领导者的素质-戴高帽子

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第一讲 智巧问题
例1 有一个猎 人带了一条狼狗，一只兔子和一筐青菜，要乘船到河对面去，
河里有一只小船，因为船小，猎人一次只能 带一样东西，但是他不在时，狼会咬
兔子，兔子会吃青菜，请你想一想猎人应该怎样安排过河？



课堂练习：甲、乙、丙三个旅客要渡过一条河，但河上没有桥，这三个 人又都不
会游泳。这时三人发现河上有两个孩划着一条小船，船太小，最多只能坐一个旅
客，一 个旅客和一个小孩同时过河都不行。请你给三位旅客设计一个过河方案。



例2 池塘里睡莲的面积每天长大一倍，经过20天就可以长满半个池塘，问需
经过多少天 这些睡莲能长满整个池塘？



课堂练习
1、一种荷叶每天长大一倍，第12天把池塘盖满，求盖满池塘的一半是多少天？



2、一条小虫长到成虫每天长大一倍，20天长到20厘米。问：长到5厘米长时
用了几天？




例3 一只蜗牛从12米的井底沿井壁向上爬，白天向上爬3米，晚上向下滑2
米，这只蜗牛几天能爬到井口？




课堂练习：1、一只蜗牛从墙角沿墙壁向10米高的墙头爬 去，白天向上爬4米，
到夜里向下滑3米，问这只蜗牛什么时候能爬到墙头？



2、一只蚯蚓从深9米的井底向井口爬去，白天向上爬3米，晚上向下滑1米，
求这 只蚯蚓几天能爬到进口？


1

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例4 顾客向售货员买15元的物品，付了 一张面值50元的钞票，售货员没有零
钱找，便向邻柜台兑换零钱。当交易完毕顾客走后，邻柜发现这张 50元是假币，
该售货员于是又还给邻柜50元钱，那么该售货员受到了多少元的损失？




课堂练习：一位出租车司机做了一笔80元的生意，乘客付了一张10 0元的钞票，
接过找回的20元钱走了，这时司机发现乘客付给他的100元是假钞，你知道司
机损失了多少钱吗？




例5 一杯牛奶，小刚喝了一半后 ，用水加满，再喝一半后，又用水加满，最后
全部喝掉。小刚喝了几杯牛奶？几杯水？


课堂练习：开心超市举行促销活动：4个空可乐瓶可换一瓶可乐。小巧的妈妈买
回来 24瓶可乐，小巧一家最多可以喝到多少瓶可乐？


例6 大杯子能装50克水，小杯子能装30克水。你能用这两只杯子量出70克
水吗？


课堂练习：1、一休去河边打水，他有两个桶，大桶能装9升水，小桶能装4升
水，要想恰好从 河中打上6升的水带回去，他应该怎么办？


2、有一个磅秤，只能称40千克以 上的重量。小明、小红和小华三个小朋友的体
重都在20至39 千克之间，他们都想知道自己的体重。想一想，怎样才能称出
每个人的体重？


2

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第二讲－图形与面积

1. 下图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个
图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是______厘米.




2. 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,
每一小方格的面积是1.




那么7,2,1三个数字所占的面积之和是______.

3. 下图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么
用粗线围成的图形面积是______平方厘米.



4. 下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,
那么阴影部分的面积是______平方厘米.





5、已知正方形甲的边长是4厘米，正方形乙的 面积是64
平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？




6. 在
ABC
中,
BD2DC
,
AEBE
,已知
ABC
的面积是18平方厘米,则四边
形
AEDC
的面积等 于______平方厘米.






3

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7. 如图，在平行四 边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三
等分点，且平行四边形的面积为54平方厘米，求S△BEF
。





8. 右图是一块长 方形公园绿地，绿地长24米，宽16米，
中间有一条宽为2米的道路，求草地（阴影部分）的面积。





9.右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）






10.右图是边长为4厘米的正方形,
AE
=5厘米、
OB
是______厘米.





