空格复制-无垠水平线

对数螺线与蜘蛛网
曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵 ，
只等飞来将。”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲
的正是蜘蛛结网捕虫的 生动情形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地
方，也是它赖以谋生的工具。
你观察过蜘蛛 网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?
你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢 慢告诉你吧。在
结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。首先，它用腿从吐丝器
中抽出一些 丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。然后，再吐出一
些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特 别的丝把这个轮廓固
定住。为继续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，
小心翼 翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到
中心。从中心往边上爬的过程中，在合适的 地方加几根辐线，为了保
持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。一般来说，不同种
类 的蜘蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次
之，也有32条；角蛛最少，也达到2 1条。同一种蜘蛛一般不会改变
辐线数。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线
间的圆周角也是大体 相同的。现在，整 个蜘蛛网看起来是一些半径
等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从中心开始，用一条极
细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的丝。然后，
它又从外圈盘旋着走向中心，同时 在半径上安上最后成网的螺旋线。

在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就 用脚把辅助线
抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从
外面看上去， 就是许多个小点。好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。
让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作 :从外圈走向中心的
那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。只有中心
部分的 辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出的曲线，在
几何中称之为对数螺线。
对 数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲
线上这点的切线所形成的角是一个定角。大 家可别小看了对数螺线:
在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，
抽 水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，
它就会按特定的角度来切割草料，又快 又好。

猫捉老鼠
问题：如果3只猫在3分钟内捉住了3只老鼠，那么多少只猫将
在100分钟内捉住100只老鼠?
这是一个古老的趣题，常见的答案是这样的：如果3只猫用3
分钟捉住了3只老鼠，那么它 们必须用1分钟捉住1只老鼠。于是，
如果捉1只老鼠要花去它们1分钟时间，那么同样的3只猫在l0 0分
钟内将会捉住100只老鼠。
遗憾的是，问题并不那么简单。刚才的解答实际上利用 了某个假
定，它无疑是题目中所没有谈到的。这个假定认为这3只猫把注意力

全 部集中于同一只老鼠身上，它们通过合作在1分钟内把它捉住，然
后再联合把注意力转向另—只老鼠。
但是，假设3只猫换一个做法，每只猫各追捕1只老鼠，各花3
分钟把它们捉住。按照这种 设想，3只猫还是用3分钟捉住3只老鼠。
于是，它们要花6分钟去捉住6只老鼠，花9分钟捉住9只老 鼠，花
99分钟捉住99只老鼠。现在我们面临着一个计算上的困难，同样的
3只猫究竟要花多 长时间才能捉住第100只老鼠呢?如果它们还是要
足足花上3分钟去捉住这只老鼠，那么这3只猫得花 l02分钟捉住102
只老鼠。要在100分钟内捉住100只老鼠——这是题目关于猫捉老鼠
的效率指标，我们肯定需要多于3只而少于4只的猫，因此答案只能
是需要4只猫，虽然这有点浪费。
显然，对于3只猫是怎样准确地计算猫捉老鼠这种行动的时间，
这个趣题没做任何交代。因 此，如果允许答案不唯一，那么，答案可
以是丰富多彩的，3只、4只、甚至更多。如果要求答案唯一的 话，
这个问题的唯一正确答案是：这是一个意义不明确的问题，由于没有
更多关于猫是怎样捕捉 老鼠的信息，因此无法回答这个问题。
这个简单的趣题启示我们，在解答一个数学问题（也包括其 他问
题）前，一定要仔细领会题目所给出的全部信息，既不要曲解题义，
也不要人为添加条件以 迎合所谓的标准答案。当然这个趣题也给了我
们一个有益的人生启示——只有合作才能产生最佳的工作效 益。

表面涂漆的小积木的块数
一块表面涂着红 漆的大积木（正方体），被锯成27块大小一样的
小积木，那么，这些小积木中，（1）三面涂漆的有几 块？（2）两面
涂漆的有几块？（3）一面涂漆的有几块？
这时，就不能再用把积木锯开 的办法来回答问题了。但只需认真
观察一下，你就能发现，把正方体锯开以后，只有位于正方体八个角< br>上的那些小积木，是三面涂漆的。也就是说，三面涂漆的小积木的块
数，等于正方体的顶点数，有 8块；
涂漆的那些小积木，位于正方体的两个面的交界处，但不在正方
体的角上（即顶点 处）。因此，只需首先确定正方体的某条棱上出现
的两面涂漆的小积木的块数，而正方体有12条棱。于 是，立即可以
求得，两面涂漆的小积木的块数为1块×12=12块；
一面涂漆的小积木 ，位于正方体每个面的中心部位。即不在正方
体的顶点处，也不在棱上。因此，只需首先确定正方体的某 一个面上
出现的一面涂漆的小积木的块数，而正方体有6个面。于是可得，一
面涂漆的小积木的 块数为1块×6=6块。
通过观察，找出解决问题的规律，是学习数学的重要任务之一。
这样，就能运用数学知识迅速而又有效地解决实际问题。根据上面归
纳出来的分析方法，即使把这个正方 体锯成更多的小积木，我们也能
轻松地回答类似的问题。

