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数学阅读理解题
1 例1 将纯循环小数化成分数
0.3
化成分数．
解：设x＝
0.3
＝0.333333……，则10x＝3.333333……，
两式相减，9x＝3，所以x＝．
1
3
例2 将混循环小数化成分数
0.13
化成分数．
解：设x＝
0.13
＝0.1333333……，
则10x＝1.333333……，100x＝13.333333……，
两式相减，100x－10x＝12，
即90x＝12，所以x＝
122
=
．
9015
我们还可以总结出现下面的规律：
⑴ 把纯循环小数化分数时，这个分数的 分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的
个数与循环节的位数相同，最后再约分；
⑵ 把混循环小数化分数时，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分
中不循环部分组成的数的差，分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与循环节中的位数相同，0的
个数与不循环部分的位数相同．

2定义：a是不为1的有理数，我们把
差倒数是
1
1
1
，－1的称为a的差倒数．如：2的差倒数是
121a
11
1

．已知a
1
＝－，a
2
是a
1
的差倒数，a
3
是a
2
的差倒数，a
4< br>是a
3
的差倒数，…，
3
1(1)2
依此类推，a
2013
＝ ．
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解：根据差倒数定义可得：
a
2

113

，
1a
1
1
1
4
3
a
3
11
4

1a
2
1
3
4
a
4






3

若分式
（1）分式
111

．
1a
3143
b11
bb1
满足
1
，则称
1
是的 “带分式”，记作《
1
》.
aaa
aaa
x1
的 “带分式”是_______________________.
x
12x
》

2

x1x1
（2）计算：《
1
4 人们经常利用图形的规律来计算一些数的和. 如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的
黑折 线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17
1+3=2
2
；
1+3+5=3
2
；
1+3+5+7=4
2
；
1+3+5+7+9=5
2
；……
，它们有下面的规律：
1
3
579


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图1

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（1）请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1 中画出能表示该算式的图形；
（2）请你按照上述规律，计算第
n
条黑折线与第n1
条黑折线所围成的图形面积；
（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形.
1+8=3
2
；
1+8+16=5
2
；
1+8+16+24=7
2
；
1+8+16+24+32=9
2
.

答案：（1）1+3+5+7+9+11+13=7
2
． 算式表示的意义如图（1）．

（2）第
n
条黑折线与第
n1条黑折线所围成的图形面积为
2n1
.
（3）算式表示的意义如图（2）、（3）等.





（1） （2） （3）

5 类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相 当于向右平移1个单位．用实数加法
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1
3
57
9< br>1113

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表示为 3+（
2
）=1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量 为a（向右为正，向左为负，平移
a
个单位），沿y轴方向
平移的数量为b（向上为正 ，向下为负，平移
b
个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量 ”{a，
b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为
{a，b}{c，d}{ac， bd}
．
解决问题： （1）计算：{3，1}+{1，-2}；
（2） ①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若 先把动点P
按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点 B吗? 在图1中画出四边形OABC。②证
明四边形OABC是平行四边形。
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头
Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．










解：（本小题满分5分）
（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．…………1分
（2）①画图 …………2分
最后的位置仍是B． …………3分
②由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）
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∴O C=AB=
1
2
2
2
=
5
，OA=BC=
3
2
1
2
=
10
，
∴四边形OABC是平行四边形． …………4分
（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}． …………5分

6 法国的“小九九”从“一一得一” 到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改 用手势了。
右面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例。若用法国“小九九”计算 7×9，左右手依次伸出手
指的个数是（ ）
A、2，3 B、3，3 C、2，4 D、3，4
分析：根据示例得知伸出手指的个数应该是原数字减5，即可得出
答案。选C
点拨：此题基于每个同学都知道的“小九九”的基础上，介绍了
一种新的方法，令人耳目一新.
7 在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码 ，将英文26
个字母
a，b，c
，…，
z
（不论大小写）依次对应1 ，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号
x
为
奇数时，密码 对应的序号
y
x1x
；当明码对应的序号
x
为偶数时，密码对应 的序号
y13
．
22
字母
a

1
b

2
c

3
d

4
e

5
f

6
g

7
h

8
i

9
j

10
k

11
l

12
m

13 序号
字母
序号
n

14
o

15
p

16
q

17
r

18
s

19
t

20
u

21
v

22
w

23
x

24
y

25
z

26
按上述规定，将明码“
love
”译成密码是（ ）
A．gawq B．shxc C．sdri D．love
分析：求解本题的关键是要弄清楚明 码对应的序号
x
为奇数还是偶数，这取决于选用对应的函数关系式，从而才
能正确求解 .
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答案：选择B
点拨：以密码学为背景，实际上用到了函数一一对应思想.
设计意图 ：引导学生认识到这是一道跟函数紧密联系的问题，也就是说x与y是一一对应的，如果有时间，不妨
让 学生做一个游戏，利用这张表，破译密码“wqatf“.类似的，可以让学生互相出题，再进一步思考，明码和 密码不
变的字母有哪些？考查学生对函数知识的灵活运用.

8利用图形可以计算正整 数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出
232312
的算图（标出相应的数字 和
曲线） .

