泰迪熊图片-苦荞茶的作用

2020年12月13日发(作者：上官昭容)

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛
1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种
可能的取值。
（A）16 （B）17 （C）18 （D）19
解析：【知识点】数论、极值问题，估算
为方便计算，令
A
为 整数部分为7的有限小数，令
B
为整数部分为10的有限小数，那么
A、B
的 范围可以确定，即
7A8
，
10B11
，
那么，
7 10AB811
，即
70AB88
；
当
A、B< br>都比较小时，令
A7.001
，
B10.001
，
AB 7.00110.00170.017001
，所以
AB
的
整数部分 是可以取70的；
当
A、B
都比较大时，令
A7.999
，B10.999
，
AB7.99910.99987.981001
，
AB
的值可
以无限趋近于88，但就是小于88，所以
AB
的整 数部分最大只能取87；
那么，这两个有限小数乘积的整数部分取值范围就是
70~87，总共有18种可能的取值。
故正确答案选C
总结：本题考查的是数论中的极值问题， 并涉及到计算模块中的估算，首先要确定取值范围，
然后在范围中找出满足条件的解，注意最大值、最小 值的限制。
2、小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟，某天小明因故先乘地铁 ，再
换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用
了（ ）分钟。
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
解析：【知识点】行程问题，列方程解应用题
涉及到行程问题，就要想到行程问题的基本公式“路程=速度×时间”；

为了方便计算，我们可以设从小明家到学校这段路程为1，小明乘地铁需要30分钟，那么地
铁的速度就是
11
，而小明乘公交车需要50分钟，那么公交车的速度就是；
3050
小明某天先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么
他乘车时间就是40-6=34分钟，我们可以设小明乘地铁花了
x
分钟，乘公交车花 了
y
分钟，则
可以列出方程：
xy34
，我们设了两个未知数，所以还需要一个方程才能求解；
小明步行所走 过的路程我们可以忽略不计，他乘地铁花了
x
分钟，乘公交车花了
y
分钟，走 过
的路程是从家到学校的距离，即为1，我们还知道地铁和公交车各自的速度，则可以列出方
程 ：
11
xy1
，将两个方程联立起来，得到二元一次方程组：
305 0
1

1
y1

5x3y150

x24

x
化简得到 解得
50


30
xy34y10



xy34
所以小明乘公交车用了10分钟，正确答案选C。
总结：行程问题的核心是“路程=速度×时间”， 题目中存在路程和时间两个等量关系，可以
列出二元一次方程组来求解。
3、 将长方形AB CD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白部分面积总和
是10平方厘米，那么 阴影部分面积总和是（ ）平方厘米。
（A）14 （B）16 （C）18 （D）20

解析：【知识点】金字塔模型
长方形ABCD的对角线被平均分成12 段，那么每一小段都是相等的，这样就存在比例关系，
而最终我们要求的是面积，有比例关系要求面积， 就要想到我们所学过的比例模型，具体是
哪一个比例模型呢？
我们发现，各等分点之间的连线 都与长方形ABCD的边长平行，既然存在平行线，就要想到我
们学过的相似模型（金字塔、沙漏模型） ，长方形ABCD被分成了四块，我们选取其中的一块
来研究，如图：
我们选取三角形
AOD
来研究，为了方便计算，我们不妨把最小的一块空白面积设为1份，即
S
A
5
OD
5
1份
，我们试图将其他几块空白即阴影面积都跟三角形< br>A
5
OD
5
的面积联系起来；

