文科冷门专业-网页上有错误怎么办

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题
B
（小学高年级组）

一、填空题（每小题
10
份，共
80
分）

1.

计算：
57.6
8184
5
28.8
5
14.48012
1
2

________
．

【难度】
★

【考点】计算：提取公因数

【答案】
12
1
2

【解析】

原式5 7.6
81841
5
28.8
5
14.480122
28.8
16
5
28.8
184
5
14.48012
1
2
28.8
200
5
14 .48012
1
2

28.84014.4240121
2
12
1
2
2.

甲、乙、丙、丁四人共 植树
60
棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是
其余三人的 三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树
________
棵．

【难度】
★★

【考点】应用题：分数应用题

【答案】
13
【解析】

甲
=
总数的三分之一< br>=20
，乙
=
总数的四分之一
=15
，丙
=
总数的五分之一
=12
，所以丁
6020151213
（棵）

3.

当时间为
5
点
8
分时，钟 表面上的时针与分针成
________
度的角．

【难度】
★★


1

【考点】行程：时钟问题

【答案】
106
【解析】
< br>5
点时，时针分针夹角
150
度，每分钟追赶
60.55.5度，所以
8
分钟追赶
5.5844
度，所以
成
15 044106
度


4.

某个三位数是
2< br>的倍数，加
1
是
3
的倍数，加
2
是
4
的倍数，加
3
是
5
的倍数，加
4
是
6
的 倍数，
那么这个数最小为
________
．

【难度】
★★

【考点】数论：余数、最小公倍数

【答案】
122
【解析】

这个三位数减去
2
得 到
3
、
4
、
5
、
6
的公倍数，取三位数< br>120
，所以最小值为
122
．


5.

贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一
种这样的星球局势，共可以组成
________
个两两都是友国的三国联盟．

【难度】
★★★★

【考点】计数：组合计数

【答案】
7
【解析】

用
A
1
,A2
,A
3
,A
4
,A
5
,A
6
,A
7
这
7
个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示 友国
关系．则每个国家连出
2
条虚线，
4
条实线．共
72 27
条虚线，其余为实线．

首先说明这
7
个点必然由
7
条虚线依次连接为一个闭合回路．
A
2
必与两个点连接虚线，不妨记为A
1
,A
3
，而
A
3
必然再与一个点连接虚线 ，记为
A
4
；

A
4
虚线连接
A
5
，否则剩下
3
个点互为敌国关系；

A
5
虚线连 接
A
6
，否则剩下两个点无法由
2
条虚线连接；

A
6
虚线连接
A
7
，最后
A
7
只能虚线连 接
A
1
．

最终连线图如下．


2

只要选出的三个点没有任何两个相邻则满足 条件．有
135
，
136
，
146
，
246
，
247
，
257
，
357
，这
7
种． （为了直观我们用
1,2,3,4,5,6,7
分别代表
A
1
,A< br>2
,A
3
,A
4
,A
5
,A
6,A
7
）


6.

由四个互不相同的非零数 字组成的没有重复数字的所有四位数之和为
106656
，则这些四位数中最
大的是< br>________
，最小的是
________
．

【难度】
★★★

【考点】数论
:
位值原理

【答案】
9421
，
1249
【解析】

设其中 最小的四位数为
abcd
，一共可组成
432124
个不同的四位数 ，由于每个数字在每位
上均出现
6
次，则
24
个数和为
6

abcd

1111106656
，则四个数字之和为
16
，所以最大
和最小的可能为，
9421
和
1249、
8521
和
1258
、
8431
和
1348
、
7621
和
1267
、
7531
和
13 57
、
7432
和
2347
、
6541
和
1456
、
6532
和
2356
．


7.

见右图，三角形
ABC
的面积为
1
，
DO:OB1:3
，
EO:OA4:5
，则三角形
DOE
的面 积为
________
．


【难度】
★★★★

【考点】几何：等积变形

【答案】
11
135


3

【解析】

C
y
D
E
5x
4x

O
12x< br>A
15x
B
设三角形
DOE
的面积为
4x
， 由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为
5x,12x,15x
，再设三角
形DCE
的面积为
y
，则有
CEyy4x5
BE
< br>4x12x

x
12x15x
，得
y
144< br>11
x
，则三角形
DOE
的面积为
4

11
451215
144
135
．

11

8.

三个大于
1000
的正整数满足：其中任意两个数之和的个位 数字都等于第三个数的个位数字，那么
这
3
个数之积的末尾
3
位数字 有
________
种可能数值．

【难度】
★★★★★

【考点】组合：分类讨论数论综合

【答案】
4
【解析】

设三个数的个位分别为
a,b,c

⑴

如果
a,b,c
都相等，则只能都为
0
；

⑵

如果
a,b,c
中有两个相等，

①
a,a,c
且
ac
，必有
ca10a
，则
c10
，与
c
为数字矛盾；

②
a,a,c
且
a c
，则有
caa,aa10c
，则
a5,c0
；< br>
⑶

如果
a,b,c
都不相等，设
abc，则
cb10a,ca10b
，则
c10
，与
c
为数字矛盾；
综上三个数的个位分别为
0
，
0
，
0
或
0
，
5
，
5
；

⑴
如 果都为
0
，则乘积末尾
3
位为
000
；

⑵
如果为
0
，
5
，
5

4

①
如果个位为
0
的数，末尾
3
位都为
0
，则乘积末尾
3
位为
000
；

②
如果个位为
0
的数，末尾
2
位都为
0
，则乘积末尾
3
位为
500
或
000
；

③
如果个位为
0
的数，末尾
1
位为
0< br>设末尾两位为
c0
，设另外两个末尾
2
位为
a5,b5
，则
a5b5100ab50

ab

25
， 若

ab

为奇数，则乘积末尾
3
位为
75；若

ab

为偶数则乘积
为
25
，在乘上
c0
,
无论
c
为多少，末尾三位只有
000
，250
，
500
，
750
这
4
种．综上，积的 末尾
3
位有
000
，
500
，
250
，< br>750
这
4
种可能．


二、解答下列各题（每题< br>10
分，共
40
分，要求写出简要过程）

9.