建议班级购买一台饮水机
在炎炎夏日里，同学们遇到的难事就是饮水问题 ，为了使同学们
过一个卫生清洁的夏季，班级决定出钱买一台饮水机，而每人又应出
多少钱呢？ 即使买了饮水机，是否比过去每个学生每天买矿泉水更节
省、更实惠？下面就来解答这个问题。
一、学生矿泉水费用支出
温州市景山中学共有37个班级，假设每班学生平均为60 人，那
么全校就有60×37=2220（人）。一年中，学生在校的时间（除去寒
暑假双休日 ）大约为240天，设春季、夏季、秋季、冬季、各为60
天，在班级没有购买饮水机时，学生解渴一般 买矿泉水，设矿泉水每
瓶为一元，学生春秋季每人二天1瓶矿泉水，则总共为60瓶。夏季
每人 每天1瓶，则总共也为60瓶，冬季每人每4天1瓶，总共为15
瓶，则全年平均每名学生矿泉水费支出 ： 60+60+（60÷4）×
1=135(元)；全班学生矿泉水费用 135×60=8100(元)；全校学生矿泉
水费用：8100×37=299700(元)。
二、使用饮水机费用
一台冷热饮水机的价格约为750元，1字牌大桶矿泉水为每桶 10
元，现每班都配备饮水机。设每班春、季两季、每2天1桶，则需
60桶，夏季每天2桶， 则需120桶，冬季每6天1桶，则每班需20
桶，则一学年每班需要“60+120+20=200（ 桶），一学生每班水费为
200×10=2000元。电费折合为每学年每班为300元。则一学年配置
饮水机每班水电费2300元。所以，一学年每班饮水机等合计约为

2300+ 750÷3=2550元；每个学生平均一学年的水电费为2500÷
60=42.5元；景山中学全校 全年饮水机等费用约为37×2550=94350
元；
显然，通过计算，比较两项开支 费用，各班购买一台饮水机要经
济实惠得多，一学年每个学生可以节省：135-42.5=92.5元 ；每个班
一学年可节省： 92.5×60=5550元；全校一学年可节省：5550×
37=205350元。
205350元，一个了不起的数据，而我们每天又可以喝上卫生清
洁、冷暖皆宜的饮水机的矿泉水，等 我们毕业时还可以把饮水机赠给
下届同学，何乐而不为呢？我向昌乐二中提出倡议：在每个教室里配一台饮水机。

巧用数学看现实
在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化．但怎
样才能达到这样的目的呢？
某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖 10000
元 1名，一等奖1000元 2名，二等奖100元10名，三等奖5元200
名，乙商厦则实行九五折优 惠销售。请你想一想；哪一种销售方式更
吸引人？哪一家商厦提供给销费者的实惠大？
面 对问题我们并不能一目了然。于是我们首先作了一个随机调
查。把全组的16名学员作为调查对象，其中 8人愿意去甲家，6人
喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以。调查结果表明：甲商厦

的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？
在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业 额和参加抽奖的人数
都没有限制。所以我们认为这个问题应该有几种答案。
一、苦甲商厦 确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213（1
十2＋10＋200=213人）人，人们会认为获 奖机率较大，则甲商厦的
销售方式更吸引顾客。
二、若甲商厦的每组营业额较多时，它给 顾客的优惠幅度就相应
的小。因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共 14000元（10000＋
2000＋ 1000＋1000=14000）。假设两商厦提供的优惠都是14000元，
则可求乙商厦的营业额为 280000元（ 14000 ÷ 5％=280000）。
所以由此可得：
（l）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优
惠同样多。
（2）当两商厦的营业额都不足 280000元时，乙商厦的优惠则
小于 14000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是 14000元，优惠较
大。
（3）当两 家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于
14000元，而甲商厦的优惠仍保持140 00元时，乙商厦所提供的实惠
大。