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复杂图形的比例与面积
基础知识：
1.三角形面积由两个因素决定：底和高
两个三角形，底相等，面积比等于高的比；
两个三角形，高相等，面积比等于底的比。
2.在四边形
ABCD
中，对角线
AC、BD
交于点
O
，

（1）；
千里之行 始于足下
1

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（2）
（3）
3.如图，在梯形
ABCD
中，存在以下关系：
（1）左、右部分的面积相等，即
S
3
＝
S
4
；
千里之行
；
。
始于足下
2

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（2）S
1
︰
S
2
︰
S
3
︰
S4
＝
4.燕尾定理：
千里之行

始于足下
3

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在三角形
交于同一点
，
千里之行
中，
AD
，
，那么
始于足下
相
4

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.

例1.图中三角形
ABC
的面积是180平方厘米，
D
是
BC
的中点，
AD< br>的长是
AE
长的3倍，
千里之行 始于足下
的
5


EF

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长是
BF
长的3倍.那么三角形
AEF
的面积是多少平方厘米?



【答案】22.5
【解答】△
ABD
，


[答疑编号5]

等高，所以面积的比为底的比，
千里之行 始于足下
6
ABC

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有
千里之行
,所以
180＝90（平方厘米）.
始于足下
7

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AEF
的面积是22.5平方厘米.
千里之行
（平方厘米），
×30＝22.5（平方厘米）.
始于足下
8
同理有

即三角形

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例2.如图1，5个正方形拼在一起，图中三角形
ABC
部分的面积是60，则正方形的边长是 .

[答疑编号5]

【答案】10
【解答】比较有相同底边的 两个三角形
ABC
和
BCD
，它们的高的比是3:2，因此
千里之行 始于足下
9

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三角形
BCD
的面积是
形
ACD
的面积是60＋ 40＝100.
.于是三角
注意
ACD
的底边是小正方形边长的2倍， 而高就是小正方形的边长，所以
它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100，所以小正方 形的边长
就是10（因为10×10＝100）.

例3.如图2，在15个小 正方形拼成的长方形中，三角形
ABC
的面积是120（其中
C
是大长方形< br>的对角线与
B
所在竖线的交点）.那么小正方形的边长是 .

10
千里之行 始于足下

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[答疑编号5]

【答案】10
【解答】如下图，三角形
ABC< br>与三角形
BCD
的底边都是
BC
，而高的比是3∶2，
所以三 角形
BCD
的面积是，那么
三角形
ABD
的面积就是
120＋80＝200。
三角形
ABD
的面积是大三角形
ADG
的面积减去三角形
ABE
、长方形
BEGF
、
千里之行 始于足下



11

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三角形
BDF
的面积，也就是等于
个小正方形的面积，因此每个小 正方形的面积是200÷2＝100，那么边长为10。


例4.如图，四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个
12
千里之行 始于足下

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小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么4个小三角形中最大的一个三角形的面积是多少公顷?



【答案】21
【解答】

千里之行
答疑编号5]

始于足下

[
13

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,所以，三角形
ABO< br>的面积
是18公顷，三角形
BOC
的面积是21公顷.所以，最大的三角形的面 积为21公
顷.
例5.已知
ABCD
是一个梯形，
BO＝
3
OD
，
AD
＝4，
S
△
ABO
＝12， 则梯形的高是多少？
梯形的下底
BC
是多少？

千里之行 始于足下




14

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[答疑编号5]

