全国中考数学压轴题精选-解析几何详细解析

巡山小妖精
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2020年12月12日 16:05
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友情名言-四物汤是什么

2020年12月12日发(作者:廉女贞)


全国中考数学压轴题精选-解析几何

71.(中考江苏镇江28题)(本小题满分8分)探索研究
如图,在直角坐标系
x Oy
中,点
P
为函数
y
1
2
x
在第一象 限内的图象上的任一点,点
A
4
的坐标为
(0,1)
,直线
l

B(0,1)
且与
x
轴平行,过
P

y
轴的平行线分别交
x
轴,
l

C,Q
,连结< br>AQ

x
轴于
H
,直线
PH

y< br>轴于
R

(1)求证:
H
点为线段
AQ
的中点;
(2)求证:①四边形
APQR
为平行四边形;
②平行四边形
APQR
为菱形;
(3)除
P
点外,直线
PH
与抛物线
y
y
P
A
O
B
R
C
Q
x
l
H
1
2
x
有无其它公共点?并说明理由.
4
(中考江苏镇江28题解析)(1)法一:由题可知
AOCQ1

Q
AOHQCH90
o

AHOQHC

·············································· ······························· (1分)
△AOH≌△QCH

·························· ································· (2分)
OHCH
,即
H

AQ
的中点. ·
法二:< br>QA(01)
····································· ············ (1分)


B(0,1)

OAOB
. ·

BQ∥x
轴,
HAHQ
. ·············· ·················································· ···· (2分)
(2)①由(1)可知
AHQH

AHRQHP

QAR∥PQ

RAHPQH

··········· ·················································· ··············· (3分)
△RAH≌△PQH
. ·
ARPQ


AR∥PQ


四边形
APQR
为平行四边形. ············································· (4分)
1)
,则
PQ1
②设
P

m,m


QPQ∥y
轴,则
Q(m,

P

PG y
轴,垂足为
G
,在
Rt△APG
中,

< br>1
4
2


1
2
m

4


1

1

1

APAGPG 

m
2
1

m
2

m
2
1

m
2
1PQ

4

4

4

22
22

平行四 边形
APQR
为菱形. ······························· ····································· (6分)
(3) 设直线
PR

ykxb
,由
OHCH
,得
H


m

1

,2


P

m,m
2

代入得:

2
< br>4

m

m

kb0,k,


m1
2

2

2


直线为···················· (7分)
yxm
. ·
P R

1
1
24

kmbm
2
.
bm
2
.


4
4
设直线
PR
与抛物线的公共点为

x,x

,代入直线
P R
关系式得:


1
4
2


1
2
m11

1

xxm
2
0
(xm)
2
0
,解得
xm
.得公共点为

m,m
2


4244

4
所以直线
PH
与抛物线
y
1
2
·········· ···························· (8分)
x
只有一个公共点
P
.·
4





72(中考黑龙江齐齐哈尔28题)(本小题满分10分)
如图,在平 面直角坐标系中,点
C(3,0)
,点
A,B
分别在
x
轴 ,
y
轴的正半轴上,且满足
OB
2
3OA10

(1)求点
A
,点
B
的坐标.
(2)若点
P
C
点出发,以每秒1个单位的速度沿射线
CB
运动,连结
AP
.设
△ABP

面积为
S
,点
P
的运动时 间为
t
秒,求
S

t
的函数关系式,并写出自变量的取值范 围.
(3)在(2)的条件下,是否存在点
P
,使以点
A,B,P
为顶点的三角形与
△AOB
相似?
若存在,请直接写出点
P
的坐标; 若不存在,请说明理由.
y




B





x


CO
A



(中考黑龙江齐齐哈尔28题解析)解:(1)
QOB3OA10

·················································· ···················· (1分)
OB
2
30

OA10
·
2
OB3

OA1

Q

A,点
B
分别在
x
轴,
y
轴的正半轴上
A(1,,0)B(0,3)
··························· ·················································· ····· (2分)
(2)求得
ABC90
·············· ·················································· ············· (3分)
o


23t

(0

t23)
S




t23

(t23)
(每个解析式各1分,两个取值范围共1分) ················································ (6分)
,0)

P
2

1,
(3)
P
1
(3


2

4

3< br>

P
3

1,3


P
4
(3,23)
(每个1分,计4分)
33

······ ·················································· ·················································· · (10分)
注:本卷中所有题目,若由其它方法得出正确结论,酌情给分.




