友情名言-四物汤是什么

全国中考数学压轴题精选-解析几何

71.（中考江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究
如图，在直角坐标系
x Oy
中，点
P
为函数
y
1
2
x
在第一象 限内的图象上的任一点，点
A
4
的坐标为
(0，1)
，直线
l
过
B(0，1)
且与
x
轴平行，过
P
作
y
轴的平行线分别交
x
轴，
l
于
C，Q
，连结< br>AQ
交
x
轴于
H
，直线
PH
交
y< br>轴于
R
．
（1）求证：
H
点为线段
AQ
的中点；
（2）求证：①四边形
APQR
为平行四边形；
②平行四边形
APQR
为菱形；
（3）除
P
点外，直线
PH
与抛物线
y
y
P
A
O
B
R
C
Q
x
l
H
1
2
x
有无其它公共点？并说明理由．
4
（中考江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知
AOCQ1
．
Q
AOHQCH90
o
，
AHOQHC
，
·············································· ······························· （1分）
△AOH≌△QCH
．
·························· ································· （2分）
OHCH
，即
H
为
AQ
的中点． ·
法二：< br>QA(01)
····································· ············ （1分）
，
，
B(0，1)
，
OAOB
． ·
又
BQ∥x
轴，
HAHQ
． ·············· ·················································· ···· （2分）
（2）①由（1）可知
AHQH
，
AHRQHP
，
QAR∥PQ
，
RAHPQH
，
··········· ·················································· ··············· （3分）
△RAH≌△PQH
． ·
ARPQ
，
又
AR∥PQ
，

四边形
APQR
为平行四边形． ············································· （4分）
1)
，则
PQ1
②设
P

m，m

，
QPQ∥y
轴，则
Q(m，
过
P
作
PG y
轴，垂足为
G
，在
Rt△APG
中，

< br>1
4
2


1
2
m
．
4

1

1

1

APAGPG 

m
2
1

m
2

m
2
1

m
2
1PQ
．
4

4

4

22
22

平行四 边形
APQR
为菱形． ······························· ····································· （6分）
（3） 设直线
PR
为
ykxb
，由
OHCH
，得
H


m

1

，2

，
P

m，m
2

代入得：

2
< br>4

m

m

kb0，k，


m1
2

2

2


直线为···················· （7分）
yxm
． ·
P R

1
1
24

kmbm
2
.
bm
2
.


4
4
设直线
PR
与抛物线的公共点为

x，x

，代入直线
P R
关系式得：


1
4
2


1
2
m11

1

xxm
2
0，
(xm)
2
0
，解得
xm
．得公共点为

m，m
2

．
4244

4
所以直线
PH
与抛物线
y
1
2
·········· ···························· （8分）
x
只有一个公共点
P
．·
4





72（中考黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）
如图，在平 面直角坐标系中，点
C(3，0)
，点
A，B
分别在
x
轴 ，
y
轴的正半轴上，且满足
OB
2
3OA10
．
（1）求点
A
，点
B
的坐标．
（2）若点
P从
C
点出发，以每秒1个单位的速度沿射线
CB
运动，连结
AP
．设
△ABP
的
面积为
S
，点
P
的运动时 间为
t
秒，求
S
与
t
的函数关系式，并写出自变量的取值范 围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点
P
，使以点
A，B，P
为顶点的三角形与
△AOB
相似？
若存在，请直接写出点
P
的坐标； 若不存在，请说明理由．
y




B





x


CO
A

（中考黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1）
QOB3OA10

·················································· ···················· （1分）
OB
2
30
，
OA10
·
2
OB3
，
OA1

Q
点
A，点
B
分别在
x
轴，
y
轴的正半轴上
A(1，，0)B(0，3)
··························· ·················································· ····· （2分）
（2）求得
ABC90
·············· ·················································· ············· （3分）
o


23t

(0
≤
t23)
S




t23

(t23)
（每个解析式各1分，两个取值范围共1分） ················································ （6分）
，0)
；
P
2

1，
（3）
P
1
(3


2

4

3< br>
；
P
3

1，3

；
P
4
(3，23)
（每个1分，计4分）
33

······ ·················································· ·················································· · （10分）
注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．




