烧烤菜单-谢志强

第十五届华杯赛总决赛一试试题

一、填空题（共3题，每题10分）

1、小兔和小龟从A地到森林游乐园，小兔上午9点出发，1分钟向前跳40米，每跳3分钟
就原地玩耍2分钟 ；小龟上午6点40分出发，1分钟爬行只有10米，但途中从不休息和
玩 耍。已知小龟比小兔早到森林游乐园15秒，那么A地到森林游乐园有 米。
【分析】常规题，解得2370米

2、小林做下面的计算：
M37，其中
M
是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后保
留六位小数。小林得到的 结果是9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数字也
没有错，只是次序乱了，则正 确的计算结果是 。
••
M
1
0.0 27
【分析】
37
，故
37
的循环节也是3位，且为纯循环小数。因 此，根据四舍五入的
原则，正确计算结果只能是9.648649

3、
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
n
是满足
0a
1
a
2
a
3
La
n
的自 然数，且
么
n
的最小值是 。
【分析】若要使 项数最小，则要使每一项都尽量小。
a
1
a
2
a
3La
n
0
只是告诉我们
没有任何两项的分母相同，为了便于表述， 不妨设
11113131
13
L
1
aaa142 73
a2
3n
14
，令
1
，则
2
， < br>113121
L
a
3
a
n
732111
11211
L
a
4
a
n
2111231
131111
L
14a
1
a
2
a
3
a
n
，那
令
a
2
3
，则，
令
a
3
11
，则，所以
a
4
231

所以，
n
最小是4

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4、蓝精灵王国的
A,B
两地的距离等于2010米，国王每分钟派一名信使从A地向B地送信。
第1号信使的速度是1米分， 以后每一名信使的速度都比前一名每分钟快1米，直到派出
第2010号信使为止。问哪些信使能同时到 达B地？
【分析】设第
m
名与第
n
名信使同时抵达B地。则由t
m
n
SS
nnmnS201023567< br>v
m
m
，由此看出同时抵达B地的信使成对

出现，共8 对：（1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，20 1），（15，
134），（30，67）




5、 如图，在直角三角形
ABC
中，
ABC90
°，
ABPA'B'
，
BCPB'C'
，
ACPA'C'
，且
三对平行线的距离 都是1，若
AC10,AB8,BC6
，求三角形
A'B'C'
上的点 到三角形
ABC
三边距离的最大值。
A
A'
C'
C
B'
B

【分析】设改点为 P，若点P在
A'C'
上，设该点到AB边和BC边的距离分别为
a,b
，则 该
点到三角形ABC的三边距离之和为
ab1
（1），连接
AP,BP, CP
，由于三角形
PAB,PBC,PAC
面积和为24，于是有
式，得53b4a24b
194a
3
（2），将（2）式代入（1）
ab1
22a
3

当
a1
时，
ab1
取得最小值7；
若点P在
B'C'
边上，则同样方法可得
ac1
a26626
755

2
bc1b5
5
若点P在
A'B'边上，则同样方法可得，而易得
b
最大是5，所以此时距离
和的最大值也是7 < br>综上，三角形
A'B'C'
上的点到三角形
ABC
三边距离的最大值是 7


6、13个不同的自然数的和是996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这13个数。
【分析】由于这13个数的各位数码之和彼此相等，故这13个数模9同余，设余数为
r
< /p>

（
0r8
），设这13个数为
a
1
,a< br>2
,L,a
13
，则
a
1
a
2
 La
13
99613r4r(mod9)

所以，
4r6 (mod9)r6
，经尝试与构造，得这13个数是6，15，24，33，42，51，60，< br>105，114，123，132，150，141