vaguely-引言格式

总分
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
决赛试题A（小学高年级组）
（时间2019年4月20日10：00～11：30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
1．计算: 19×0.125+281×

1
-12.5=________.
8
解析：原式=（19+281-100）×0.125
=200×0.125
=25
2．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……,
九九, 冬至那天是一九的第一天. 2019年12月21日是冬至, 那么2019年的元旦是________九的第
________天.
解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2019年的元旦是二九的第3天.
3．某些整数分别被
，，，
除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是
，，，
, 则
满足条件且大于1的最小整数是________.
解析：设整数为A, 分别被
，，，
除后, 所得的商分别为
3579
57911
2222
3579
357957911
A，A，A，A
;
579113579
52572792911211
A1(A1)，A 1(A1)，A1(A1)，A1(A1)
333555777999
显然，当A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。所以A-1=315，A=316。
4．如右图, 在边长为12厘米的正方形
ABCD
中, 以
AB
为底边作腰长为10厘米的等腰
三角形
PAB
. 则三角形
PAC
的面积等于________平方厘米.
解析:过P点做PE⊥A B,由于三角形
PAB为
等腰三角形，所以AE=EB=6cm。
2222
根据勾股定理：PE=10-6=64=8，所以PE=8cm。
22
E
S△PAB=12×8÷2=48cm，S△PCB=12×6÷2=36cm，
2
S△PAC=48+36-12×12÷2=12 cm。
5．有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩11个; 乙班分, 每人4个还剩10个; 丙班分, 每人5个还剩
12个. 那么这筐苹果至少有________个.
解析：11≡2（mo d3）=2；10≡2（mod4）=2；12≡5（mod5）=2，所以苹果数除以3,4,5都余2，
[3，4，5]=60, 这筐苹果至少有60+2=62个.
6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木
的粘 贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长
为3, 则这个立体图形的表面积为________.
解析：如图所示，四个三角形面积都是1×2÷2=1，
2
所以小积木一个面的面积是3-1×4=5。
这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。
2
所以面积为6×3+4×5=74。
7．设
n
是小于50的自然数, 那么使得4
n
+5和7
n
+6有大于1的公约数的所有
n
的可能值之和
为 .

解析：设4n+5和7n+6大于1的公约数为A,则A∣( 4n+5),A∣(7n+6)。(4n+5)×7，(7n+6)×4
相减消去n，则差能被11整除 ，(4n+5)×7-(7n+6)×4=11,11是质数，所以A只能是11。（4n+5），
（7 n+6）都是11的倍数，为了分别找出所有的n，2×（4
n
+5）-（7
n
+6）=n+4，11∣（n+4），
所以n=7,18,29,40。所以答案为7+18+29+ 40=94。
8．由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上（包
括底面）所有黑点的总数至少是________.
解析：将黑点数转 化为1,2,3,4,5,6，根据图可知，2与4,6,3,1相邻，则2与5
相对，4与6,1相邻 ，则4与3相对，1与6相对。
最左边的正方体左右两个面上是1和6，可以重叠6；
最右边的正方体重叠6；
最上面的正方体重叠5；
正中间左右两个面一起重叠7，上面重叠6。
所以正方体重叠面上的黑点最多是7+6+5+6+6=30，
立体的表面上所有黑点的总数至少是4×7×3—30=54。
二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
9．用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号, 写出四个分别等于3, 4, 5和6的算式.
解析：（4+4+4）÷4=3， 4+（4-4）÷4=4，（4×4+4）÷4=5，4+（4+4）÷4=6
10．小明与小华同在小六(1)班, 该班学生人数介于20和30之间, 且每个人的出生日期均不相同.
小明说: “本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”, 小华说: “本班比我大的人数是比我小
的人数的三倍”. 问这个班有多少名学生?
解析：根据小明，小华的话可知：六(1)班人数-1是3的倍数，也是4的倍数。
[3，4]=12，所以这个班有12×2+1=25名学生
11．小虎周末到公园划船, 九点从租船处出发, 计划不超过十一点回到租船处. 已知, 租船处在
河的中游, 河道笔直, 河水流速1.5千米小时; 船在静水中的速度是3千米小时, 划船时, 每
划船半小时, 小虎就要休息十分钟让船顺水漂流. 问: 小虎的船最远可以离租船处多少千米?
解析：V
顺
：V
逆
：V
水
=4.5：1.5：1.5=3：1：1； 注意 逆水速度等于静水速度。小虎每划船半小时,
就要休息十分钟让船顺水漂流，120÷（30+10）= 3，小虎休息三次，则船顺水漂流30分钟，则逆
水时间里面有30分钟要和他抵消，相当于船没有动。 在剩下120-30-30=60分钟里要船能回到租船
处，则逆水时间和顺水时间为V
顺：V
逆
=3:1，所以顺水时间为60÷（3+1）=15分钟。注意小虎的船
最 远可以离租船处，还需加上船顺水漂流10分钟的路程，
所以答案为：4.5×15÷60+1.5×10÷60=1.375km
12．由四个相同的小正方形拼成右图. 能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处
（每处放一个, 每个数只使用一次）, 使得图中所有正方形边上所放的数之和都
相等? 若能, 请给出一个例子; 若不能, 请说明理由.
解析： 设这24个连续自然数为a，a+1，a+2，…，a+23。
注意：图中有五个正 方形，五个正方形上共有16+4×8=48，仔细分析，每个数重
复用了2次。假设能使得图中所有正 方形边上所放的数之和都相等，且设这个和为A。
则有（a+a+1+a+2+…+a+23）×2=48a+552=5A
48≡3（mod 5），552≡2（mod5），要48a+552是5的倍数，则48a除以5余3，即a要是5的倍数多1，
不妨设a=5b+1，48a+552=48×5b+48+552=240b+600，所以A=48 b+120
我们再来看大正方形上的16个数，即使是这24个数中最小的16个，它们的和是
5b+1+5b+2+5b+3+…5b+16=80b+136> A=48b+120
所以不能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等。