将
11
的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．

【难度】
★★★★

【考点】数论：完全平方数

【答案】不能

【解析】

原数的数字和为
123 9101148
，为
3
的倍数，而交换数字位置不会改变数字和，
所以无论怎么调整得到的数一定为
3
的倍数；而一个平方数如果为
3
的倍数， 则一定为
9
的倍数，
而
48
不是
9
的倍数，所以无 法通过交换数字位置得到一个完全平方数．


10.

如右图所示 ，从长、宽、高为
15
，
5
，
4
的长方体中切走一块长、宽 、高为
y,5,x
的长方体（
x,y
为整数），余下部分的体积为
1 20
，求
x
和
y
．

x
4
y

15
5
【难度】
★★★

【考点】几何：长方体正方体

【答案】
x3,y12


5

【解析】

1554y5x120

解得
xy36
；
3 61362183124966
，因为
x,y
为整数，且
x4,y15
，

所以
x3,y12
．


11.

圆形跑道上等距插着
2015
面旗子，甲与乙同 时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发
点时，甲跑了
23
圈，乙跑了13
圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？

【难度】
★★★★

【考点】行程问题：环形跑道

【答案】
5
次

【解析】

设每两面旗子间距离为
1
，即跑道周长为
2015
．因为
v
甲
:v
乙
23:13
，设
v
甲
23x
，
v
乙
13x
，甲
要追上乙则需比乙多跑
n
圈，

2 3x13x

t2015n
，
10xt2015n
，即甲追 上乙时所花时间
t
403n403n23403
2x
，则甲追上乙时，所 走路程为
23x
2x

2
n
；要恰好在旗子位置追上，则 所走路
程一定为整数，即
n
为偶数，所以
n2,4,6,8,10
（最多多跑
10
圈）；综上所述，甲正好在旗
子位置追上乙
5
次．< br>

12.

两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得< br>11
分且对方少于
10
分者胜，
10
平后多得
2分者胜．两人的得分总和都是
31
分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分 共有
多少种可能？

【难度】
★★★★

【考点】组合：体育比赛

【答案】
8
【解析】

设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，
所以 甲第二局输第三局赢．

甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得
4
分 ，所以乙第二局至少赢甲
4
分及以上，所以

6

只能以
11
分取胜．

所以第二局的比分可以为：
0:11 ,1:11,2:117:11
，共
8
种．（乙在第二局赢了多少分，甲都可
以通过一、三局赢回多少分使两人总分相同，所以甲在第二局得分从
0~7
都可能；例如三局比 分
分别为
20:18
、
0:11
、
11:2
）

三、解答下列各题（每小题
15
分，共
30
分，要 求写出详细过程）

13.

如右图所示，点
M
是平行四边 形
ABCD
的边
CD
上的一点，且
DM:MC1:2
，四 边形
EBFC
为平行四边形，
FM
与
BC
交于点
G
．若三角形
FCG
的面积与三角形
MED
的面积之差为
13
cm
2
，
求平行四边形
ABCD
的面积．


【难度】
★★★★

【考点】几何：蝴蝶模型

【答案】
60
【解析】
连接BD
DEBC


DEEM
BC

MB

DM
MC
< br>1
2


S
DEM
S
S
1
S

CEM

DEM


CEM
S
CBM
S
BDM
2
令
S
DEM
a
< br>则
S
CEM
S
BDM
2a，S
CBM
 4a

S
BCF
S
BCE
246a

MBCF


CG
GB

CF
MB

EB
MB

3
2


S
GC F
CG
S

GB

3
2

BGF
S
GCF

3
32
S
318
BCF

5
6
5
a

S
GCF
S
DEM
13


18
5
aa13

a5


7

S
BCD
S
BDM
S
BCM
2a4a6a

S
ABCD2S
BCD
26a12a12560cm
2


14.

设
“
一家之言
”
、
“
言 扬行举
”
、
“
举世皆知
”
、
“
知行合一< br>”
四个成语中的每个汉字代表
11
个连续的非
零自然数中的一个，相同 的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个
汉字所代表的数之和都是
21
，则
“
行
”
可以代表的数最大是多少
?
【难度】
★★★★★

【考点】组合：最值构造

【答案】
8
【解析】经观察不难发现其中
“
一
”
，
“
言
”
，
“
举
”
，
“
知
”
，
“
行
”
，各出现两次，其它汉字只有一次．令
这五个汉字所代表的数依次为
a,b,c,d,e
（均为正整数），

设< br>11
个连续自然数为

x1

,

x2

,,

x11

，

则

x1



x2



x11

abcde214
，

即
11xabcde18
，则
x0
，且
abcd1 23410
时，
e
最大为
8
，
11
个数为< br>1
到
11
．可构造出
“
一家之言
”
、
“
言扬行举
”
、
“
举世皆知
”
、
“知行合一
”
分别为
“3
，
5
，
11
，
2”
，
“2
，
10
，
8
，
1”< br>，
“1
，
9
，
7
，
4”
，
“4
，
8
，
6
，
3”
．

综上，
“
行
”
可代表的数最大为
8
．



8