11. 如图正方形
ABCD
的边长是4厘米,
CG
是3厘米,长方
形DEFG
的长
DG
是5厘米,那么它的宽
DE
是______厘 米.





12. 在右图中，三角形EDF的面积 比三角形ABE的面积大6平方厘米，已知长
方形ABDC的长和宽分别为6厘米、4厘米，DF的长是 多少厘米？






4

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13. 如图，三角形ABC的面积是24平 方厘米，且
DC=2AD，E、F分别是AF、BC的中点，那么阴影
部分的面积是多少？





14. 如下图,正方形
ABCD
的边长为12,
P
是边
AB
上的 任意一点,
M
、
N
、
I
、
H
分别是边BC
、
AD
上的三等分点,
E
、
F
、
G
是边
CD
上的四等分点,图中阴
影部分的面积是______.







15. 在等腰梯形ABCD中，A D=12厘米，高DF=10厘米。
三角形CDE的面积是24平方厘米。求梯形面积。





是正方形，BE=EC，AB=12厘米，阴影面积是多少？




17.如图，正方形ABCD的边长是12厘米，CE=4厘米。
求阴影部分的面积。




5

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18.计算图形的面积。（至少用3种方法）（单位：米）














19. 右图中的正方形的边长为10, 则阴影部分的面积为 。









20.


















6

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第三讲 逻辑推理
各种 通过枚举或列表分析法求解的逻辑推理问题．枚举即为逐个探讨各种假
设的正确性，进而得出确切的信息 ；列表即将同一对象的两种不同表达方式分别
用行与列标出，通过横向与纵向的不断比较得出结论． < br>1、在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球
和白球各一个．现 在三只盒子上的标签全贴错了．你能否仅从一只盒子里拿出一
个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么 球?



2．甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印有不同的号码．赵说 ：“甲是2号，乙
是3号．”钱说：“丙是4号，乙是2号．”孙说：“丁是2号，丙是3号．”李说：
“丁是l号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．那么丙
的号码是几号?



3．某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H这8位同学 获得前8名．老师让他
们猜一下谁是第一名．A说：“或者F是第一名，或者H是第一名．”B说：“我 是
第一名．”C说：“G是第一名．”D说：“B不是第一名．”E说：“A说得不对．”F
说 ：“我不是第一名，H也不是第一名．”G说：“C不是第一名．”H说：“我同意
A的意见．”老师指 出：8个人中有3人猜对了．那么第一名是谁?



4 ．某参观团根据下列条件从A，B，C，D，E这5个地方中选定参观地点：①若
去A地，则也必须去B 地；②B，C两地中至多去一地；③D，E两地中至少去一
地；④C，D两地都去或者都不去；⑤若去E 地，一定要去A，D两地．那么参观
团所去的地点是哪些?




5．人的血型通常分为A型、B型、0型、AB型．子女的血
型与其父母间的关系如 表10一l所示．现有3个分别身穿
红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O，A，B．每
个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝
3种，依次表示所具有的血型为AB，A，0． 问：穿红、黄、
蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子?





7

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6．如图，有一座4层楼房，每个窗户的4块玻璃分别涂上
黑色和白色，每个窗户代表一个数字．每层楼有3个窗户，
由左向右表示一个三位数．4个楼层表示的三位数为：791，
275，362，612．问：第二层楼表示哪个三位数?





7．房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人说真话．其中一个人说：
“这里没有一个老实人．”第二个人说：“这里至多有一个老实人．”第三个人说：
“这里至多 有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老
实人．”问房间里究竟有多少个老 实人?







8．甲 、乙、丙、丁约定上午10时在公园门口集合．见面后，甲说：“我提前了
6分钟，乙是正点到的．”乙 说：“我提前了4分钟，丙比我晚到2分钟．”丙说：
“我提前了3分钟，丁提前了2分钟．”丁说：“ 我还以为我迟到了1分钟呢，其
实我到后1分钟才听到收音机报北京时间10时整．”
请根据以上谈话分析，这4个人中，谁的表最快，快多少分钟?