73（中考海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点 O和x轴上另一
点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B( -2,m)，且与y轴、
直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB= PE,若存在，试
求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
y

x=2


B


C
O
A

D

x
E
图13

（中考海南省卷24题解析）（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分）
∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………（3分）
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴
a
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为
y
1
.
4
11
x(x4)
，即
yx
2
x
. （6分）
44
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4.
y
x=2
22
在Rt△BGC中，BC=
CGBG5
.
F
G
B
∵ CE=5，
∴ CB=CE=5. ……………………（9分）
C
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，
O
x
A
则点H的坐标为H(0,-5).
D
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），
H
E
∴ BD=DE.
即D是BE的中点. ………………………………（11分）
（3） 存在. ………………………………（12分）
由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

b1
将D(0,-1) C(2,0)代入，得

. 解得
k
1
,b1
.
2

2kb0
1
∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
2
1
∵ 动点P的坐标为(x，
x
2
x
)，
4
1
1
∴ x-1=
x
2
x
. ………………………………（13分）
2
4
1515
解得
x
1
35
，
x
2
35
. ∴
y
1

，
y
1

.
22
1515
∴ 符合条件的点P的坐标为(
35
，)或(< br>35
，
).…（14分）
22
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

74.（中考广东东莞22题）（本题满分9分 ）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在
一起，使得它们的斜边
AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图10，若以 AB所在直线为
x
轴，过点A垂直于AB的直线为
y
轴建立如图10
的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向
x
轴的正方向平移到ΔFGH的位
置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，
并写出t 的取值值范围.







y
D
E
A
图9
B
A
F
图
10
C
D
C
E
P
B G
x
H
（中考广东东莞22题解析）解：（1）
43
，
4 3
，…………………………1分
等腰；…………………………2分
（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3
分）
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，
△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)
所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分


（3）由题意知，FP∥AE，
∴ ∠1＝∠PFB，
又∵ ∠1＝∠2＝30°，
DC
H
∴ ∠PFB＝∠2＝30°,
∴ FP＝BP.…………………………6分
y
过点P作PK⊥FB于点K，则
FKBK
∵ AF＝t，AB＝8，
1
FB
.
2
1
A
F
E
P
2
1
∴ FB＝8－t，
BK(8t)
.
2
K
图10
BG
x

在Rt△BPK中，
PKBKtan2
13
(8t)tan30(8t)
. ……………………7分
26
∴ △FBP的面积
S
113
FBPK(8t)(8t)
，
226
∴ S与t之间的函数关系式为：

S
33< br>2
416
(t8)
2
，或
Stt3
. …………………………………8分
121233
t的取值范围为：
0t8
. …………………………………………………………9分

75（中考甘肃兰州28题）（本题 满分12分）如图19-1，
OABC
是一张放在平面直角坐标系
中的矩形纸片，O
为原点，点
A
在
x
轴的正半轴上，点
C
在< br>y
轴的正半轴上，
OA5
，
OC4
．
（1）在
OC
边上取一点
D
，将纸片沿
AD
翻折，使点
O< br>落在
BC
边上的点
E
处，求
D，E
两点的坐标； < br>（2）如图19-2，若
AE
上有一动点
P
（不与
A，E重合）自
A
点沿
AE
方向向
E
点匀速运
动，运 动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为
t
秒（
0t5
），过P
点作
ED
的
平行线交
AD
于点
M
， 过点
M
作
AE
的平行线交
DE
于点
N
．求 四边形
PMNE
的面积
S
与时间
t
之间的函数关系式；当< br>t
取何值时，
S
有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下 ，当
t
为何值时，以
A，M，E
为顶点的三角形为等腰三角形，并求
出相应的时刻点
M
的坐标．

y y

E
E
C C
B B

N

D D
P

M
x x

O O
A A

图19-1 图19-2

（中考甘肃兰州28题解析）（本题满分12分）
解：（1）依题意可知，折痕
AD
是四边形
OAED
的对称轴， < br>
在
Rt△ABE
中，
AEAO5
，
AB4< br>．
BEAE
2
AB
2
5
2
4< br>2
3
．
CE2
．
． ·············· ·················································· ··················· 2分
E
点坐标为（2，4）
在
Rt△DCE
中，
DCCEDE
， 又
QDEOD
．
222
(4OD)
2
2
2
OD
2
． 解得：
CD
5
．
2

5

· ·················································· ·································· 3分
D
点坐标为

0，

·

2


（2）如图①
QPM∥ED
，
△APM∽△AED
．
PMAP5
，又知
APt
，
ED
，
AE 5


EDAE2
t5t
PM
， 又
QPE5t
．
522
而显然四边形
PMNE
为矩形．
t15
····· ············································ 5分 S
矩形PMNE
PMgPE(5t)t
2
t
·
222