【答案】12
【解答】由于△
ABO
和△
AOD
是等高的三角形，并且
BO＝
3
OD
， 可得
S
△
ABO
＝3
S
△
AOD
，
因此
S
△
AOD
＝4，这样
S
△
ABD
＝12＋4＝16。换一个角度去观察钝角三角形
ABD
，将
AD
作为它的底 ，将
B
作为它的顶点。从而根据
S
△
ABD
＝16和
AD
＝4可知△
ABD
在
底边
AD
上的高为16×2÷4 ＝8，而这个高也是梯形的高。
由于△
ABC
和△
DBC
是同 底等高的三角形，所以
S
△
ABC
＝
S
△
DBC< br> ，从而
S
△
ABO
＝
S
△
DOC
＝12。由于△
DOC
和△
OBC
是等高的三角形，并且
BO＝3
OD
，可得
S
△
OBC
＝3
S
△< br>DOC
，
因此
S
△
OBC
＝36，这样
S< br>△
DBC
＝12＋36＝48。
下面可以用两种方法去求
BC< br>的长度，如果把
AD
看成△
ABD
的底边，把
BC
看 成△
DBC
的底边，那么△
ABD
和△
DBC
是等高的，由 于
S
△
DBC
是
S
△
ABD
的3倍，所< br>以
BC
＝3
AD
，从而
BC
＝12。
或者可以利用梯形面积的计算公式去求
BC
的长度，由于梯形的面积＝4＋
12＋12 ＋36＝64，梯形的高为8，梯形的上底
AD
＝4，
于是下底
BC
＝64×2÷8－4＝12。
千里之行 始于足下



15

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例6.如图，
ABCD
是梯形，三角形
ADE
面积是 1.8，三角形
ABF
的面积是9，三角形
BCF
的面积
是27.那 么阴影部分面积是多少？

16
千里之行 始于足下

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[答疑编号5]

4.8
ADF
的面积为“上”，△
BCF
的面积为“下”，
△
ABF
的面积为“左”，△
DCF
的面积为“右”.
左＝右＝9；上×下＝左×右＝9×9＝81，而下＝27，所以上＝81÷27＝3.
△
ADE
的面积为1.8，那么△
AEF
的面积为1.2，
则
EF
：
DF
＝：
千里之行 始于足下


【答案】
【解答】设△





17

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＝1.2：3＝0.4.
△
CEF
与△
CDF
的面积比也为
EF
与
DF
的比，
所以有S
△
ACE
＝0.4×
0.4×（3＋9）＝4.8.
即阴影部分面积为4.8.
＝

例7.如图，长方形
AB CD
的面积是2平方厘米，
EC
＝2
DE
，
F
是< br>DG
的中点.阴影部分的面积是多
18
千里之行 始于足下

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千里之行
答疑编号5]

始于足下
少平方厘米?


[

19

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FC
，△
DBF
、△
BFG
的面积相等，设为
x
平方厘米，
△< br>FGC
、△
DFC
的面积相等，设为
y
平方厘米，那么△DEF
的面积为
y
平方厘米.
千里之行 始于足下
20
【答案】
【解答】如下图，连接

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千里之行
＝2
x
＋2
y
＝1，
x
＋
始于足下
21

＝

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千里之行
y
＝
＝
始于足下
22
l×

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.
所以有.
比较②、①式，②式左边比①式左边多2
x
，②式右边比①式右边大0.5，
有2
x
＝0.5，即
x
＝0.25,
y
＝0.25.
千里之行 始于足下
23

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而阴影部分面积为y＋
千里之行 始于足下
y＝
24

×0.25＝

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千里之行
平方厘米.

始于足下
25

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例8.如图，正方形
ABCD
的边长是12，
BF
＝
CE
＝4，则四边形
ABOD
的面积是 .
千里之行
答疑编号5]

始于足下
26


[

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【答案】 < br>【解答】如图，假设△
OBF
和△
OEC
的面积分别为
x和
y
，那么△
OCF
和△
OED
的
面积就分别 为2
x
和2
y
.根据△
BEC
和△
OCF
的面积，可以列方程组得：

化简即得：
千里之行 始于足下
27

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解得
千里之行

，
始于足下
28

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所以四边形
ABOD
的面积为：
12×12-
千里之行
.
始于足下
29

＝

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.