9．桌子上放了8张扑克牌，都背面向上，牌放置的位置如图lO-3 所示．现在知
道：①每张牌都是A，K，Q，J中的某一张；②这8张牌中至少有一张是Q；③
其中只有一张A；④所有的Q都夹在两张K之间；⑤至少有一张K夹在两张J之
间；⑥至少有两张K相邻 ；⑦J与Q互不相邻，A与K也互不相邻．
试确定这8张牌各是什么?








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10．甲、乙、丙、丁4个同学同在一间教室 里，他们当中一个人在做数学题，一
个人在念英语，一个人在看小说，一个人在写信．已知：
①甲不在念英语，也不在看小说；
②如果甲不在做数学题，那么丁不在念英语；
③有人说乙在做数学题，或在念英语，但事实并非如此；
④丁如果不在做数学题，那么一定在看小说，这种说法是不对的；
⑤丙既不是在看小说，也不在念英语．
那么在写信的是谁?







11．在国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁4位朋友进 行有趣的交谈，他们分
别用了汉语、英语、法语、日语4种语言．并且还知道：
①甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；
②有一种语言4人中有3人都会；
③甲会日语，丁不会日语，乙不会英语；
④甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；
⑤没有人既会日语，又会法语．
请根据上面的情况，判断他们各会什么语言?







12.甲、乙、丙3 个学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣
服去参加一次争办奥运的活动．已知：
①帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝3种：
②甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；
③戴红帽子的学生没有穿蓝衣服：
④戴黄帽子的学生穿着红衣服：
⑤乙没有穿黄色衣服．
试问：甲、乙、丙3人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服?







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13．甲、乙、丙、丁、戊5人各从图书馆借 来一本小说，他们约定读完后互相交
换，这5本书的厚度以及他们5人的阅读速度都差不多，因此总是5 人同时交换
书．经过数次交换后，他们5人每人都读完了这5本书．现已知：
①甲最后读的书是乙读的第二本；
②丙最后读的书是乙读的第四本；
③丙读的第二本书甲在最初就读了；
④丁最后读的书是丙读的第三本；
⑤乙读的第四本是戊读的第三本；
⑥丁第三次读的书是丙最初读的那本．
设 甲、乙、丙、丁、戊5个人最后读的书分别为A，B，C，D，E，根据以
上情况确定他们5人读的第四 本书各是什么书?







14．如图10-4，这是一个挖地雷的游戏，在64个方格中一共有10个地雷，每
个方格中 至多有一个地雷．对于写有数字的方格，其格中无地雷．但与其相邻(有
公共边或公共顶点)的格中有可 能有地雷，地雷的个数与该数字相等．请你指出
哪些方格中有地雷．










15 ．5位学生A，B，C，D，E参加一场比赛．某人预测比赛结果的顺序是ABCDE，
结果没有猜对任 何一个名次，也没有猜中任何一对相邻的名次(意即某两个人实
际上名次相邻，而在此人的猜测中名次也 相邻，且先后顺序相同)；另一个人预
测比赛结果为DAECB，结果猜对了两个名次，同时还猜中了两 对相邻的名次．求
这次比赛的结果．








