(x1)2.25

y0
时
x2.5

∴ 水池半径至少
2.5m
才能使水不落在池外
2
2
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【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. ABCD是一个单位正方 形，在正方形内⊙
O
1
与⊙
O
2
相外切，且⊙
O< br>1
与AB、AD两边相切，⊙
O
2
与
BC、CD两边相切，两 圆半径各为多少时，两圆面积之和最大或最小。

2. 有一批影碟机原售价为每台800元 ，在甲、乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下方法促销：买一
台单价为780元，买两台每台单价均 为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但
每台最低不能低于440元。乙商 场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场
购买花费较少。
3. 某商品在100天内的价格
f(t)
与时间
t
的函数关系是

t
22(0t40,tN)


4
f( t)



t
52(40t100,tN)
< br>
2

1112
g(t)t
33
(0t1 00,tN)
，求日销售额
F(t)
的最大值。 销售量
g(t)
与时间关系是
4. 某商场将空调先按原价提高40%，然后打出广告 “大酬宾八折优惠”，结果每台空调比原来多赚了270
元，则原来每台空调多少元。
5. 二次函数
f(x)xbxc
，
x[1,1]
时
f(x) 0
，
x[1,3]
时
f(x)0

（1）求证
c3
；
（2）若
f(x)
在区间
[ 1,1]
上最大值为8，求
b,c
；
（3）是否存在实数
m，使得
g(x)f(x)mx
在区间
(0,)
上↑。

2
2
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【试题答案】

1.
解：设⊙
O
1
半径为r
1
，面积为
S
1
，⊙
O
2
半径为< br>r
2
，面积为
S
2

∵
r
1r
2

2
2r
1

2
2r
2

2
2

2
r
1
r
2

2
21
2
22

SS
1
S
2


r
1


r
2

r
1


(2


[ r
1
(642)2(2


[2r
1
2 (2
2
2
2r
1
)

2)r
1
r
1
]

2)r
1
(642)]



[2(r
1

r
1
[
r
1

3
2

2,
2
2
2
1
]
2
) (322)]
r
1
1
1
2
2

2
2
时，
S
min
322

(962)
2
∴
13
2
或
2
时，
S
max


2.
解：设某单位需购买
x
台影碟机，差价为
y


(80020x)x600x(1x18)

20x(x10)( 1x18)
y

440x600x(x18)

∴
y

160x(x18)

y0
的解为
1x9

∴ 买1—9台应去乙商场，买10台甲、乙均可。买10台以上应去甲商场。
3.
2500< br>
1
2
(t12)(0t40)


12 3
F(t)f(t)g(t)


1
(t108)
2

8
(40t100)

3

6
解 ：
t[0,40]
时
t12
，
F(t)
max

2500
3

4873
6
t(40,100]
时
t41
时，
F(t)
max


∴
t12
时，
4.
F(t)
max

2500
3

解：设原价为
x

x(140%)80%x270

0.12x270

x2250

5.
解：（1）∵
f(1)0
∴
bc1

f(3)93bc
93c3c62c0
∴
c3

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（2）
f(x)x(c1)xc(x1)(xc)
∴
[1,1]
为↓
∴
y
max
f(1)1c1c8
∴
c3
，
b4

（3）
g(x)f(x)mxx(c1m)xc

对称轴
(c1m)
2
2
222
2

1
2
(c1m)[2,)
2

∴
[0,2]
为↓ ∴
m
不存在
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