73(中考海南省卷24题)(本题满分14分)如图13,已知抛物线经过原点 O和x轴上另一
点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B( -2,m),且与y轴、
直线x=2分别交于点D、E.
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;
(2)求证:① CB=CE ;② D是BE的中点;
(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB= PE,若存在,试
求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
y

x=2


B


C
O
A

D

x
E
图13






(中考海南省卷24题解析)(1)∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上,
∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………(2分)
∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2,
∴ 点A的坐标为(4,0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………(3分)
将点B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4),∴
a
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为
y
1
.
4
11
x(x4)
,即
yx
2
x
. (6分)
44
(2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
过点B作BG∥x轴,与y轴交于F、直线x=2交于G,
则BG⊥直线x=2,BG=4.
y
x=2
22
在Rt△BGC中,BC=
CGBG5
.
F
G
B
∵ CE=5,
∴ CB=CE=5. ……………………(9分)
C
②过点E作EH∥x轴,交y轴于H,
O
x
A
则点H的坐标为H(0,-5).
D
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1),
∴ FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE (SAS),
H
E
∴ BD=DE.
即D是BE的中点. ………………………………(11分)
(3) 存在. ………………………………(12分)
由于PB=PE,∴ 点P在直线CD上,
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

b1
将D(0,-1) C(2,0)代入,得

. 解得
k
1
,b1
.
2

2kb0
1
∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
2
1
∵ 动点P的坐标为(x,
x
2
x
),
4
1
1
∴ x-1=
x
2
x
. ………………………………(13分)
2
4
1515
解得
x
1
35

x
2
35
. ∴
y
1


y
1

.
22
1515
∴ 符合条件的点P的坐标为(
35
,)或(< br>35

).…(14分)
22
(注:用其它方法求解参照以上标准给分.)








74.(中考广东东莞22题)(本题满分9分 )将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在
一起,使得它们的斜边
AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.
(1)填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).
(3)如图10,若以 AB所在直线为
x
轴,过点A垂直于AB的直线为
y
轴建立如图10
的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向
x
轴的正方向平移到ΔFGH的位
置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,
并写出t 的取值值范围.







y
D
E
A
图9
B
A
F

10
C
D
C
E
P
B G
x
H
(中考广东东莞22题解析)解:(1)
43

4 3
,…………………………1分
等腰;…………………………2分
(2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分,写对6-8对得2分,写对9对得3
分)
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,分别是:△DCE∽△ABE,
△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)
②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对)
③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对)
所以,一共有9对相似三角形.…………………………………………5分


(3)由题意知,FP∥AE,
∴ ∠1=∠PFB,
又∵ ∠1=∠2=30°,
DC
H
∴ ∠PFB=∠2=30°,
∴ FP=BP.…………………………6分
y
过点P作PK⊥FB于点K,则
FKBK
∵ AF=t,AB=8,
1
FB
.
2
1
A
F
E
P
2
1
∴ FB=8-t,
BK(8t)
.
2
K
图10
BG
x


在Rt△BPK中,
PKBKtan2
13
(8t)tan30(8t)
. ……………………7分
26
∴ △FBP的面积
S
113
FBPK(8t)(8t)

226
∴ S与t之间的函数关系式为:

S
33< br>2
416
(t8)
2
,或
Stt3
. …………………………………8分
121233
t的取值范围为:
0t8
. …………………………………………………………9分

75(中考甘肃兰州28题)(本题 满分12分)如图19-1,
OABC
是一张放在平面直角坐标系
中的矩形纸片,O
为原点,点
A

x
轴的正半轴上,点
C
在< br>y
轴的正半轴上,
OA5

OC4

(1)在
OC
边上取一点
D
,将纸片沿
AD
翻折,使点
O< br>落在
BC
边上的点
E
处,求
D,E
两点的坐标; < br>(2)如图19-2,若
AE
上有一动点
P
(不与
A,E重合)自
A
点沿
AE
方向向
E
点匀速运
动,运 动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为
t
秒(
0t5
),过P
点作
ED

平行线交
AD
于点
M
, 过点
M

AE
的平行线交
DE
于点
N
.求 四边形
PMNE
的面积
S
与时间
t
之间的函数关系式;当< br>t
取何值时,
S
有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的条件下 ,当
t
为何值时,以
A,M,E
为顶点的三角形为等腰三角形,并求
出相应的时刻点
M
的坐标.

y y

E
E
C C
B B

N

D D
P

M
x x

O O
A A

图19-1 图19-2

(中考甘肃兰州28题解析)(本题满分12分)
解:(1)依题意可知,折痕
AD
是四边形
OAED
的对称轴, < br>

Rt△ABE
中,
AEAO5

AB4< br>.
BEAE
2
AB
2
5
2
4< br>2
3

CE2

. ·············· ·················································· ··················· 2分
E
点坐标为(2,4)