S
A
5
OD
5
1份

22
A
4
D
4
A
5
D
5
，那么
S
A
4
OD
4
:S
A
5
OD
5
OA
4
:OA
5
2
2:1
2
4:1
，即三角形
A
4
OD
4
的面积为4份，则
阴影
A
4
A
5
D
5
D
4
的面积为4-1=3（份）；
22
A
3
D
3< br>A
4
D
4
，那么
S
A
3
OD3
:S
A
4
OD
4
OA
3
:OA
4
3
2
:2
2
9:4
，即三角形
A< br>3
OD
3
的面积为9份，则
空白
A
3
A4
D
4
D
3
的面积为9-4=5（份）；
22
A
2
D
2
A
3
D
3
，那么
S< br>A
2
OD
2
:S
A
3
OD
3< br>OA
2
:OA
3
4
2
:3
2
 16:9
，即三角形
A
2
OD
2
的面积为16份，
则阴影
A
2
A
3
D
3
D
2
的面积 为16-9=7（份）；
2
A
1
D
1
A
2
D
2
，那么
S
A
1
OD
1
:S
A
2
OD
2
OA
1
2
:OA
25
2
:4
2
25:16
，即三角形
A
1< br>OD
1
的面积为25份，
则空白
A
1
A
2< br>D
2
D
1
的面积为25-16=9（份）；
ADA
1
D
1
，那么
S
AOD
:S
A
1OD
1
OA:OA
1
2
6
2
:5
2
36:25
，即三角形
AOD
的面积为36份，则阴
影
AA
1
D
1
D
的面积为36-25=11（份）；
那么， 三角形
AOD
中，空白部分面积为1+5+9=15（份），阴影部分面积为3+7+11=2 1（份），
其它三块三角形
AOB、BOC、COD
中空白与阴影的面积比都是一样的 ，所以对于整个长方形
ABCD，空白部分面积为60份，阴影部分面积为84份，60份对应10，则 84份对应
则阴影部分面积总和14平方厘米。
故正确答案选A
总结：金字塔模型 是平面几何问题中常见的一种几何模型，形状相同、大小不同的两个三角
形，一切对应线段的长度成比例 ，而这两个三角形的面积比等于它们边长比的平方。
4. 请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立，那么乘积是（ ）。
（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）2754
10
8414
，
60

解析：【知识点】数字谜
为了便于说明，我们给每个方框都标上字母，如图所示：

根据竖式可以得到：
ABC7E1F
ABCDG0H
E1FG0H2IJK

因为
ABC7E1F
，没有进位，故
A1
，
G
可能 去1或2，所以
D
的取值也只能是1或2,，
下面我们分类讨论；
（1）当
D
为1时，
G
只能取1，
E
必然为9，
H
也必然为9，
G0H109
，那么
C
必须为9，
B
必须为 0，而
1097763E1F
，矛盾，所以
D
取2，
G
也只能取2；
（2）当
D
为2，
G
取2时，
B
只能取0，因为
C71F
，所以
C
为2，那么竖式就为：

总结：对于竖式数字谜，我们总结出六个步骤，称之为“六位分析法”，即首位分 析法；109
三角空位分析法（见图1）；进位与借位分析；加减法中的不变位分析（见图2）；除法竖 式
中的继承位分析；另外，还要学会估算及试算。

图1 图2
在图1中，如果出现图中所示三角，那么一定填1,0,9这三个数字，且减数的个位一定比被< br>减数的个位大，所以必不为0,；图2中，两个数十位数字相同，我们称之为不变位，那么对
应的 差应该填0或9。
5、 在序列 20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字 和的个位数字，
这样的序列可以一直写下去，那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）。
（A）8615 （B）2016 （C）4023 （D）2017
解析：【知识点】数列，奇偶性
题目说从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个 位数字，肯定存在着什么规律，
那么我们可以先试着往下写；
252……，观察这些数字，8 615,4023,2017这三个数组都出现了，
所以根据排除法该序列中一定不会出现的数组是20 16；

