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第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A（初二组）
总分
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
初赛试题A（初二组）
（时间2013年3月23日10：00～11：00）

一、选择题（每题10分 ，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示
正确答案的英文字母写在每题的圆 括号内。）
1．计算：

3


2
-2-
3
-27
3
1
2-1
=( ).
A．-1 B．-1+
2
C．-3-
2
D．-7+
2

解析：原式=3-8-（-3）+（
21
）=
2-1
,选B。
2． 如果关于x, y的方程组 3x+4y=m+n-4的解满足
x
 x-2y= 3m-2n+3
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：根据根式的意义，可知道x=y=0，可将有关x, y的方程组转化为m，n的方程，解得m=1，
n=3，mn的值等于3，选D。
3． 如图, 在直角坐标系Oxy中, A, B分别是x轴和y轴上的点, 四边形OACB
是矩形, OA=7, OB=4. 已知反比例函数y=
与AC, BC交于F, E. 当△ECF的面积等于
A．8 B．10
k
x
k
x
y0
, 那么mn的值等于（ ）.
（k>0）在第一象限的图象分别
时, k的值等于（ ）
D．14
k
4
32
7
C．12
解析：根据题意，F, E在反比例函数y=
以EC=7-
S△ECF=
2
图象上， E点坐标（，4 ），E点坐标（7，
k
7
），所
k
4
32
,CF= 4-
=(7-
k
4
k
7
,
k
7
7
)(4-)÷2
化简的k-56k+528=0，配方得（ k-28）
2
=256，所以k-28=16，k=12。答案为C。
4．如图, 正方形ABCD中, M, N是边AB上的点, E, F是边CD上的点, 连接AF, BE,
CM, DN交成四边形PQRS. 若AM = NB = CF = DE = 1, MN = 4. 则四边形PQRS的
面积等于（ ）.
A．
3
5
4
5
6
5
B． C．1 D．
解析：由对称性,易知PS=SR=RQ=QP，四边形PQRS是菱形，不是正 方形。如图所示，
连接PR，SQ, 四边形PQRS的面积等于PR×SQ÷2，根据正方形的对称性 及平行四边
形，AM=SQ,TM=PR。
过M做MT⊥AB于M。显然三角形ATM与三角形MBC相似，AM:TM=MB:BC
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第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A（初二组）
1：TM=(4+1):(4+1+1),所以TM=1.2
四边形PQRS的面积等于：1×1.2=0.6，所以选A。
5．若互不相等的实数a,b,c满足
a
（c+a）等于（ ）
A．1 B．2
2
C．±1 D．±2
2
2
bc
c
2
ca
2
ca
2
ab
，及
ba
，则（a+b）（b+c）
6． 一条线段AB, 绕点A逆时针连续旋转9次, 恰好旋转了一周回到原来的位置. 如果每一次旋转
α度或90-α度（其中0<α<90）, 那么α有（ ）种可能的取值.
A．4 B．6 C．8 D．10
解析：线段AB, 绕点A逆时针连续旋转9次, 恰好旋转了一周，旋转了360度。
①旋转α度9次或旋转90-α度9次，α=40；90-α=40，α=50；
②旋转α度 1次，90-α度8次或α度8次，90-α度1次，α=
360-90
7
1805
=
270
7
；90-α=
270
7
，α=< br>360
7
；
③旋转α度2次，90-α度7次或α度7次，90-α度2次， α=
④旋转α度3次，90-α度6次或α度6次，90-α度3次，α=
=36；90-α= 36，α=54；
=30；90-α=30，α=60；
90
3
⑤旋转α 度4次，90-α度5次或α度5次，90-α度4次，α=0；90-α=0，α=90；不合题意。
所以α有8种可能的取值，选C。
二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)
7．北京市实行汽车限行, 每一辆车周一到周五工作日5天内限行1天. 某公司因工作需要, 周一
到周四要用9辆车, 周五要用11辆车. 如果公司能够自行选择车辆的停驶日期, 那么该公司至少
应有_______辆车.
解析：该公司每周用车9×4+11=47次，每 辆车每周只能行驶4天，47÷4=11…3，所以那么该公司
至少应有11+1=12辆车
8．已知∠AOB的两边与∠A'O'B'的两边分别垂直, ∠ A'O'B'的4倍比∠AOB 多60度, 那么∠AOB
等于_______.
解析：两个角两条边分别垂直，有两种情况如图所示：
∠AOB与∠A'O'B'互补，或∠A'O'B'与∠AOB的补角互补。
设∠AOB=x，（180-x）×4=x+60,解得x=132度
4x-x=60，解得x=20度

9．今有2013个碗, 排成一行. 小明首先从左边开始, 在第一个碗里放入一枚硬币, 接着每隔一
个放入一枚；然后从右边开始, 在第一个碗里放入一枚硬币, 接着每隔2个放入一枚；最后再从
左边开始, 在第一个碗里放入一枚硬币, 接着每隔4个放入一枚. 那么从左向右数, 有3枚硬币
的碗, 第一个是第_______个, 最后一个是第_______个.
解析：将2013个碗从左往右依 次编号为1～2013。从左开始隔一个放一个，相当于编号为除以2余
1的碗有硬币。从左开始隔4个 放一个，相当于编号为除以5余1的碗有硬币。从右开始隔2个放一
个，相当于编号为3的倍数的碗有硬 币。有3枚硬币的碗,编号满足上述三个条件，运用中国剩余
定律可求解。[2,5]=10,10a+ 1（a是自然数）能被3整除，显然有3枚硬币的碗最小为第21个；[2，
3，5]=30，21+3 0b（b是自然数）（2013-21）÷30=66…12，有3枚硬币的碗最大为第2013-12=200 1
个。


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第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A（初二组）
10． 如图, 四边形ABCD中, ∠ABC=135°,∠BCD=120°,AB=
6
，BC=5-3
,CD=6, 那么AD等于
_______.




解：过点A、D分别做AE⊥BC，DF⊥BC，分别交CB、BC的延长线与点E、 F。 ∵
∠ABC=135°∴ ∠ABE＝45°
∵AB=
6
， 根据勾股定律，∴AE=BE =
3
，
∵∠BCD＝120°，∠DCF＝60°，∠CDF＝30°
∵DC=6 ，∴ CF= 3， DF=3
3

∴ EF= BE+BC+CF=
3
+5-
3
+3= 8
过点A做AG⊥DF，垂足为G，由题可知四边形AEFG为矩形，
∴AG=EF=8，∴ DG=3
3
-
3
=2
3

所以利用勾股定理可求A D=
8
2


23

2
219

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E
F
G