S
四边形PMNE

当
t
5
1

5

25


t
< br>
，又
Q05

2
2

2
< br>8
2
5
25
时，
S
矩形PMNE
有最大值． ·················································· ············ 6分
2
8
（3）（i）若以
AE
为等 腰三角形的底，则
MEMA
（如图①）
在
Rt△AED
中，MEMA
，
QPMAE
，
P
为
AE
的中 点，
15
tAPAE
．
22
y
又
QPM∥ED
，
M
为
AD
的中点．
E
C
B
过点
M
作
MFOA
，垂足 为
F
，则
MF
是
△OAD
的中位线，
N
P
D
1515
MFOD
，
OFOA
，
M
2422

当
t
5
5

时，

05

，
△AME
为等腰三角形．
2
2
 

55


24

O
F
图①
A
x
此时
M
点坐标为

，

． ·········· ·················································· ·················· 8分
（ii）若以
AE
为等腰三角形的腰，则
AMAE5
（如图②）
5

5

222
5
． 在
Rt△AOD< br>中，
ADODAO

5
22

过点< br>M
作
MFOA
，垂足为
F
．
△APM∽△AED
．
QPM∥ED
，

2
y
C
N
D
M
O
F
图②
A
x
E
P
B
APAM
．

AEA D
1
AM
g
AE55
tAP25
，
 PMt5
．
5
2
AD
5
2

MF MP5
，
OFOAAFOAAP525
，

当< br>t25
时，（
0255
），此时
M
点坐标为
( 525，5)
．······················ 11分
综合（i）（i i）可知，
t
5
或
t25
时，以
A，M，E
为 顶点的三角形为等腰三角形，相
2

应
M
点的坐标为

，

或
(525，5)
． ················· ······································ 12分

76.（中考天津市卷26题）（本小题10分）
已知抛物线
y3ax
2
2bxc
，
（Ⅰ）若
ab1
，
c1
，求该抛物线与
x
轴公共点的坐标； （Ⅱ）若
ab1
，且当
1x1
时，抛物线与
x
轴有且只有一个公共点，求
c
的取值范围；
（Ⅲ）若
abc0，且
x
1
0
时，对应的
y
1
0
； 对应的
y
2
0
，试判断当
0x1
x
2
1
时，
时，抛物线与
x
轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有 ，阐述理由．


（中考天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当
ab1，
c1
时，抛物线为
y3x
2
2x1
， < br>方程
3x
2
2x10
的两个根为
x
1
1
，
x
2


55


24

1
．
3
0

． ·∴该抛物线与
x
轴公共点的坐标是

1
····················· ··················· 2分
，0

和

，< br>（Ⅱ）当
ab1
时，抛物线为
y3x
2
2xc，且与
x
轴有公共点．

1

3


1
对于方程
3x
2
2xc0
，判别式
 412c
≥0，有
c
≤． ·································· 3分
3
①当< br>c
111
时，由方程
3x
2
2x0
，解得< br>x
1
x
2

．
333
此时抛物线为< br>y3x
2
2x

1

1
0

． ·与
x
轴只有一个公共点

，
·········· ················· 4分
3

3

②当
c
1
时，
3
x
1
1
时，
y
1
32c1c
，
x
2
1
时，
y
2
32c5c< br>．
1
由已知
1x1
时，该抛物线与
x
轴有且 只有一个公共点，考虑其对称轴为
x
，
3

y
1≤0，

1c≤0，
应有

即

y0.
5c0.


2
解得
5c≤1．
综上，
c
1
或
5c≤1
． ·· ·················································· ················· 6分
3

（Ⅲ）对于二次函数
y3ax
2
2bxc
，
由已知
x
1
0< br>时，
y
1
c0
；
x
2
1
时，
y
2
3a2bc0
，
又
abc0
，∴
3a2bc(abc)2ab2ab
．
于是
2a b0
．而
bac
，∴
2aac0
，即
ac 0
．
∴
ac0
． ···················· ·················································· ······················ 7分
∵关于
x
的一元二次方程
3ax
2
2bxc0
的判别式
4b
2
12ac4(ac)
2
12ac4[(ac)
2
ac]0< br>，
∴抛物线
y3ax
2
2bxc
与
x
轴有两个公共点，顶点在
x
轴下方． ························· 8分
又该抛物线的对称轴
x
b
，
3a
由
ab c0
，
c0
，
2ab0
，
得
2aba
，
∴
y