但是，该序列到底存在着什么规律，我们发现这个序列没有周期性，也不能构成等差、等比< br>这样的数列，我们考虑从数字的奇偶性入手，观察发现从17086这5个数开始，往后每5个
数 都呈“奇奇偶偶偶”排列；
所以连续四个数只存在以下四种情况，即“奇偶偶偶”，“偶偶偶奇”，“ 偶偶奇奇”和“偶
奇奇偶”，结合四个选项，不会出现数组2016（偶偶奇偶）的形式；
故正确答案选B
总结：这种序列问题，往往给出前几项，就先试着往下写，总结其中的规律， 当序列不存在
周期性，也不能构成类似等差、等比这样的数列时，可以从数字本身的性质（奇偶性）来考
虑。
6、从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方
框中话是正确的。
这句话里有（ ）个数大于 1，有（ ）个数大于 2，有（ ）个数大于 3，有（ ）个数大于 4
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解析：【知识点】逻辑推理
设有
a
个数是大于1的，有
b
个数是大于2的，有
c
个数是大于3的，有
d
个数是大于4的；
因为1,2,3,4,各有一个，还有四个空，那么有
abcd
，且
a 5
，
1d4
，分类讨论：
（1）若
d4
，那么在 8个数字中需要有4个数字大于4，目前只有
a
，
b
，
c
是 大于4的，
所以不满足条件；
（2）若
d3
，那么在8个数字中需要有3 个数字大于4，
a
，
b
，
c
都是大于4的，满足条
件，此时大于3的数字共4个，与
c4
矛盾；
（3）若
d2
， 则
a
，
b
大于4，
c
不大于4，
c
可以取 3或者4，分析得到
a
，
b
，
c
，
d
依次
是7,5,3,2或7,5,4,2；

（4）若
d1
，
a
是大于4的，
b
，
c
是不大于4的，由于3,4，
a
都是大于2的，则大于2的
数共4 个，所以
b4
，此时大于3的数有
a
，
b
，4，此时c3
，那么大于2的数字共5个，
矛盾；
满足条件的
a
，< br>b
，
c
，
d
得取值只有两种，即
a7
，< br>b5
，
c3
，
d2
和
a7
，
b5
，
c4
，
d2
。
故正确答案选B
总结：在解逻辑推理问题时，可以根据题目可能出现的几种可能情况，逐一假设，如果推出
矛盾，则假设 不成立，如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立，解题突破口是找出
题目中的矛盾，利用矛盾进 行假设。



1532
7、若


2.254
，那么
A
的值是________。

5
9

2
5
3
3

24
74

1

A

解析：




1

5


3

2
1.75

1

5


21

8

7

1

5
7

19

8

38

5

55
9

1915
9

45
242424
4

1

7

1

1
AAA

138575524
17< br>
5
4595
1
24
7A
24
A
1
A
A6
故
A
的值为6
总结：本题要求
A< br>的值，相当于是一个解方程的过程，只是过程比较繁琐，在运算过程中，
要注意运算法则，注意移 项要变符号。

13
3.875380.090.1550.4
54
【 点睛】化简：
1


8

52

911
2


4.321.681



11
6


25

117

352 4
原式
3.8750.23.8750.93.87510

1

52

3511
2


4.321 .681.32



1
6

117
4424
1

3352

3535
2



6

25117

44 24
31
8



1113535
2 
6354424
1

31
8
8、 右图中，“华罗庚金 杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字，将各线段两端点的
数字相加得到五个和，共有____ ____种情况使得这五个和恰为五个连续自然数。

解析：【知识点】计数问题，枚举法
将每条线段两端点的数字相加可以得到
2(12345)30
，将30写 成五个连续的自然数
只能是4,5,6,7,8，其中4只能写成1+3,8只能写成5+3，这两个数 比较特殊，我们可以从4
或者8入手，不妨从4入手；
假设“华”为1，那么3只能是“庚”或“杯”，共两种情况，