Rt△DCE
中,
DCCEDE
, 又
QDEOD

222
(4OD)
2
2
2
OD
2
. 解得:
CD
5

2

5

· ·················································· ·································· 3分
D
点坐标为

0,

·

2


(2)如图①
QPM∥ED

△APM∽△AED

PMAP5
,又知
APt

ED

AE 5


EDAE2
t5t
PM
, 又
QPE5t

522
而显然四边形
PMNE
为矩形.
t15
····· ············································ 5分 S
矩形PMNE
PMgPE(5t)t
2
t
·
222

S
四边形PMNE


t
5
1

5

25


t
< br>
,又
Q05

2
2

2
< br>8
2
5
25
时,
S
矩形PMNE
有最大值. ·················································· ············ 6分
2
8
(3)(i)若以
AE
为等 腰三角形的底,则
MEMA
(如图①)

Rt△AED
中,MEMA

QPMAE

P

AE
的中 点,
15
tAPAE

22
y

QPM∥ED

M

AD
的中点.
E
C
B
过点
M

MFOA
,垂足 为
F
,则
MF

△OAD
的中位线,
N
P
D
1515
MFOD

OFOA

M
2422


t
5
5

时,

05


△AME
为等腰三角形.
2
2
 

55


24

O
F
图①
A
x
此时
M
点坐标为



. ·········· ·················································· ·················· 8分
(ii)若以
AE
为等腰三角形的腰,则
AMAE5
(如图②)
5

5

222
5
. 在
Rt△AOD< br>中,
ADODAO

5
22

过点< br>M

MFOA
,垂足为
F

△APM∽△AED

QPM∥ED


2
y
C
N
D
M
O
F
图②
A
x
E
P
B
APAM


AEA D
1
AM
g
AE55
tAP25

 PMt5

5
2
AD
5
2

MF MP5

OFOAAFOAAP525


当< br>t25
时,(
0255
),此时
M
点坐标为
( 525,5)
.······················ 11分
综合(i)(i i)可知,
t
5

t25
时,以
A,M,E
为 顶点的三角形为等腰三角形,相
2



M
点的坐标为




(525,5)
. ················· ······································ 12分

76.(中考天津市卷26题)(本小题10分)
已知抛物线
y3ax
2
2bxc

(Ⅰ)若
ab1

c1
,求该抛物线与
x
轴公共点的坐标; (Ⅱ)若
ab1
,且当
1x1
时,抛物线与
x
轴有且只有一个公共点,求
c
的取值范围;
(Ⅲ)若
abc0,且
x
1
0
时,对应的
y
1
0
; 对应的
y
2
0
,试判断当
0x1
x
2
1
时,
时,抛物线与
x
轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有 ,阐述理由.


(中考天津市卷26题解析)解(Ⅰ)当
ab1
c1
时,抛物线为
y3x
2
2x1
, < br>方程
3x
2
2x10
的两个根为
x
1
1

x
2


55


24

1

3
0

. ·∴该抛物线与
x
轴公共点的坐标是

1
····················· ··················· 2分
,0



,< br>(Ⅱ)当
ab1
时,抛物线为
y3x
2
2xc,且与
x
轴有公共点.

1

3


1
对于方程
3x
2
2xc0
,判别式
 412c
≥0,有
c
≤. ·································· 3分
3
①当< br>c
111
时,由方程
3x
2
2x0
,解得< br>x
1
x
2


333
此时抛物线为< br>y3x
2
2x

1

1
0

. ·与
x
轴只有一个公共点

,
·········· ················· 4分
3

3

②当
c
1
时,
3
x
1
1
时,
y
1
32c1c

x
2
1
时,
y
2
32c5c< br>.
1
由已知
1x1
时,该抛物线与
x
轴有且 只有一个公共点,考虑其对称轴为
x

3

y
1≤0,

1c≤0,
应有



y0.
5c0.


2
解得
5c≤1
综上,
c
1

5c≤1
. ·· ·················································· ················· 6分
3


(Ⅲ)对于二次函数
y3ax
2
2bxc

由已知
x
1
0< br>时,
y
1
c0

x
2
1
时,
y
2
3a2bc0


abc0
,∴
3a2bc(abc)2ab2ab

于是
2a b0
.而
bac
,∴
2aac0
,即
ac 0


ac0
. ···················· ·················································· ······················ 7分
∵关于
x
的一元二次方程
3ax
2
2bxc0
的判别式
4b
2
12ac4(ac)
2
12ac4[(ac)
2
ac]0< br>,
∴抛物线
y3ax
2
2bxc

x
轴有两个公共点,顶点在
x
轴下方. ························· 8分
又该抛物线的对称轴
x
b

3a

ab c0

c0

2ab0


2aba


y

1b2


33a3
O

1

x
又由已知
x
1
0
时,
y
1
0

x
2
1
时,
y
2
0
, 观察图象,
可知在
0x1
范围内,该抛物线与
x
轴有两个公共点. ····································· 10分


77(中考湖北宜昌25题)如图1,已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0,0) ,A(0,
n),C(m,0).动点P从点O出发依次沿线段OA,AB,BC向点C移动,设移动路 程为z,
△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示.m,n是常数, m>1,n>0.
(1)请你确定n的值和点B的坐标;
(2)当动点P是经过点O,C的抛物线y=ax+b x+c的顶点,且在双曲线y=
时,求这时四边形OABC的面积.

