2013年第十八届华杯赛决赛小高年级(A)卷 试题及解析word版

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2020年12月13日 01:23
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2020年12月13日发(作者:葛家澍)


第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题A(小学高年级组)
总分
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
决赛试题A(小学高年级组)
(时间2013年4月20日10:00~11:30)
一、填空题(每小题 10分, 共80分)
1.计算: 19×0.125+281×
1
8

-12.5=________.
解析:原式=(19+281-100)×0.125
=200×0.125
=25
2.农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, „„,
九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的元旦是________九的第
________天.
解析:31-21+1+1=12,12÷9=1„3,2013年的元旦是二九的第3天.
3.某些整数分别被
,,,
除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是
,,,
, 则
579113579
35792222
满足条件且大于1的最小整数是________.
解析:设整数为A, 分别被
,,,
除后, 所得的商分别为
57911
5
3
A 1
2
3

5
357957911
A,A,A,A
;
3579
72792911211
(A1),A1(A1),A1 (A1),A1(A1)
3555777999
显然,当A-1是[3,5,7, 9]的时候满足题意。所以A-1=315,A=316。
4.如右图, 在边长为12厘米的正方形
ABCD
中, 以
AB
为底边作腰长为10厘米的等腰
三角形
PAB
. 则三角形
PAC
的面积等于________平方厘米.
解析:过P点做PE⊥A B,由于三角形
PAB为
等腰三角形,所以AE=EB=6cm。
根据勾股定理:P E
2
=10
2
-6
2
=64=8
2
,所以 PE=8cm。
S△PAB=12×8÷2=48cm
2
,S△PCB=12×6÷ 2=36cm
2

E
S△PAC=48+36-12×12÷2=12 cm
2

5.有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩11个; 乙班分, 每人4个还剩10个; 丙班分, 每人5个还剩
12个. 那么这筐苹果至少有________个.
解析:11≡2(mo d3)=2;10≡2(mod4)=2;12≡5(mod5)=2,所以苹果数除以3,4,5都余2,
[3,4,5]=60, 这筐苹果至少有60+2=62个.
6.两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木
的粘 贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点.如果大积木的棱长
为3, 则这个立体图形的表面积为________.
解析:如图所示,四个三角形面积都是1×2÷2=1,
所以小积木一个面的面积是3
2
-1×4=5。
这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。
所以面积为6×3
2
+4×5=74。
7.设
n
是小于50的自然数, 那么使得4
n
+5和7
n
+6有大于1的公约数的所有
n
的可能值之和
为 .
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第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题A(小学高年级组)
解析:设4n+ 5和7n+6大于1的公约数为A,则A∣(4n+5),A∣(7n+6)。(4n+5)×7,(7n+6) ×4
相减消去n,则差能被11整除,(4n+5)×7-(7n+6)×4=11,11是质数,所以 A只能是11。(4n+5),
(7n+6)都是11的倍数,为了分别找出所有的n,2×(4
n
+5)-(7
n
+6)=n+4,11∣(n+4),
所以n=7,18 ,29,40。所以答案为7+18+29+40=94。
8.由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上(包
括底面)所有黑点的总数至少是________.
解析:将黑点数转 化为1,2,3,4,5,6,根据图可知,2与4,6,3,1相邻,则2与5
相对,4与6,1相邻 ,则4与3相对,1与6相对。
最左边的正方体左右两个面上是1和6,可以重叠6;
最右边的正方体重叠6;
最上面的正方体重叠5;
正中间左右两个面一起重叠7,上面重叠6。
所以正方体重叠面上的黑点最多是7+6+5+6+6=30,
立体的表面上所有黑点的总数至少是4×7×3—30=54。
二、解答下列各题(每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)
9.用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号, 写出四个分别等于3, 4, 5和6的算式.
解析:(4+4+4)÷4=3, 4+(4-4)÷4=4,(4×4+4)÷4=5,4+(4+4)÷4=6
10.小明与小华同在小六(1)班, 该班学生人数介于20和30之间, 且每个人的出生日期均不相同.
小明说: “本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”, 小华说: “本班比我大的人数是比我小
的人数的三倍”. 问这个班有多少名学生?
解析:根据小明,小华的话可知:六(1)班人数-1是3的倍数,也是4的倍数。
[3,4]=12,所以这个班有12×2+1=25名学生
11.小虎周末到公园划船, 九点从租船处出发, 计划不超过十一点回到租船处. 已知, 租船处在
河的中游, 河道笔直, 河水流速1.5千米小时; 船在静水中的速度是3千米小时, 划船时, 每
划船半小时, 小虎就要休息十分钟让船顺水漂流. 问: 小虎的船最远可以离租船处多少千米?
解析:V

