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第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）

一、填空题（每小题10分，共80分）
1．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个 数不能少于11，
不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要 个
乒乓球。

2．有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及 五
种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一
个包装盒，共有 种不同价格。

3．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相
向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、
B、C的速度分别是每小时90km , 80km, 60km，那么甲乙两站的路程
是 km。

4．将和这6个分数的平均值从小到大排列，则这
个平均值排在第 位。

5．将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续
若干次这样的操作后可以变 为6的数称为“好数”，那么不超过2012
的“好数”的个数为 ，这些“好数”的最大公约数是 。
1

6．右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图
形的表面积为 。

7．数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字
和 是33，则最多有 张是卡片“3”。

8．若将算式
为小数，则小数点后第1个数字是 。

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．右图中有5个由4个1 ×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。
问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能， 请画出
一种拼法；如果不能，请简述理由。
的值化

10．长度为L的一条 木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12
和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多 少段？其中
最短的一段的长是多少？

2

11．足球队 A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场
比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得 1分。若A，B，C，
D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？

12．华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整
数，并且 分解成19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424
中有质数吗？并 说明理由。

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．右图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米。已知△ABC，
△BCD，△CDE， △DEF，△EFA，△FAB的面积都等于335平方
厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘 米。求六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的面积。

14．已知两位自然数
的两位数。



3
能被它的数字之积整除，求出代表

答案
1．173
2．19
3．425
4．5
5．223；3
6．32
7．3
8．4
9．不能
10．[8，12，18]=72
8+12+18-3-2-1+1=32 除去重复的32-4=28段
最长一段长为1，所以172
11．7；5
12．有质数,1163；1163不能除以2,3,5„„37内质数,1163＜37×40
13．335×6=2010
（2010-670）÷2=670
2010-（670×2）=670
14．11，12，15，24，36



4

第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（A卷）解答的
详细解析与答案

一、 填空题（每小题10分，共80分）
1、【解答】（枚举方法）至少需要1 1+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173 。

2、【解答】（列表方法） 共有25-6=19 (种)


礼
2
品
5
盒
8
价
11
格
14

3、【解答】（相遇、追及综合问题）A与C 20分钟相遇，共行（90+60）×(20÷60)=50( km) ,
这50 km即是A与B 相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇
时间等于50÷（80-60）=2. 5（小时）。所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）×
2.5=425( km)

4、【解答】平均数=【（
排列在第5位。

5、【解答】（余 数问题或周期规律）题意中的好数实际是指小于或等于2012中除以9余6
的数有多少个。即数列6、 15、24、33、42、51…….1005、2004共（2004-6）÷9+1=223
（个） ，最大公约数为3

6、【解答】（表面几何问题）。
(视图方法)。俯视面积5 ，仰视面积5，前视面积5，后视面积5，左视面积6，右
视面积6，表面积共32

7、【解答】（不定方程问题）
设卡片3用X张，卡片4用Y张，卡片5用M张，则：
X+Y+M=8 ①
3X+4Y+5M=33 ②

2X+Y=7

X最大为3

8、【解答】（估算问题）
根据分数数列运算符号的加减周期性，将分数数列分组求近似值，进行估算。
1
12

包 装 盒 价 格
1 3
3
6
9
12
15
5
8
11
14
17
5
7
10
13
16
19
7 9
9
12
15
18
21
11
14
17
20
23
1
2
+
1
3
+
1
6
）+
1
4
+
1
5
+
1
7
】÷6≈0.265457，所以这个平均数从小到大< br> -
1
34
.
≈0.41
6
，
1
56
-
1
78
≈0.01548 ，
1
910
-
1
1112
≈0.00354 ，
5

1
1314
-
1
1516
1
1920
≈0.00132

1
1718
< br>0.00063，„„推理后面每两个分数之差更接近0，而且是有限个求和,
所以小数点后第一 位为4。

二、 答下列各题(每题10分，共40分)
9、【解答】（染色问题 ）将5块硬纸板黑白间隔染色，可见黑色有11块，
白色9块，或者黑色9块，白色11块。而右边20 个格子黑、白各10
块。显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的的4×5的长方形。

10、解答（重叠问题） ：令L=[8,12,18]=72的K倍，即L=72K。那么:
红线将木棍等分8等份 （9个分点）， 每份长度9K；
蓝线将木棍等分12等份（13个分点）， 每份长度6K；
黑线将木棍等分18等份（19个分点）， 每份长度4K；
又知：【9K，6K】=18K,重叠4段。 【6K，4K】=12K ，重叠6段。 【9K，4K】=36K，
重叠2段
【9K,6K,4K】=36K,重叠2段。
由容斥原理二得：一共分割的段数为：(8+12+18)-4-6-2+2=28（段）
或总点数为：（9+13+19）-5-7-3+3=29(分点)，所以共有28段。

11、【解答】（数值综合推理）
5只足球队单循环比赛共赛4+3+2+1=10场。从计 分标准看，有胜负的场次得3分，平
局的场次共得2分，题意中的问题是E队最多得分和最少得分，显然 和整个比赛中平局的
次数有关，平局越少，E队得分会越高；平局越多，E队得分会越低。假设全是3分 ，10
场共计30分，每平局总分倒减1分。
由A、B、C、D的得分不难分析，
A=1 =1+0+0+0
B=4 =3+1+0+0 = 1+1+1+1
C=7 =3+3+1+0
D=8 =3+3+1+1 从得分看至少3局平局，全部比赛总分30-3=27分，E对得分最多为27-1-4-7-8=7分。

从得分看最多5场平局，全部比赛总分30-5=25分，E队得分最少为25-1-4-7 -8=5分。

12、【解答】（质数问题）
16424是合数，原因是1642 4的约数不止两个，除了有1和本身外还有2、4……
等等。
1163是质数,判断方法是: 35
2
=1225，34
2
=1156 最接近1163，所以用小于34
的所有 质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31去除1163都除不尽，所
以可以判断1163是质数。

6

三、 解答下列各题（每题15分，共30分）
13、【解答】（图形面积问题）（容斥原理求面积）
六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形中间夹圈部分
的面积。
根据容斥原理：两个六边形中间夹圈部分的面积=（335×6+670）÷2=1340
所以：
六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形中间夹圈部分
的面积
=2010-1340=670
14、【解答】（不定方程问题）
令虎为X、威为Y , 则：题意为：10X+Y=X×Y×K（K为整数）
讨论:①Y=1

(K-10)X=1

X=1,K=11,


XY
=11
②Y=2

(K-5)X=1

X=1,K=6,


XY
=12
③Y=3

(3K-10)X=3

无解
④Y=4

(4XK-10K)=2

X=2,K=3


XY
=24
⑤Y=5

（K-2）X=1

X=1,K=3


XY
=15
⑥Y=6

(3K-5)X=3

X=3,K=2


XY
=36
⑦Y=7，同上方法讨论无解。
⑧Y=8，同上方法讨论无解。
⑨Y=9，同上方法讨论无解。
7