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详解第二十三届“华杯赛”初一组初赛试题

仙桃 吴乃华

一、选择题（每小题10分，共60分。以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将< br>表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）
1、在两个数的乘积中，若第一个乘数增加1， 第二个乘数减少l，则乘积增加2017，反过
求，若第—个乘数减少l，第二个乘数增加1，则乘积将 增加 ( A )
(A) －2019 (B) 2019 (C)2018 (D) －2018
【解】：设这两个乘数分别为A，B，根据题意得方程
（A＋1）（B－1）－AB＝2017
解此方程，得：A－B＝－2018
再根据第—个乘数减少l，第二个乘数增加1，将A－B的值代入，得
（A－1）（B＋1）＝AB＋A－B－1
＝AB－2018－1
＝AB－2019
所以，乘积将增加－2019.


2xa1
2已知关于x的不等式组

有100个整数解，那么a的最大值为（ C ）

73x＞2
（A）－199 （B）－198 （C）－197 （D）－196
【解】：分别解这个不等式组，得x≥
a15
，x＜，已知这个不 等式有100个整数解，由
23
a1

2
以上x的值，可知其中最小的整数解为 －98，最大的解为
a1
≤－98，
2
所以，
a＝－197

1

3 已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，D、E 分别在BC和
AC上，∠BAD＝30°，那么，∠EDC＝( A )
(A) 15° （B）30° （C）45° （D）60°
【解】：由题目条件，AB＝AC，知∠B＝∠C；
AD＝AE，知∠ADE＝∠AED，△ABC和△.ADE均为等腰三角形。
由∠ADC ＝∠ADE+∠EDC，
∠ADC ＝∠B +∠BAD （外角等于不相邻两个内角和）
∴∠ADE ＝∠B+∠BAD－∠EDC
又，依据外角定理，∠AED＝∠C+∠EDC∴∠BAD －∠EDC=∠EDC
∴∠EDC＝½∠BAD=15º

4、已知数轴上的A、B、C三点所对应的数分 别为a、b、c，且满足a＜b＜c，abc＜0和
a+b+c＝0，那么，线段AB与BC的关系是（ B )
（A）AB＝BC (B) AB＞BC (c) AB＜BC (D)不确定
【解】：我们不妨依据题中的“a＜b＜c，abc
＜0和a+b+c＝0”的 条件，采用设数法来解决。如
12
图，a＝-1，b＝，c＝，这样，
33
可知线段AB＝
41
，BC＝，
33
所以，线段AB与BC的关系是：AB＞BC

5、如图，长方形OAPB内接于一半个面积为6.25π平方厘米，
且圆心角为 90°的扇 形中，以AB为边作正方形ABCD，连接CP,DP，
若三角形PCD的面积为6.5平方厘米，则五 边形OBCDA的周长为
（ C ）厘米。
(A) 12 (B) 17 (C) 22 (D)27
【解】：由“长方形OAPB内接于一半个面积为6.25π平方厘米，且圆心角为 90°的扇形
2

1
中”，由扇形的面积

r
2
×＝6.25 知r＝5 ，即OE＝OF＝OP＝5
4
厘米，推知AB＝OP＝CD＝5厘米，也即扇形的半径＝正方形 的边
长。
由三角形PCD的面积为6.5平方厘米，知三角形PCD的高 PK
＝6.5×2÷5＝
13
（厘米）
5
1312
＝（厘米）
55
推知，PJ＝5－
AB为长方形OAPB的对角线，因此
△AB×PJ＝△BP×AP＝AO×BO＝5×
12
＝12
5
由 勾股定理知AB
2
＝BO
2
＋AO
2
＝5
2
＝25
(BO＋AO)
2
＝BO
2
＋AO
2
＋ 2×BO×AO＝25＋2×12＝49
所以，BO＋AO ＝7（厘米）
五边形OBCDA的周长为：7＋5×3＝22（厘米）

6、将三个数13，I8 ，33按照一定的顺序重新排成一列数，如：18，33，13，则称这列
数为“13，18，33”的 一个排列，设a，b，c为“13，18，33”的一个排列，则关于 x的方
程|x－a∣－b∣－c∣=18的最小正整数解为 ( D )
(A) 82 (B) 46 (C) 20 (D) 10
【解】：解此关于x的方程，可以直接得到 x＝a±b±c±18。
现求x的最小值，我们 可以用13，18，33和18用加减法去构造一个最小正整数来，这样
很容易得到：33＋13－(1 8+18) ＝10．
由此我们可以构造如下结论：||x－13∣－18∣－33∣＝18，此时即 有x＝10使等式成立。
所以，关于 x的方程∣x－a∣－b∣－c∣=18的最小正整数解为10.

