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第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题解答（初二组）
（时间: 2014年4月12日）
一、填空题 (每小题10分, 共80分)
1. 计算: 2
3
3

33
3
3
2

32 23
=________.
232
6
3
5
【答案】
4
【解答】
原式=
4936

23

5
65

.

4
124
1
3 642
4

ab

22


,
ab68
, 那么

3c

9
2
ab
2. 已知正整数a, b, c满足三个等式：

,
3c
c
2
等于________.
【答案】144.
【解答】由
abab
, 知

3c3c
a
2
b
2
a
2
b
2

ab

4
,


222
9
3c9c

3c

2
所以,
9c
2

9< br>2
(ab
2
)153
.
4
得
c
2
144
.


1

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
3. 如图, E, F分别是菱形ABCD的边AB, AD上的点,
DCB60, DFE105,
DF1
,
BE23
,
那么这个菱形的边长等于________.
【答案】3
【解答】设菱形ABCD的边长为a, 如右图, 过F作AB
的垂线, 垂足为H.
在直角三角形AHF中, 由已知条件可知:
FAE60
,
AFH30
,
AFa1
.
进而得到:
AH
a1
（直角三角形中, 30度角所对边长是斜边长的一半）,
2
FHAF
2
AH
2

a1
3
（勾 股定理）.
2
由已知条件
DFE105
和
AFH30
, 立即得到
EFH753045
,
从而△EFH是等腰直角三角形,
HEFH
. 所以
BEABAEa
a1a1
323
,
a3
.
22
4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条
件的四位数有________个.
【答案】2
【解答】设这个四位数为
xyzw
. 首先,
x2
. 因为
0y,z,w9,

若
x1
, 则有
02(yzw)54,19995422055
,
与条件不符. 另一方面x不能大于2. 于是,
xyzw2yzw
, 即有
2000100y10zw42y2z2w2379
.

2

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
得到
102y12z3w375
.
容易验证,
y1,2.

因此,
y3.

于是
12z3w69
,
z
整数解：

w3,z5;w7,z4
.
693w
.
12
所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.
5. 已知
x5014a5014a
, 其中a是正整数, 那么所有使得x为整数
的a的取值之和为________.
【答案】158

【解答】首先,
x
2
1002250014a
,
则
250014a
为完全平方数, 令
250014ay
2
,
y0
,
则
(50y)(50y)14a
,
14|(50y)

或
14|(50y)
,
0y50
.
因此, y的可能取值为6, 8, 20, 22, 34, 36, 48, 50, 使得
x
2
为完全平方
数的是22, 48, 对应的a为144和14.

a
3
axy0

6. 已知a, b, c为互不相等的非零实数, 且存在实数x, y满足

b
3
bxy0
,

c
3
cxy0

那么
abc
的值是________.
【答案】0

3

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
【解答】令

a
3
axy0,

3

bbx y0,

c
3
cxy0.

由方程 (1), (2), 可得
(1)
(2)

(3)
(a
3
b
3
)(ab)x0
.
因为
ab0
, 所以
a
2
abb
2
x0
,
解得
x(a
2
abb
2
)
.
代入方程 (1), 解得
ya
2
bab
2
.
将方程 (1), (2), (3) 相加, 得
a
3
b
3
c
3
(abc)x3y0
,
将y代入, 得
a
3< br>b
3
c
3
(abc)x3(a
2
ba b
2
)y0
.
整理得
(ab)
3
c3
(abc)x(abc)(a
2
b
2
c2
2abbccax)0
.
将x代入整理得
(abc )(c
2
abbcca)(abc)(ca)(cb)0
.
因为a, b, c互不相等且均不等于0, 所以
abc0
.

4

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
7. 如右图所示, 五边形ABCDE中,
ABAE
,
BCCD
,
AC2厘米, BAE60, BBCDDE,
则五边形ABCDE的面积是________平方厘米.
【答案】
3

【解答】因为五边形的内角和为
540
, 且
BAE60
,
BBCDDE

所以
BBCDDE120
.
见右图, 以A为旋转中心, 逆时针旋转△ABC到△AEF的位置, 则
AEAB
,
EFBC
,
AFAC
,
AEFABCAED120
.
所以
DEF120CDE
.
连接CF交DE于P, 则△CDP≌△FEP. 相当于将△CDP绕P旋转
180
补到
△FEP的位置. 可见
五边形ABCDE的面积 = △ACF的面积.
又, △ACF是边长为2厘米的正三角形, 所以其面积为
3
2
2
3
（平方厘米）.
4
因此五边形ABCDE的面积为
3

平方厘米.
8. 方程
x
3
Ax
2
BxC0
的系数
A,B, C
为整数,
|A|10,|B|10,|C|10
,
且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个.
【答案】270.
【解答】由已知,

5

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
x
3
Ax
2
BxC(x1)(x
2
axb)x
3
(a1)x
2
(ba)xb
,
其中, a, b为实数, 于是有
Aa1,Bba,Cb
,
并且得到a, b为整数.

