曾经有一个人爱我如生命-六到你家

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案(小学高年级组)
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题B参考答案
（小学高年级组）
一、填空题（每题 10 分, 共80分）
题号
答案
1
50
2
6, 7
3
3466
4
6.5
5
67
6
136
7
1000

7
8
3
二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）
9. 答案：106
解答. 图中共有5条最长的水平线段和7条最长的垂直线段, 任意两条水平与任
意两条垂直的就构成一个长方形, 一共有
(4321)(654321)1021210
(个).
其中含“*”号有
4×15+4×15－4×4＝120－16＝104 (个).
所以不含含“*”号有
210－104＝106个.
10. 答案：9
解答. 由于三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等, 可得出三角形AEC
的面积等于三角形BDC的面积. 由BD:DA = 1:2, 得三角形BDC的面积等于三角
11
形ABC面积的, 即三角形AEC的面积等于三角形ABC面积的. 那么EC等
33
1
于BC的, 得出EC = 6, 进而AD = 6, BD = 3, 最终AB = 9.
3
11. 答案：61
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案(小学高年级组)
解答. 设有n个人, 每人植树x棵, 则
nx201331161
.
可以说明：
n311
. 若
n33
, 则每人植树61棵. 如果5人不参加植树, 则
有305棵树, 其余28人每人多植3棵, 才种84棵树, 完不成任务. 可见,
n311
.
考虑n = 61. 此时, x = 33. 如果5人不参加植树, 则有165棵树要让56人多植
树. 若每人多植2棵, 则56人多植了
562112
（棵）树, 完不成植树任务; 若
每人多植3棵, 则56人多植了
563168
（棵）, 完成了植树任务. 所以, n = 61
符合要求.
12. 答案：59
解答.
① 观察立体右面的正方体, 标有1个黑点的侧面到标有2个黑点
的面, 再到标有4个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.
② 观察中间上面的正方体, 既然从1个黑点到2个黑点, 再到4个黑点是逆
时针, 则该正方体标有6个黑点的面的对面标有1个黑点.
③ 观察立体左面的正方体, 正方体标有3个黑点的面紧邻标有2个黑点的
面, 结合观察立体中间上面的正方体, 可知该正方体中, 标有4个黑点的侧面的
对面的黑点有3个, 且底面标有5个黑点. 并且可知, 从1个黑点到2个黑点, 再
到3个黑点是顺时针.

所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为1、2和3的三个侧面顺时针围绕公
共顶点, 1对6, 2对5, 3对4. 所以, 立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面
有6个黑点; 立体中左面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中间
上面的正方体紧邻下方正方体的侧面有5个黑点; 立体中间下面的正方体后面的
侧面有2个黑点, 底面有可能是有1个黑点. 所以立体中间下面的正方体紧贴其
他3个正方体的3个侧面黑点总数最少是8个.
4个正方体黑点总数是84, 3对紧贴的侧面黑点总数最多是25, 所以, 立体
的侧面（包括底面）所有黑点的总数最多是59.
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案(小学高年级组)
三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）
13. 答案：4
解答. 用右图代替题目中的
21
小长方形. 对于拼成的正方形图形, 记
过左上顶点的对角线为甲对角线, 另一条对角线为乙对角线.

图A
首先, 有如下观察:
1) 当甲对角线是对称轴时,
a) 左上角的
22
小正方形是图A的 (1), (2), (3), (4) 中之一;
b) 右下角的
22
小正方形是图A的 (1), (2), (5), (6) 中之一;
c) 若右上角的
22
小正方形是图A的 (1), (2), (7), (8) 中的一个, 则左
下角的
22
小正方形分别是图A中的 (1), (2), (9), (10);
2) 当乙对角线是对称轴时,
a) 右上角的
22
小正方形是图A的 (1), (2), (7), (8) 中之一;
b) 左下角的
22
小正方形是图A的 (1), (2), (9), (10) 中之一;
c) 若左上角的
22
小正方形是图A中的 (1), (2), (3), (4) 之一, 则左下
角的
22
小正方形分别是图A中的 (1), (2), (5), (6).
根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星, 再去掉旋转重合的, 得
到以下4种图形:

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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案(小学高年级组)
14.
解答. 记第一种、第二种和第三种分类分别分了i, j, k 类, 每类的盒子数目分别
为
a
1
,a
2
,

,a
i
,
b
1
,b
2
,

,b
j
,
c
1
,c
2
,

,c
k
,
令
nijk
.
1) 因为
a
1
,a
2
,

,a
i
,
b
1
,b
2
,

,b
j
,
c
1
,c
2
,

,c
k
包含了1到30的所有整数,
所以
n30
. 另一方面,
3155 a
1
a
2


a
i
b
1
b
2


b
j
c
1
c< br>2


c
k
3031
12
304653155,
2

所以
nijk30
, 三种分类各自分类的类数之和是30.
2) 不妨设
a
1
30
, 记这30个盒子的类为A类. 因为
ijk30
, 必有
j14
或
k14
, 不妨设
j14
. A类的30个盒子分到这不超过14个类中去, 必
有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.


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