3

二、填空题（每题10分，满分40分）
7、已知
x
1
，
x
2

„，
x
1
的取值只可能是1和－1，若 x
1
＋x
2
＋„＋x
100
＝4，x
1
≥x
2
≥„≥
x
100
，则x
1
＋2x
2
＋3x
3
＋ „＋100x
100
＝ －2294 。
【解】：设有x个1，（100－x）个－1.根据题意
x＋（100－x）×（－1）＝4，解得 x＝52
按x
1
≥x
2
≥„≥x
100
，则有 x
1
＝x
2
＝„＝x
52
＝1，x
53
＝x
54
＝„＝x
100
＝－1，这样
原式＝1＋2＋3＋„＋52＋[－53＋（－54）＋„＋（－100）]
＝1＋2＋3＋„＋52－（53＋54＋„＋99＋100）
＝－2294

8、甲、乙、丙 3 人共同完成一项工作，如果甲、乙、丙依次接力完成全部工作，每人单
1
干的时间都是其他两人合干完成全部工作量需时间的，那么3人依次接力与3人一开始合干
5< br>完成全部工作所用时间之比是 8比5 。
【解】：甲、乙、丙 3 人工作效率分别为a
，
b
，
c
，依据甲、乙、丙依次接力完成全部
工作， 每人单干的时间都是其他两人合干完成全部工作量需时间的15，则甲的工效为：
111111
a


；乙的工效为：
b


，丙的工效为：c
，
bc5ca5ab5
甲、乙、丙依次接力完成全部工作，则可以表示为
11 1111abc
a

b

c1
，化简得：< br>
5
，
bc5ca5ab5bccaab
3人依次 接力与3人一开始合干完成全部工作所用时间之比，可以表示为：
1111111
()
，
5bc5ca5ababc
1abcabcabc1abc8
)
＝
(3)＝ 化简得：
(
5bccaab5bccaab5
所以，3人依次 接力与3人一开始合干完成全部工作所用时间之比是8:5

4

9、在8×8的国际象棋盘上摆放写有
2018
的长方形， 每个长方形恰好盖住2个方格，如
果任意两个长方形之间没有公共边(可以有公共顶点)，那么，棋盘中 摆放的方格内所有数之和
最大值是( )。
【解】：因为国际象棋盘是8行×8列，根 据题意，任意两个长方形之间可以有公共顶点，
没有公共边，如果每行（或者每列）摆放1个长方形后， 空2个格，
那么，下一行或者后一列就可以在上行或者前列的空白处的下边或右
边摆放一个长方 形，这样，这个象棋盘可共摆放2×8＝16个长方形，
（如右图）。这样，棋盘中摆放的方格内所有数 之和最大值是：
（20＋18）×16＝608

10、在1，2，„，2020这2020个数中，最少要取出 811 个数，才能保证其中必有两
数的和为10 的倍数。
【解】：这是一道需要用到抽屉原理的问 题，解题的关键在于，一是设计好抽屉，二是解
答时要从最不利的情况出发。
在1，2，„， 2020这2020个数中，除以10的余数可以分为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十类，每
类有数：2020÷10＝202（个）
现将这十类余数分成如下的六组：（1,9）、（2,8）、（3,7）、（4,6）、（5）、（0）
要达到“最少”的要求，就要从最不利的情况出发，起先取了202×4＝808个数，都只在
前四组中每组各取了1个，后来又在后两组中各取了1个，共取了808＋2＝810（个）数，就
是没 有两数的和为10 的倍数。
如果再不论在那组中随意取一个数，必定两数的和为10 的倍数。
因此，最少要取出 810＋1＝811（个）数


5