由题目条件得
|a1|10,|ba|10,|b|10
,
因此
9a11,b10ab10,10b10
.
当b0时, 由
9a11,10a10
, 得9a10, 即
a
能够取18个整
数值; 当
b1
时, 由
9a11
, 知
a
能够取19个整数值; 当
b2
时, 由
9a11,8a12
, 得8a11, 即
a
能够取18个整数值; ……; 当b9
时, 由
9a11,1a19
, 得1a11, 即
a
能够取11个整数值.
同样地, 当
b1
时, 由
9a11,11a9
, 得
9a9
, 即
a
能
能够取17个整数值; ……; 当
b9
时, 由
9a11,19a1
, 得
9a1
, 即
a
能取9个整数值.
这样,
(a,b)
的取法, 亦即
(A,B,C)
的取法有
18(191811)(17169)
所以, 这种方程共有270个.
3092710
270
（种）.
22
二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
a

9. 关于x的方程

x1

|4xa|2

0
的3个解恰好是某个直角三角形三
2
 
条边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?

6

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
【答案】
323

4
【解答】由已知, 原方程共有三个解: < br>x
1

a11
1,x
2
(a2),x
3
(a2)
.
244
当
a2
, 它们才可能是某个直角三角形的三条边长. 下面分两种情况讨论.
（1）
6a2
. 在这种情形下,
x
2
x
1
x
3
,
x
2
是斜边长. 因此,
11

a


(a2)
2


1

(a2)
2
, (*)
16

2

16
解(*), 得到:
a35
. 因为
352
, 仅有
a35
. 此时, 直角三角形面
积为
2
11135
x
1
x
3
(a2)
2
352
.
216168
2

（2）
a6
. 在这种情形下,
x
1
x
2
x
3
,
x
1
是斜边长. 因此,
11

a



1

(a2)
2
(a2)
2
, (**)
16

2

16
解(**), 得到:
a223
. 因为
2236
, 仅有
a223
. 此时, 直角
三角形面积为
2
11132 3
x
2
x
3
(a
2
4)

.

4234




2323242


综上, 直角三角形面积的最大值是
323
.
4
10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为：胜者
得1分, 和棋各得0.5分, 负者得0分. 如果有两名选手共积11分, 其他选手

7

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
的平均积分为整数, 那么一共下了多少盘棋?
【答案】21或231
【解答】不论比赛状况如何, 下棋的盘数等于得分总数. 假设共有
x2
个人参加
比赛, 那么共下
1
(x1)(x2)
盘. 设n为除两人外其余人的平均积分, 那么
2
1
(x1)(x2)11nx
.
2
整理可得:
x
2
(2n3)x200
.
由于人数为整数,
2n3
也为整数, 所以x必为20的正约数. 又因为其中两名选
手共得11分, 所以
x5
. 因此x的取值只可能是5, 10或 20.
当
x5
, 7人比赛, 共计比赛21场, 总分21分, 其余人共得10分, 平均2
分, 符合题意.
当
x10
时, 12人比赛, 共计比赛66场, 总分66分, 其余人共得55分, 平均
5.5分, 不合题意.
当
x20
时, 22人比赛, 共计比赛231场, 总分231分, 其余人共得220分,
平均11分, 符合题意.
因此, 参加比赛的选手人数可能为7人或者22人, 共举行的场数可能为21
场或者231场.
11. 在梯形ABCD中,
ABCD
,
AB8
,
CD6
.
M, N分别为AD, BC的中点, MN与梯形ABCD的对
角线AC, BD分别相交于P, Q. 如图所示的四边形
ABQP的面积为18, 求梯形ABCD的面积.
【答案】56
【解答】见右图, 连接CQ. 因为M, N分别为AD, BC的中点, 所以P为AC的中
点. 令
S
QBN
x
, 则
S
CQN
x
.

8

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
因为P, N分别为AC, BC的中点, 所以
PN
同理可知
1
AB4
.
2
1
QNCD3
.
2
所以
S
CPQ
S
CQN
得
SCPQ


PQPNQN1

.
QNQN3
1
x
. 在
CAB
中,
3
1

S
ABNP
3S
CPN
3

xx

4x
.
3

所以
S
AB QP
S
ABNP
S
BNP
3x
.
得
x6
. 所以
S
ABC

又
7
x1832

3
S
ACD
CD3

,
S
ABC
AB4
得
S
ACD

最终,
3
S
ABC
24
.
4
S
ABCD
243256
.