例1. 已知
EF
＝2
BF
，
AD
＝3
BD
，三角 形
ABC
的面积为36，那么四边形
ADFE
的面积是多少？
分析：四边形
ADFE
是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。做辅助线连接
D
和
E
，将
四边形
ADFE
分成2个三角形△
AD E
和△
DFE
，三角形的面积就比较好求了。请大家想一想，除了公
式以外， 还可以利用什么方法去求三角形的面积？
题目中给出的条件是线段与线段之间的关系，一定要将线 段与线段的关系转化成图形与图形的
关系，这样才有助于计算面积。比如：由
EF
＝2
BF
，可知
S
△
DFE
＝2
S
△
DBF
。这是连接
D
和
E
做辅助线的
另外一个优点，它将线 段之间的倍数关系转化成了三角形面积之间的倍数关系，这就使得线段与图
30
千里之行 始于足下

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形相互联系了起来。


[答疑编号5]


【答案】11
【解答】由EF
＝2
BF
，可知
S
△
DFE
＝2
S
△
DBF
，
S
△
EFC
＝2
S
△
FBC
，从而
S
△
EDC
＝2
S
△DBC
。由于
AD
＝3
BD
，可知
S
△
ADC
＝3
S
△
DBC
。如果设
S
△
D BC
＝“1”，那么
S
△
EDC
＝“2”，
S
△< br>ADC
＝“3”，
所以
S
△
ADE
＝“1”，
S
△
ABC
＝“4”。由于大三角形
ABC
的面积为36，所以< br>S
△
ADE
＝
“1”＝36÷4＝9。

下面 求△
DFE
的面积。由于
AD
＝3
BD
，可得
S< br>△
ADE
＝3
S
△
DBE
，因此
S
△
DBE
＝9÷3
＝3。因为
S
△
DFE
＝2S
△
DBF
，而
S
△
DFE
＋
S△
DBF
＝
S
△
DBE
，所以
S
△< br>DFE
＝3÷3×2＝2。由
S
△
ADE
＝9，
S< br>△
DFE
＝2，可知四边形
ADFE
的面积是11。
千里之行 始于足下
31

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总结：在直线形计算的问题中，如果碰到一个不规则的图形，通常需
要添加辅助线将它 分割成若干个可以计算面积的图形，例如分割成三角形、平
行四边形或者梯形。如果题目中的条件给出了 线段与线段之间关系，也可以利
用添加辅助线的方法将线段与三角形（或者其它的图形）联系起来，这样 线段
之间的关系就变成了三角形（或者其他图形）之间的关系，从而有助于计算图
形的面积。

例2.如图1，在r
ABC
中，
DC
＝3
BD
，r
ABC
的面积是84，
DE
＝
EA
，则阴 影部分的面积是 .

32
千里之行 始于足下

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[答疑编号5]

【答案】36
【解答】连结
DF
，因为
DE
＝
EA
，所以三角形
ACE
的面积与三角形
CDE
的面积相
等，三角形
AEF< br>的面积与三角形
DEF
的面积相等.因此阴影部分的面积等于三角
形
C DF
的面积，也等于三角形
ACF
的面积.
又因为
CD
＝3×
BD
，所以三角形
DEF
的面积是三角形
CDF
面 积的
，因此阴影部分的面积
千里之行 始于足下
33

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千里之行
.

始于足下
34

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例3.如图1，已知三角形
ABC
的面积为1，
AF
＝
FD
，
BF
＝3
FE
.则阴影部分的面积是 .


【

答案】97.5
【解答】连
DE
.
千里之行
答疑编号5]

始于足下
35


[

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BF
＝3
FE
AF
＝
FD
千里之行 始于足下
＝
＝
36
由
由

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记
而
千里之行
＝2
a
，则
，即
始于足下
＝

37

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从而阴影部分的面积是
千里之行 始于足下
.
38

例4.如图，△
ABC
的面积是1，且
面积是 .