2
11

5x
y
A


EF
m



D
z
O123
x
1
C
O'


(图1) (图2)

(第25题)

(中考湖北宜昌25题解析)解:(1) 从图中可知,当 P从O向A运动时,△POC的面积S
B
S



1
mz , z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m,故OA=2,n=2 . (1分)
2
同理,AB

1,故点B的坐标是(1,2).(2分)
(2)解法一:
∵抛物线y=ax
2
+bx+c经过点O(0,0),C(m ,0),∴c=0,b=-am,(3分)
∴抛物线为y=ax
2
-amx,顶点坐标为(
m
1
,- am
2
).(4分)
4
2
y
A
B
如图1,设经过点O,C,P的抛物线为l.
当P在OA上运动时,O,P都在y轴上,
这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上,
∴这时抛物线l不存在, 故不存在m的值..①
当点P与C重合时,双曲线y

11
不可能经过P,
5x
O
1
C
故也不存在m的值.②(5分)
(说明:①②任做对一处评1分,两处全对也只评一分)
当P在AB上运动时,即当00
≤1时,y
0
=2,
抛物线l的顶点为P(
∵P在双曲线y

x
(25题图1)
m
,2).
2
1111
11m
上,可得 m

,∵>2,与 x
0

≤1不合,舍去.(6分)③
55
5x2
容易求得直线BC的解析式是:
y
2
x
2m
,(7分)
1m1m
当P在BC上运动,设P的坐标为 (x
0
,y
0
),当P是顶点时 x
0

m

2
22mmm
m
=,顶点P为(,),
x
0
< br>1m1mm1
2
m1
m11
∵1< x
0

2,又∵P在双曲线y

上,
25x
m
11
m
2
于是,×=,化简后得5m-22m+22
=< br>0,
2
m1
5
故得y
0

解得
m
1

22211
22211
,
m
2

,(8分)
10
10
22211
2,

10
Q2112,2221120,
m
2

与题意20

m
2
22211
.
10
故由①②③④,满足条件的只有一个值:< br>m


这时四边形OABC的面积=
(2)解法二:
1611
1
.(10分)
(1m)2

5
2
y
A
PB
∵抛物线y=ax+bx+c经过点O(0,0),C(m ,0)
∴c=0,b=-am,(3分)
m1
∴抛物线为y=ax
2
-amx,顶点坐标P为( ,- am
2
). (4分)
24
mm
∵m>1,∴ >0,且 ≠m,
22
∴P不在边OA上且不与C重合. (5分)
11m11188
∵P在双曲线y= 上,∴ ×(- am
2
)= 即a=-
3
.
5x2455m
1m
.①当1<m≤2时, < ≤1,如图2,分别过B,P作x轴的垂线,
22
M,N为垂足,此时点P在线段AB上,且纵坐标为2,
18
∴- am
2
=2,即a=-
2
.
4m
而a=-
2
O
NMC
x
(25题图2)
8888811
,∴- =- ,m= >2,而1<m≤2,不合题意,舍去.(6分)
5m
3
5m
3
m
2
5
m
②当m≥2时, >1,如图3,分别过B,P作x轴的垂线,M,N为垂足,ON>OM,
2
此时点P在线段CB上,易证Rt△BMC∽Rt△PNC,
mm
∴BM∶PN=MC∶NC,即: 2∶PN=(m-1)∶ ,∴PN= (7分)
2
m

1
1m14
而P的纵坐标为- am
2
,∴ =- am
2
,即a=
44
m-1m( 1

m)
88884
而a=-
3
,∴- =
3
5m5m
m(1

m)
化简得:5m
2
-22 m+22=0.解得:m=
11±11
,(8分)
5
y
A
B
P
11-11
但m≥2,所以m= 舍去,(9分)
5
取m =
11+11
.
5
O< br>M
N
C
x
由以上,这时四边形OABC的面积为:
16+11
11
(AB+OC) ×OA= (1+m) ×2= . (10分)
225




(25题图3)

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