当“庚”为3时，只能是3+“罗”=8，则“罗”为5,1、3、5已经确定了 ，2和4在剩下一
条线段的两端，“罗”为2，“杯”为4时，2+5=7,1+5=5，符合要求，“ 罗”为4，“杯”
为2时，4+5=9,1+2=3，不符合要求；
当“杯”为3时，只能是 3+“金”=8，则“金”为5,1、3、5已经确定了，2和4在剩下一
条线段的两端，“金”为2， “庚”为4时，2+5=7,1+5=5，符合要求，“金”为4，“庚”
为2时，4+5=9,1+2 =3，不符合要求；
所以当“华”为1时，只有两种情况，而1可以在“华”、“罗”、“庚”、“金 ”、“杯”
五个位置，故总共有
2510
种情况。
总结：枚举法可以说 是计数问题中的万能方法，枚举法的关键是找到一个好的分类标准，就
是要学会分类枚举，这样才能够做 到不重不漏，而分类标准并不唯一，要根据具体情况具体
分析。
9、右图中，
ABC D
是平行四边形，
E
为
CD
的中点，
AE
和
BD
的交点为
F
，
AC
和
BE
的交
点为
H
，
AC
和
BD
的交点为
G
，四边形
EHGF
的面积是 15 平方厘米，则
ABCD
的面积是
__________平方厘米。

解析：【知识点】沙漏模型，蝴蝶模型，一半模型

点
G
为平行四边形对角线的交点，则
G
为
BD< br>的中点，连接
GE
，则有
GEAD
，
GEBC
，且< br>GE
11
ADBC
22


GEAD
，则三角形
GEF
与三角形
ADF
构成沙漏模型，
同理，
GEBC
，则三角形
GEH
与三角形
BCH
构成沙漏模型，

S
ADF
AD
2
4
，根据沙漏模型的性质，对应三角形的面积比等于对应线段平方的比，则
S
GEF
GE
2
1
S
BCH
BC
2
4
，设三角形
GEF
的面积为
x
，三角形
GEH
的面积为
y
，则
S
ADF
4x
，
S
BCH
4y
，
S
GEH
GE
2
1
我们再来看 四边形
ADEG
，
GEAD
，则四边形
ADEG
为梯形，根 据梯形的蝴蝶模型，
S
ADF
S
GEF
S
AGF
S
BEF
4xx4x
2
，且
S
AGF
S
BEF
，则
S
AGF
S
BEF
2x
，
同理，
S
BCH
S
GEH
S
BGH
S
CEH
4yy4y
2
，且
S
BGH
S
CEH
，则
S
BGH
S
CEH
2y
，

那么，
S
ADE
6x
，
S
BCE
6y
，且
S
ADE
S
BCE
 S
ABCD
，则
S
ABCD
12x12y
，
已知
xy15cm
2
，则
S
ABCD
12x12y 1215180cm
2

总结：本题是几种比例模型的综合应用，蝴蝶模型可以 使四边形的面积与四边形内的三角形
面积之间建立联系，得到与面积对应的对角线的比例关系；而沙漏模 型是指形状相同、大小
不同的两个三角形，其一切对应线段的长度成比例，这样的两个三角形的面积比等 于其边长
比的平方。
10、 若 2017,1029 与 725 除以
d
的余数均为
r
，那么
dr
的最大值是________。
解析：【知识点】数论、带余除法
2017dar
①
1029dbr
②
725dcr
③
1
2
根据余数的 “可减性”，①-②得
d
可以整除988，②-③得
d
可以整除304，那么
d
首先是988
和304的公约数；
分解质因数，
98822
1319
，
3042
4
19
，988和30 4的公因数有2、4、19、38、76，当
d
分别取2、4、19、38、76，我们可以得 到不同的
dr
值，然后比较即可；

（1）
d2
时，
r1
，
dr1
；

（2）
d4
时，
r1
，
dr3
；
（3）
d19
时，
r3
，
dr16
；
（4）
d38
时，
r3
，
dr35
；
（5）
d76
时，
r41
，
dr35
；
那么，
(dr)
max
35

总结：本题考查的是数论 中的带余除法，根据同余定理，2017,1029和725中任意两个数的
差都能被
d
整除，同余时，两两相减变整除，需要注意的是：没必要再去求第三个差，因为
第三个差其实是前面两 个差的差，那么对最终的公因数是没有影响的。

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