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惠州市华杯赛测试题二（初二）

1．圆上的100个点将该圆周等分为100段等弧. 随意将其中的一些点染成红点，要保证至
少有4个红点是一个正方形的4个顶点.那么最少要染红 个点。
解:至少要染红76个点.
如图所示：圆的一对直径AC，BD互相垂直时，则ABCD恰
是一个正方形. 反过来，如果圆上的四点A、B、C
、
D恰是一个
正方形ABCD 的4个顶点，则对角线AC，BD 恰是该圆的一对
互相垂直的直径. 圆上的100个点将该圆等分 为100段等弧.恰有
25对互相垂直的直径，由互相垂直的直径的4个端点恰可构成25
个不 同的正方形. 最不利的情形是：每对互相垂直的直径的4个
端点中染红3个点，则总计在圆的100个 等分点中染红了75个点，
其中任意的4个红点都不是一个正方形的4个顶点.

这时，我们只要再染一个红点，即染76个红点，而76 =3×25+1，就必定会出现一个
正方形的4个顶点都是红点. 因此，要保证至少有一个正方形的4个顶点为红点，至少要
将这100个等分点中的76个点染成红点.

2．只有一个数码是6，且能被3整除的五位数共有_______个.
解:如果 将6去掉，得到的4位数一定是3的倍数。3的倍数中最大的4位数是9999，
,3333k33 4.
一共3000个。这3000个数中，至最小的4位数是1002，
99993k10 02
少有一位数是6的有1200个（个位数是6的有300个；十位是6的有300个，同样百位是6的有300个，千位是6的有300个）。至少有两位数是6的有180个（个个位十位同
时是 6有30个；个位百位同时是6有30个；个位千位同时是6有30个；十位百位同时
是6有30个；十 位千位同时是6有30个；百位千位同时是6有30个）。至少有三位数是
6的有12个。四位数都是6 的有1个。因此，4 为数中能被3整除，且不含数码6的数
有

300012001801211969

(个）。
每一个这样的数有5个位置安插数码6，可以得到9845个数。
答。9845个。



- 1 -

3 .
(1x)
20
(1+x)
20
除以1-x
2
的 余式.为_________________.
解:设(1+x)
20
除以1-x
2
所得的商为Q(x), 余式为px+q, 则由带余除法恒等式得
(1+x)
20
=(1-x
2
)Q(x)+px+q
令 x=1, -1分别代入上式, 得
2
20
=p+q, 0=-p+q
解之得 p=q=2
19
, ∴ 所求余式为2
19
(x+1).


4．用大小相同的正六边形瓷砖按如图4所示的方式来铺
设广场，中间的 正六边形瓷砖记为A，定义为第一组，
在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义
A< br>为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷
砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺 下去，
用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，
此时还剩余______ ____块瓷砖。
解：26；54
图 4

5. 甲、乙两家公司都准备 向社会招聘人才，两家公司招聘
的条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪1万元，每年 加工龄工资
200元，B公司，半年薪5000元，每半年加工龄工资50元，从经济收入的角度考虑的
话，选择哪家公司有利一些？
解： 分别列出第一年、第二、……、第n年的实际收入：
第一年：
A公司：10000(元) （A一年发一次薪；B半年发一次薪）
B公司：5000+5050=10050(元)
第二年：
A公司：10200(元)
B公司：5100+5150=10250(元)
……
一般地，第n年
A公司：10000+(n-1)•200(元)
B公司：[5000+(n-1)•100 ]+[5000+(n-1)•100+50]=10050+(n-1)•200
也就是说，在B公司工作，永远比A公司工作的年收入多50元，所以选择B公司有
利一些.

6. 已知ax+by=7, ax
2
+by
2
=49, ax
3
+by
3
=133, ax
4
+by
4
=406, 试求: 1995(x+y)+6xy-
17
(a+b)的
2
值.
分析 ax
2
+by
2
可用ax+by, x+y, a+b, xy的关系式表示出来, 类似地, ax
3
+by
3
可用
ax2
+by
2
, ax+by, x+y, xy的关系式表示出来, ax
4
+by
4
可用ax
3
+by
3
, ax
2
+by
2
, x+y, xy的关系式表
- 2 -

示出来, 再将已知条件代入, 即可求得x+y, xy, a+b的值, 于是可以求出所要求的值.
解．. 因为 (ax+by)(x+y)=(ax
2
+by
2
)+xy(a+b)
(ax
2
+by
2
)(x+y)=(ax3
+by
3
)+xy(ax+by)
(ax3
+by
3
)(x+y)=(ax
4
+by
4
)+xy(ax
2
+by
2
)
所以 7(x+y)=49+xy(a+b) (1)
49(x+y)=133+7xy (2)
133(x+y)=406+49xy (3)
由(2)、(3)解得 x+y=2.5, xy=-1.5
代入(1)得 a+b=21
∴ 1995(x+y)+6xy-
17
(a+b)
2
2117
=1995×2.5+6×(-1.5)-
2
=4987.5-9-178.5=4800.

7．每天早上，李刚定 时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步。他们每天相向而行，
并且准时在途中相遇。有一天，李刚提 早出门，因此比平时早7分钟与张大爷相遇。
已知李刚步行速度是70米 分，张大爷步行速度是40米 分。问那一天李刚比平时
早出门多少分钟？
解。设平常相遇的时刻为0，那么这一天相遇的时刻是-7，设李刚平日在- t时刻出门，
大爷在-T时刻出门。则李、张二家的路程是

L70(0(t))40(0(T))70t40T,

设这一天李刚在-x时刻出门，比平日早x-t分钟。因此，

L70(7(x))(7(T))70(x7)40(T7),

比较以上两个式子，
70x49040T28070t40T,

70(xt)770,

xt11.
即李刚提前11分钟出门。
答:李刚提前11分钟出门。





- 3 -

8．n个球放在3p+1个箱子中（可以放0个），无论怎样放都有4个箱子的球数 一样多，若
n的最大值与n的最小值的比为
99
，求n的最大值。
97解:当
n
3p(p1)
p1
时，拿出3p个箱子，每3个一组， p个组，分别放入0，
2
3p(p1)
3p(p1)
个球，余下
np1
个球，全部放
2
2
1，2，……,p-1个球，以共有
入最后一个箱子中。这样就没有4个箱子有同样的球数。
当
n
3p(p1)
p1
时，都有4个箱子中的球数相同。
2
3p(p1)
p1
是最大值。
2
所以，
n
要使得n最小，就得用3p个箱子，每3个一组，p个组，分别放入0，1，2，……,p-1个球，以共有
3p(p1)3p(p1)
个球，余下一个箱子放0个球，一共，所以， n 的最
22
小值是
3p(p1)
。我们得到，
2
3p(p1)
p1
1512(p1)2
2

11,p100.

3p(p1)
1503p(p1)3p
2
3100(1001)
100114949.
∴
n的最大值
2



- 4 -