10

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第四讲 排列组合
⑴加法原理和分类计数法
⒈加法原理：做一件事，完成它可以有 n类办法，在第一类办法中有m
1
种
不同的方法，在第二类办法中有m
2种不同的方法，……，在第n类办法中有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m
1
+m
2
+m
3
+…+m
n
种不同 方法。
⒉分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不
同办法中的 具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，
都属于某一类。
⑵乘法原理和分步计数法
⒈ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m
1
种不同
的方法，做第二步有m
2
种不同的方法，……，做第n步有 m
n
种不同的方法，
那么完成这件事共有N=m
1
×m
2< br>×m
3
×…×m
n
种不同的方法。
⒉合理分步的要求：任何 一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连
续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只 要有一步中所采取的方法
不同，则对应的完成此事的方法也不同。
例1、 在一块并排的10 垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种
植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物 的间隔不少于6垄，不同的选
法共有_____种。
例2、用1、2、3、4、5、6、7、 8、9这九个数字能够组成______个没有重复数
字的三位数。
排列及组合基本公式
1. 排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照
一定的顺 序
排成一列，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P
m
n
表示. P
m
n
=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)
n!
=
(n-m)!
(规定0!=1).
2. 组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元 素
并成一组
，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C
m
n
表示.
n!
n0
C
m
n
= P
m
n
m!=
(n-m)!×
规定：C
n
=1, C
n
=1.
m!
一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C
m
n
= C
n-m
n
来简化计算。
3. n的阶乘(n!)——n个不同元素的全排列：
P
n
n
=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1

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分类：
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素
参与排列.
例1.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻 且
B
在
A
的右边，那么
不同的排法种数有（ ）
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
2.相离 问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素
全排列，再把规定的相离的几个 元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩
小倍数的方法 .
例3.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以不相
邻）那么不同的排法种数是（ ）
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
4.标 号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，
第二步再排另一个元素，如此 继续下去，依次即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每 格填一个数，
则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
5.有序分配问题逐分法:有序分配指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5.（1 ）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中
选出4人承担这三项任务，不同的 选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）
44
C
12
C
8
4
C
4
444444443
A、
C
12
C
8
C
4
种 B、
3C
12
C
8
C
4
种 C、
C
12
C
8
A
3
种 D、种
3
A
3
6.全员分配问题分组法:
例6.（1）4名优秀学生全部 保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同
的保送方案有多少种？


（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数
为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
7.名额分配问题隔板法:
例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同
分配方案？

8.限制条件的分配问题分类法:
例8.（1）某高校从某系的10名优秀毕业生 中选4人分别到西部四城市参加中
国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种 不同派遣
方案？

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（2）从6名运动员中选出4人参加4×10 0米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不
跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？



9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几
类 情况分别计数，最后总计.
例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数， 其中个位数
字小于十位数字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数， 使它们的乘积能被7整除，
这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？


（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法
（不计顺序）有 多少种？


10.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个 或几个元素；
再排其它的元素。
例10.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师 不站两端则有不同的
排法有多少种？


11.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.
例11.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数
是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 （2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前
排，某1个元素排在 后排，有多少种不同排法？


12.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.
例12 .从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机
各一台，则不同的取法共有（ ）
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
1 3.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的
位置上，可用先取后排 法.
例13.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的
放 法有多少种？

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练， 有
多少种不同的分组方法？


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14.圆排问题线排法:把
n
个不同元素放在圆周
n
个无编号位置上的排列，顺序
（例如按顺时钟）不同的排法才 算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以
重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只 计顺序而首位、末位之
分，下列
n
个普通排列：
a
1
,a< br>2
,a
3
,a
n
;a
2
,a
3,a
4
,,a
n
,;a
n
,a
1
,, a
n1
在圆排列中
只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，
n
个元素的圆排列数有
n!
种.因
n
此可将某个元素固定展成线排，其它的< br>n1
元素全排列.
例14、5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？



15.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不
受位置的约 束，可逐一安排元素的位置，一般地
n
个不同元素排在
m
个不同位置
的排列数有
m
n
种方法.
例15.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？


16.复杂排列组合问题构造模型法:
例16.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯， 现要关掉其中的三盏，但不能
关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有 多少
种？



18.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例18.设有编号为1，2，3，4， 5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将
这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的号码与盒子
号码相同，问有多少种不同的方法？


19.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以
将复杂的问题转 化为简单问题处理.
例19.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的线段相交于圆内的交点最多有多
少个？



（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从
A
到
B
的最
短路径有多少种？
B




14

A

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第五讲 容斥原理
在计 数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究
出一种新的计数方法，这 种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内
容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把 计数时重复计算的数目排斥出去，使得
计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