1b2

．
33a3
O

1

x
又由已知
x
1
0
时，
y
1
0
；
x
2
1
时，
y
2
0
， 观察图象，
可知在
0x1
范围内，该抛物线与
x
轴有两个公共点． ····································· 10分


77（中考湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0) ，A(0，
n)，C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路 程为z，
△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数， m＞1，n＞0．
（1）请你确定n的值和点B的坐标；
（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y＝ax＋b x＋c的顶点，且在双曲线y＝
时，求这时四边形OABC的面积．

2
11
上
5x
y
A


EF
m



D
z
O123
x
1
C
O'


(图1) (图2)

(第25题)

（中考湖北宜昌25题解析）解：(1) 从图中可知，当 P从O向A运动时，△POC的面积S
B
S

＝
1
mz ， z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2 . (1分)
2
同理，AB
＝
1，故点B的坐标是(1，2).(2分)
(2)解法一：
∵抛物线y＝ax
2
＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m ，0),∴c＝0，b＝－am，(3分)
∴抛物线为y＝ax
2
－amx，顶点坐标为(
m
1
，－ am
2
).(4分)
4
2
y
A
B
如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l.
当P在OA上运动时，O,P都在y轴上，
这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上，
∴这时抛物线l不存在, 故不存在m的值..①
当点P与C重合时，双曲线y
＝
11
不可能经过P,
5x
O
1
C
故也不存在m的值.②(5分)
(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分)
当P在AB上运动时，即当00
≤1时，y
0
＝2，
抛物线l的顶点为P(
∵P在双曲线y
＝
x
(25题图1)
m
，2).
2
1111
11m
上，可得 m
＝
，∵>2,与 x
0
＝
≤1不合，舍去.(6分)③
55
5x2
容易求得直线BC的解析式是：
y
2
x
2m
，(7分)
1m1m
当P在BC上运动，设P的坐标为 (x
0
,y
0
)，当P是顶点时 x
0
＝
m
，
2
22mmm
m
＝，顶点P为(，)，
x
0
< br>1m1mm1
2
m1
m11
∵1< x
0
＝
2，又∵P在双曲线y
＝
上，
25x
m
11
m
2
于是，×＝，化简后得5m－22m＋22
＝< br>0,
2
m1
5
故得y
0
＝
解得
m
1

22211
22211
,
m
2

,(8分)
10
10
22211
2,

10
Q2112,2221120,
m
2

与题意20
＝
m
2
22211
.
10
故由①②③④，满足条件的只有一个值：< br>m

这时四边形OABC的面积＝
(2)解法二：
1611
1
.(10分)
(1m)2
＝
5
2
y
A
PB
∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m ，0)
∴c＝0，b＝－am，(3分)
m1
∴抛物线为y＝ax
2
－amx，顶点坐标P为( ，－ am
2
). (4分)
24
mm
∵m＞1，∴ ＞0，且 ≠m，
22
∴P不在边OA上且不与C重合. (5分)
11m11188
∵P在双曲线y＝ 上，∴ ×(－ am
2
)＝ 即a＝－
3
.
5x2455m
1m
.①当1＜m≤2时， ＜ ≤1，如图2,分别过B，P作x轴的垂线，
22
M，N为垂足，此时点P在线段AB上，且纵坐标为2，
18
∴－ am
2
＝2，即a＝－
2
.
4m
而a＝－
2
O
NMC
x
(25题图2)
8888811
，∴－ ＝－ ，m＝ ＞2，而1＜m≤2，不合题意，舍去.(6分)
5m
3
5m
3
m
2
5
m
②当m≥2时， ＞1，如图3,分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，ON＞OM，
2
此时点P在线段CB上，易证Rt△BMC∽Rt△PNC，
mm
∴BM∶PN＝MC∶NC，即: 2∶PN＝(m－1)∶ ，∴PN＝ (7分)
2
m
－
1
1m14
而P的纵坐标为－ am
2
，∴ ＝－ am
2
，即a＝
44
m－1m( 1
－
m)
88884
而a＝－
3
，∴－ ＝
3
5m5m
m(1
－
m)
化简得：5m
2
－22 m＋22＝0.解得：m＝
11±11
，(8分)
5
y
A
B
P
11－11
但m≥2，所以m＝ 舍去，(9分)
5
取m ＝
11＋11
.
5
O< br>M
N
C
x
由以上,这时四边形OABC的面积为：
16＋11
11
(AB＋OC) ×OA＝ (1＋m) ×2＝ . (10分)
225




(25题图3)