:V

:V

=4.5:1.5:1.5=3:1:1; 注意 逆水速度等于静水速度。小虎每划船半小时,
就要休息十分钟让船顺水漂流,120÷(30+10)= 3,小虎休息三次,则船顺水漂流30分钟,则逆
水时间里面有30分钟要和他抵消,相当于船没有动。 在剩下120-30-30=60分钟里要船能回到租船
处,则逆水时间和顺水时间为V
:V

=3:1,所以顺水时间为60÷(3+1)=15分钟。注意小虎的船
最 远可以离租船处,还需加上船顺水漂流10分钟的路程,
所以答案为:4.5×15÷60+1.5×10÷60=1.375km
12.由四个相同的小正方形拼成右图. 能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处
(每处放一个, 每个数只使用一次), 使得图中所有正方形边上所放的数之和都
相等? 若能, 请给出一个例子; 若不能, 请说明理由.
解析: 设这24个连续自然数为a,a+1,a+2,„,a+23。
注意:图中有五个正 方形,五个正方形上共有16+4×8=48,仔细分析,每个数重
复用了2次。假设能使得图中所有正 方形边上所放的数之和都相等,且设这个和为A。
则有(a+a+1+a+2+„+a+23)×2=48a+552=5A
48≡3(mod 5),552≡2(mod5),要48a+552是5的倍数,则48a除以5余3,即a要是5的倍数多1,
不妨设a=5b+1,48a+552=48×5b+48+552=240b+600,所以A=48 b+120
我们再来看大正方形上的16个数,即使是这24个数中最小的16个,它们的和是
5b+1+5b+2+5b+3+„5b+16=80b+136> A=48b+120
所以不能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等。

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第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题A(小学高年级组)


三、解答下列各题(每小题 15分,共30分,要求写出详细过程)
13.用八个右图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形. 若一个拼成的正方
形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方形相同. 问:
在所有可能拼成的正方形图形中, 上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相
邻的图形有多少种?

代替 解析:用


因为的正方形图形中, 上下对称,而所给图形上下不对称 (第二层,第三层只能横拼,不能竖拼),
所以只需考虑一、二层2×4的长方形。分两个空白正方形在 三、四列(两个空白正方形在一、二
列旋转可得到两个空白正方形在三、四列的情况)和两个空白正方形 在二、三列两种情况。

★ ★





















☆ ☆





















































所以答案为五种。

14.不为零的自然数n,既是2010个数字和相同的自然数之和, 也是2012个数字和相同的自然数
之和, 还是2013个数字和相同的自然数之和, 那么
n
最小是多少?
解析:数论。根据题意有n=2010A=2012B=20 13C。能把数字和和数联系起来的数是能被3或9整除
的数。明白一个结论,求一个数能否被3或9整 除, 将这个数按数位截成若干个数或拆成若干个
数,若若干个数的和能被3或9整除,则这个数能被3 或9整除。例:求112„2013能否
被9整除,只需求1+2+„+2013的和能否被9整除。
显然2010,2013都是3的倍数,则n是3的倍数,2012B是3的倍数。根据非零自然数,B 最小为3,则
n最小为6036。
检验:x+y=2010 3x+12y=6036,x=2008,y=2(数字和也可以为2)
c+d=2013 10c+d=6036 c=447,d=1566(数字和等于2和3没有可能)
6036=2012×3=2008×3+12×2 =10×447+1566×1
总数n最小值为6036.


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