例1 ：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，
并 且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多
少人？




课练：有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10人，有7 5
人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？




例2：某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，
其中参加足 球队的有28人，参加排球队的有26人，参加游泳队的有24
人，足球、排球都参加的有12人，足球 、游泳都参加的有9人，排球、
游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？







课练：（1）某班有50人， 会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的
有15人.问既会游泳又会体操的有多人？




（2）某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三 项均
未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人
数如下表：问这 个班有多少名学生？





15

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例3： 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不
能被3或5整除的数共有多个？



课练：在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任 何一个数整除
的数有多少个？






例4. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放
在桌面上，求这两个图 形盖住桌面的面积？





练习：如图，三角形AB C的面积是24平方厘米，且DC=2AD，E、F分别
是AF、BC的中点，那么阴影部分的面积是多 少？







2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个
元素全排列，再把
规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数
是（ ）
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种






16

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第六讲 列方程解应用题
1、已知3个连续自然数的和是51，求这三个连续自然数。




2、连续的5个奇数的和是45，这5个连续奇数分别是多少？





3、篮球、足球和排球各1个，平均每个20元。篮球比排球贵12元 ，足球比排
球贵6元，每个排球多少元？




4、工 程队挖一条涵洞，未挖的长度是已挖长度的3倍，如果再挖300米，未挖
的长度就是已挖的2倍，这条 涵洞长多少米？




5、一艘轮船所带的燃料最多可用9小时 ，轮船从一码头顺流而下每小时可行150
千米，返回时逆流而上每小时行驶120千米，这艘轮船最多 开出多少千米就必须
返回？



6、杭州到盐城两地相距496 千米，货车从杭州开往盐城，每小时行32千米，货
车开出半小时后，客车从盐城开往杭州，每小时行6 4千米，客车开出几小时后
才能与货车相遇？




7、鸡兔同笼，数头10只，数脚共24只，鸡兔各多少只？




8、某农民养鸡若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只。问鸡和
兔 各有多少只？




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9、小虎在敌人窗前听到屋子里分子弹，有一 个人说：每人背45发，则多680
发；若每人背50发，还多200发，有多少敌人？多少发子弹？




10、一个商人估计，假如1公斤苹果卖1.2元，就得赔 2元，假如1公斤苹果卖
1.5元，就可赚4元，他想快点出手，以不赔不赚的价格出卖，每公斤苹果应 卖
多少元？




11、运输公司给某单位运送200 只羊，按合同规定，每只羊的运费是5元，如果
运输途中死亡一只羊，不但扣一只羊的运费，还要赔偿这 个单位损失40元。运
输公司结账时，得到运费820元，运输途中死亡几只羊？





12、赵师傅从车站往吉林大学运送20台教学仪器，按规定每台运费 是15元，如
果损坏一台，扣除一台运费，还要赔80元钱。由于运输途中出现交通事故，赵
师 傅不但没有得到运费，还赔给吉林大学175元。事故中损坏了几台教学仪器？





13、李会计到银行取10000元钱。他只想要20元、50元和100元面值 的人民币，
并且要求20元、50元的张数同样多，总张数是178张，银行应如何付款？




14、有10分和20分的邮票共18张，总面值为2.80元。问1 0分和20分的邮票
各有多少张？




15、有一元 ，二元，五元的人民币共50张，总面值为116元，已知一元的比二
元的多2张，问三种面值的人民币 各多少张？


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16、有3元，5元和7元的电影票400张 ，一共价值1920元，其中7元和5元
的张数相等，三种价格的电影票各多少张？




17、甲、乙两地的公路长164千米，小明和哥哥骑自行车同时从这 两地出发，相
向而行，小明每小时行11千米，哥哥每小时行14千米。行车途中，小明修车耽
误1小时，然后继续行驶直到相遇，从出发到相遇经过几小时？