9阅读以下材料并填空。
平面上有n个点（n≥2）， 且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
( 1 )分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；
当有3个点时，可连成3条直线；
当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线；。。。。。。
（２）归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数S
n
，发现（表一）：
（3）推理：平面上有n个点，两点确定一条直线，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有(n-1)种取法 ，所以
一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，既S
n=
n(n1)

2
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（4）结论：S
n
=











表一

试探究以下问题：

平面上有n个点( n≥3)，任意三点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？
（1）分析： 当有3个点时，可作__________个三角形；当有4个点时，可作______ ____个三角形；当有5个点时，
可作__________个三角形；

（2）归纳：考察点的个数和可作出三角形的个数S
n
发现（表二）：

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n(n1)
.
2

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（3）推理：________________________
（4）结论：_______________________.
10 先阅读下列材料，然后解答问题：

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平分差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：
440


124
2
2
2

2064
， 因此4，12，20都是“神秘数”
2222

（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其 中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？

11 读一读，想一想，做一做
国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种. 国际象棋中的“皇后”的威 力可比中国象棋中的“车”大得多：
“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控 制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图
甲是一个4×4的小方格棋盘，图中的“皇后
Q
”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.

①在如图乙的小方格棋盘中有一“皇 后
Q
”，她所在的位置可用“（2，3）”来表示，请说明“皇后
Q
”所在的 位置
“（2，3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后
Q
”所控 制的四个位置.
②如图丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后
Q< br>”，使这四个“皇后
Q
”之间互不受对方
控制（在图丙中的某四个小方格中标出 字母
Q
即可）.
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分析：本题的叙述稍复杂，但只要抓住其中的关键点，把数学要素抽象出来，最终化为点的坐标的问题.

答案：① (1，1) ,(3，1) ,(4，2) ,(4，4). ②



设计意图：结合引入，让学生联想自己生活的经验，对研究策略选择问题产生兴趣.
12阅读以下材料，并解答以下问题．
“完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么
完成这件事共有N＝ m ＋ n种不同的方法 ，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同
的方法，做第二步有n种不同 的方法．那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．”如
完成沿图1-1 所示的街道从A点出发向B点行进这件事(规定必须向北走，或向东走)，会有多种不同的走法，其中从
A点出发到某些交叉点的走法数已在图1-2填出．
（1）根据以上原理和图1-2的提示，算出从A 出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图1-2的空圆中，并回
答从A点出发到B点的走法共有多少 种？
（2）运用适当的原理和方法算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有多少种?
（3）现由于交叉点C道路施工，禁止通行．求如任选一种走法，从A点出发能顺利开车到达B点(无返 回)概率是
多少?

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分析：利用图上所给示例，再结合题目叙述，可以顺利求出第一问，第 二问需要学生仔细分析，找出适当方法解
决问题.
答案： （1）从A点到B点的走法共有35种．
（2）从A点到B点但不经过C点的走法数为35－18＝17种．
17
（3）P(顺利开车到达B点)＝
35
．

点拨：将抽象的问题具体化是一种很好的思维方式，做完题后学生会有所收获.
设计意图：这 是一道很好的体现“策略选择”的类型题，而题目的本身也是在教学生如何进行策略选择,这对于学
生以 后的学习生活都会有帮助.
11 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微 ；数形结合百般好，隔离分家万事休”.
数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着密切的 联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化。
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程 中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质
的问题转化为数量关系的问题.或者 把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，
化难为易，获得简便易 行的成功方案.
例如,求1+2+3+4+……+n的值，其中n是正整数.对于这个求和问题，如果 采用纯代数方法（首尾两头加），问题
虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性讨论.如果采用 数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的
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事实，那就非常的直观，现利用 图形的性质来求1+2+3+4+……+n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由
上到下每 层依次分别为1、2、3、……n个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子
1 +2+3+4+……+n的值，为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形 ，此时，组
成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的 总个数为n(n+1)个，因此，
组成一个三角形小圆圈的个数为
n

n1

n

n1

，即1+2+3+4+……+n=
22




（1）依照上述数形结合的思想方法，设计相 关图形，求
1357

2n1

的值，其中n是正整 数（要求：画
出图形，并利用图形做必要的推理说明）；
（2）试设计另外一个图形，求1357

2n1

的值，其中n是正整数.（要求：画 出图形，并利用图形做
必要的推理说明）.
分析： 解这道题的关键是把小圆圈摆成某种便于计算的形式，并且还要体现出要计算和的每个数字.

答案：（1）图略
1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n ．

（2）答案之一
因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个， 即n 个．
∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n ．
2
2
2
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答案7（1）
C
（2）没有考虑
ab0
（3）
ABC是直角三角形或等腰三角形
8

9 （1）通过画图探索可知，分别依次应填1，4，10 （2）通过画图探索可知如下规律：

22
321432543n()n1(n2)
，，，
。
6666
（3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的3个点可以确定一个三角形， 取第一个点A有n种取法，取第二个
点B有（n－1）种取法，取第三个点C有（n－2）种取法，所以 一共可以作
n
个三角形，但

、、
ABCACB
(n1 )(n2)
n(n1)(n2)
、

、

、

是同一个三角形，故应除以6，即
S

BACBCACABCBA

n
6
（4）
S
n

n(n1)(n2)

6
2222
10 （1）28=4×7=
86
；201 2=4×503=
504502
所以是神秘数；
22
（2）
(2 k2)(2k)4(2k2)
因此由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
（3 ）由（2）知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数因为两个连续奇数为2k+1和2k-1，则
(2k1)
2
(2k1)
2
8k
，即两个连续奇数的平方差 不是神秘数．
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