千里之行 始于足下
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，则△
OAB
的
39

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千里之行
答疑编号5]


始于足下
40

[


【答案】
【解答】

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△
OAB
的面积是.

例5.在长方形
ABCD
中，
E
是
AD
的中点，
F
在
CE
上且
EF
∶
FC
＝3∶1，已知三角形
BFD
的面积是41
千里之行 始于足下

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，则长方形
ABCD
的面积是 .



【答案】192
【解答】

OE
∶
OC
=1∶2，
EF
∶
FC
＝3∶1,
三角形
BED
的面积∶三角形
BFD
的面积
千里之行
答疑编号5]

始于足下
42
60


[

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=,
因为三角形
BFD
的面积是60，所以，三角形
BED
的面积是48，
则长方形
ABCD
的面积是48×4＝192.
例6.如图，梯形ABCD
外有一点
E
，使得△
ABE
、△
ADE
和△
EDC
的面积相等.

（1） 证明：△
ABF
和△
AFD
的面积相等；
（2） 证明：△
ADF
和△
AHD
的面积相等；
（3） 如果已知△ABF
和△
DGH
的面积分别为3和1，求梯形
ABCD
的面积 .
千里之行 始于足下
43

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[答疑编号5]


【答案】18
【解答】（1）证明：因为△
ABE
与△
ADE
都是以
AE
为底且面积相等，所以△ABE
在边
AE
上的高与△
ADE
在边
AE
上 的高相等.
因为△
ABF
与△
AFD
同底（
AF）等高，所以△
ABF
与△
AFD
的面积相等。
（2）证 明：由（1）同理，△
AHD
与△
HDC
面积相等，所以△
ADF< br>是△
ABD
面积的一半，△
AHD
是△
ACD
面积的 一半.
因为梯形
ABCD
中，△
ABD
与△
ACD< br>的面积相等，所以△
ADF
和△
AHD
面积相
等.

（3）解：由△
ABF
的面积是3，可得△
ADF
、△
HDC
面积都是3，所以△
AGD
的面积是
3-1＝2.
因为△
ABG
与△
ADG
有相同的高，且面积分别为4和2，所以
B G
是
DG
的2
倍.
因为△
CBG
与△
CDG
有相同的高，所以△
CBG
的面积是△
CDG
的2倍，为8 ，
所以梯形
ABCD
的面积为2＋4＋4＋8＝18.

例7 .如图，已知
D
是
BC
中点，
E
是
CD
的 中点，
F
是
AC
的中点.三角形
ABC
由①～⑥这6部分< br>44
千里之行 始于足下

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组成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形
ABC
的面积是多少平方厘米?


[答疑编号5]


【答案】48
【解答】因为
E
是
DC
中点，
F
为
AC
中 点，有
AD
＝2
FE
且平行于
EF
，则四边形
< br>ADEF
为梯形.在梯形
ADE
F中有③＝④，②×⑤＝③×④，②：⑤＝千里之行 始于足下
45

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：
＝4:1.
又已知②－⑤＝6，所以⑤＝6÷（4－1）＝2，②＝⑤×4＝ 8，所以②×⑤
＝④×④＝16，而③＝④，所以③＝④＝4，梯形
ADEF
的面积为 ②、③、④、
⑤四块图形的面积和，
为8＋4＋4＋2＝18.
有△CEF
与△
ADC
的面积比为
CE
平方与
CD
平方的比，即为1：4.所以△
ADC
千里之行 始于足下
46

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面积为梯形
ADEF
面积的
千里之行 始于足下
47
＝
，即为

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＝24.
因为
D
是
BC
中点，所以△
ABD
与△
ADC
的面积相等，而△
ABC
的面积为△
ABD
、
ADC
的面积和，即为24＋24＝48平方厘米.
三角形
ABC
的面积为48平方厘米.
千里之行 始于足下
48
18×

△