18、小强和小亮商量，星期四早晨8点整出家门，相向走来，小强每分钟行48
米 ，小亮每分钟行54米。两人在距离中点30米相遇。他们两家之间的公路长多
少米？





19、李顺、李利结伴出去春游，每分钟走50米，出发1 2分钟时，李顺回家取照
相机，然后骑自行车以每分钟200米的速度赶李利。骑车多少分钟追上？






20、金明从家步行到学校，他如果 以每分钟走50米的速度，就会迟到3分钟，
于是他以每分钟走60米的速度前行，结果到学校时离上课 还有2分钟，金明家
距离学校多少米？






21、甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，在距A地800米的地方相
遇 。相遇后两人继续向前走，走到对方的出发地点后，立即沿原路返回，在距B
地300米的地方相遇。A 、B两地之间的公路长多少米？






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22、一艘船从甲码 头顺流而下再逆流返回，打算在6小时内回到甲码头，这艘船
在静水中的速度是每小时12千米，水流速 度是每小时2千米，这艘船最多走出
多少千米就必须返回？





23、数学竞赛有10道题，这次比赛评分规定对1题得10分。错1题倒扣2分。
李玲回答了全部10道题，结果只得76分。她答错了几道题？





24、学校组织春游，一共用10辆客车，已知大客车每辆坐100人，小客车每辆
坐60人。大客车比小客车一共多坐了520人。问大、小客车各几辆？





25、五年级一班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少一条船，如果每条船
坐6人，则多出4条船，公园里有多少条船？五年级一班有多少学生？






26、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千 克0.3元，这
样卖这批西瓜共值290元，如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250< br>元，问：有多少千克大西瓜



27、两个水池共蓄水40吨，甲 池注进4吨，乙池放出8吨，甲池与乙池水的吨
数相等，两个水池原来各蓄水多少吨？








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第七讲 不定方程


求两个未知数方程与多个未知数方程组的自然数解的方法： 解不定方程的
4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．
本讲 讲解顺序：③

包括1、2、3题

④

②
①包括4、5题

③

包
括6、7题．
复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不
定方程．

x5y10
的自然数解有哪些？ 方程



解方程组：
8

xy180

2xy3


4

yx25%

3x4y10





1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有
多少个?



AB17
2．设A和B都是自然数，并且满足

,那么A+B等于多少?
11333




3．甲级铅笔7角钱一支，乙级铅笔3角钱一支．张明用5元钱恰好可以买这
两种不同的铅笔共多少支?





4．有纸币60张，其中1分、 l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的
总面值是否能够恰好是100元?




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5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短
管，加工 损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?






6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且每三名职工带
一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6
棵树，他们一共 种了216棵树．那么其中有多少名男职工?






7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从
这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4
米，0.7 +0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长
度中，哪种 是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?






8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，
她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?







9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重 3克，第二堆中每个砝码重5克，第三
堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重 量为130克．那
么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?






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10．3种商品的价格如表，其中的单位 是元．现用60元钱恰好买了10件商品，
那么有多少种不同的选购方式?








11．有43位同学，他们身上带 的钱从8角到5元，钱数都各不相同．每个同学
都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3角 一张和5角一张．每11
人都尽量多买5角一张的画片．问他们所买的3角画片的总数是多少张?







12．哥德巴 赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”
试将168表示成两个两位质数的和， 并且其中的一个数的个位数字是1．







13．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个
最大质数是多少?






(2 )将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大
的质数是多少?






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14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之
间的币值有多少种?





15．小明买红、蓝两支笔，共用了17 元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔
比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一 种)，可是他无论
怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?





巩固练习：
1．庙里有若干个大和尚和若干个小 和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，
每29个小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天 恰好吃1个馒头，问：庙
里至少有多少个和尚．






2．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早
晨 见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三
声．细心的小娟对它们叫声 统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这
15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少 声?






3．《张邱建算经》百鸡问题 ：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直
一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?