9

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
12. 已知十个互不相同的正数满足:
1) 它们的和为385;
2) 它们中任意两个数的和或者差的绝对值是这十个数中的某个数.
请写出这十个数.
【答案】7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
【解答】设这十个数为
a
1
,a
2
,,a
10
, 且
a
1
a
2
a
10
. 由于
a
10
a
i
a
10
,
1i9
,
所以它们都不是这十个数中的成员, 因此
a
10
a
i
都是这十个数中的成员, 都小于
a
10
, 且有
a
10
a
9
 a
10
a
8
a
10
a
7
a< br>10
a
1
a
10
,
故有
a
10
a
i
a
10i
, 特别地
a
10
a
9
a
1
. 又因为
a
9
a
i
a
9
a
1
a
1 0
,
1i8
,
也都不是这十个数中的成员, 所以
a
9
a
i
都是这十个数中的成员, 都小于
a
9
, 且
有
a
9
a
8
a
9
a
7
a
9
a
1
a< br>9
,
故有
a
9
a
i
a
9i
, 特别地
a
9
a
8
a
1
. 完全相同的道理, 可得
a
i1
a
i
a
1
,
1i9
.
所以
a
1
a
2
 a
10
a
1
(1210)385
.
解得
a
1
7
. 所以这十个数是7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

10

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
三、解答下列各题（每题15分, 共30分, 要求写出详细过程）
13. 右图中, ABCBCDDAB45,
BD2
厘米,
求四边形ABCD的面积.
【答案】2平方厘米
【解答】见左图, 连接AC, 延
长AD交BC于H. 则AHB90, CDH45. 所
以,
AHBH
, DHHC. 又在
BHD
与AHC
中,
BHDAHC90
, 所以
BHD≌AHC
（边、
角、边）. 得
BDAC2
（厘米）.
延长BD交AC于K, 由于
ACHCAH90
, 而
CAHKBH
所以
KBHCAH90
. 因此
BKC90
, 得
BKAC
, 即
BDAC
.
最终,
四边形ABCD的面积
=
ABC
的面积
ADC
的面积
=
=
111
ACBKACDKAC(BKDK)

222
11
ACBD222
（平方厘米）.
22
14. 有n个人在网上购物,
n2
. 已知, 任意三个人中有两人买有同一种类的商
品, 没有三个人买有同一种类的商品. 若他们中的甲和乙两人各买了四种商
品, 但没有买同一种类的商品, 则n的最大值是多少? 当n最大时, n个人一
共最少买了多少种商品？
【答案】10, 20
【解答】分别用A
1
, A
2
表示甲、乙两人, 他们没买同一种商品. 由任意3人中有2
人买了相同的商品, 余下的(
n2
)个人可分成两组: A
1
组, 与A
1
买有同种商品的
人; A
2
组, 与A
2
买有同种商品的人. 注意, 同一个人可以即在A
1
组也在A
2
组.
两个组每组最多5人. 否则, 设有一个组有6个或6个以上的人, 不妨设是

11

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）
A
1
. 但是A
1
只买了4种商品, 由抽屉原则, 另外5个或5个以上的人中必有2人
与A
1
都买有同一种类商品. 这与题设“没有三个人买有同一种类的商品”矛盾.
若
n10
, 由抽屉原则有一组有6个或6个以上的人, 与“两个组每组最多5
人”矛盾. 所以,
n10
.
考虑
n10
的情况. 记第i个人为A
i
, 用B1, B2, …, B20表示20种不同种类
的商品. 购物情况可以如下:

A
1
买B1, B2, B3, B4; A
2
买B11, B12, B13, B14;
A
3
买B1, B5, B6, B7; A
7
买B11, B15, B16, B17;
A
4
买B2, B5, B8, B9; A
8
买B12, B15, B18, B19;
A
5
买B3, B6, B8, B10; A
9
买B13, B16, B18, B20;
A
6
买B4, B7, B9, B10; A
10
买B14, B17, B19, B20.
满足题目的要求, 且两组各有5人.
当
n10
时, 两个组只能各有5人且无人同属两组. 同一组中, 三人有二人
购有同种商品, 而无其他同组人买这种商品. 这二人可以是同组中任意二人, 所
以, 一个组就至少买了
C
5
2
10
种商品. 两个组至少买了20种商品.



12