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第八讲 最大公约数和最小公倍数
一、基本概念和知识
1.公约数和最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个
数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；
18的约数有：1，2，3，6，9，18。
12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，
记作（12，18）=6。
2.公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这
几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…
18的倍数有：18，36，54，72，90，…
12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，
记作[12，18]=36。
3.互质数
如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。
性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数 [a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]
×（a,b）。
例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]=
求法：1、短除法 2、辗转相减法
二、例题
例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

例3 求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？


例4 求21672和11352的最小公倍数。


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例5 有三根铁丝，长度分别是12 0厘米、180厘米和300厘米.现在要把它
们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少 厘米？一共可以截成多
少段？


例6 38名工人，加工某种机 器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人
每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完 成10个，第三道工序
每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？


例7 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了6 5瓶；平均每2
个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加
会餐的人数是多少人？


例8 一张长方形纸，长2703厘米，宽11 13厘米.要把它截成若干个同样大
小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样 的正方形的
边长是多少厘米？


例9 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一
个数是多少？


例10 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，
最大的可以是多少？



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巩 固 练 习
1.拖拉机前轮周长64厘米，后轮周长96厘米，拖拉机开动后，前轮至少 转多少
圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？



2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，
每班分到的这三 种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少
分到了三种水果各多少千克？



3、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问
这个盘子里最少有多少个水果？



4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。




5、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几
组？



6．已知两个自然数的和为42，它们的最大公约数与最小公倍数的乘 积为432，
求这两个自然数。



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7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增 加一条船，正好每船坐6个，如果
减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？



8、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，求B。




9、已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。




10、有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人
一个汤碗，一共用了91个碗。参加野炊的至少有多少同学？






11、一块长方形地面，长120米，宽42米，要在它的四周和四角 种树，每两棵
之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？





12、（1）A、B 两数的乘积是216，它们的最小公倍数是36。 A、B两数的最大
公因数是多少？ （2）甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，甲数是
36，乙数是多少？




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期末测试
1、一休去河边打水，他 有两个桶，大桶能装9升水，小桶能装4升水，要想恰
好从河中打上6升的水带回去，他应该怎么办？



2、计算图形的面积。（至少用3种方法）（单位：米）











3、左下图中的正方形的边长为10, 则阴影部分的面积为 。








4、如右上图，有一座4 层楼房，每个窗户的4块玻璃分别涂上黑色和白色，每
个窗户代表一个数字．每层楼有3个窗户，由左向 右表示一个三位数．4个楼层
表示的三位数为：791，275，362，612．问：第二层楼表示 ?
5、甲、乙、丙、丁4个同学同在一间教室里，他们当中一个人在做数学题，一
个人在念英 语，一个人在看小说，一个人在写信．已知：
①甲不在念英语，也不在看小说； ②如果甲不在做数学题，那么丁不在念英语；
③有人说乙在做数学题，或在念英语，但事实并非如此；
④丁如果不在做数学题，那么一定在看小说，这种说法是不对的；
⑤丙既不是在看小说，也不在念英语．
那么在写信的是谁?




29

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6、设有 编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这
5个球投入5个盒子要求 每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号
码相同，问有多少种不同的方法？




7、有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10 人，有75人答对
A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？




8、在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或< br>5整除的数共有多个？




9、某农民养鸡若干只，已 知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只。问鸡和
兔各有多少只？



10、小虎在敌人窗前听到屋子里分子弹，有一个人说：每人背45发，则多680
发；若每人 背50发，还多200发，有多少敌人？多少发子弹？




1 1、小强和小亮商量，星期四早晨8点整出家门，相向走来，小强每分钟行48
米，小亮每分钟行54米 。两人在距离中点30米相遇。他们两家之间的公路长多
少米？


12、甲级铅笔7角钱一支，乙级铅笔3角钱一支．张明用5元钱恰好可以买这两
种不同的铅笔共多 少支?



13、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一 条船，正好每船坐6个，如果
减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？


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