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总分
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
初赛试题A（小学高年级组）
（时间2013年3月23日10：00～11：00）
一、选择题（每题10分，满分60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将
表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。）
1. 2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（ ）。
A．5 B．6 C．7 D．8




2. 2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说: 这是我有生以来第一次将要渡过一个没有
重复数字的年份。已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是
（ ）岁。
A．16 B．18 C．20 D．22





3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,
下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一。8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3
米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟。
A．22 B．20 C．17 D．16





4. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒, 若取出一粒黑子, 则余下的黑子数与白子数之
比为9:7, 若放回黑子, 再取出一粒白子, 则余下的黑子数与白子数之比为7:5, 那么
盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个。
A．5 B．6 C．7 D．8






1

D
M
C
5. 右图
ABCD
是平行四边形,
M
是
DC
的中点,
E
和
F
分别位于
AB
和
AD
F
上, 且
EF
平行于
BD
。若三角形
MDF
的面积 等于5平方厘米, 则三
角形
CEB
的面积等于（ ）平方厘米。
A
A．5 B．10 C．15 D．20
E B

D
M
C

F


A
E B

6. 水池A和B同为长3米, 宽2米, 深1.2米的长方体。1号阀门用来向A池注水, 18分钟可将
无水的A池注满; 2号阀门用来从A池向B池放水, 24分钟可将A池中满池水放入B池。若同
时打开1号和2号阀门, 那么当A池水深0.4米时, B池有（ ）立方米的水。
A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．7.2







二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)
7. 小明、小华、小刚三人分363张卡片, 他们决定按年龄比来分。若小明拿7张, 小华就要
拿6张；若小刚拿8张, 小明就要拿5张。最后, 小明拿了________张；小华拿了________
张；小刚拿了________张。






8. 某公司的工作人员每周都工作5天休息2天, 而公司要求每周从周一至周日, 每天都至
少有32人上班, 那么该公司至少需要________名工作人员。





9. 右图中,
AB
是圆
O
的直径, 长6厘米, 正方形
BCDE
的一个 顶点
E
在圆周上,∠ABE=45°。那
么圆
O
中非阴影部分的面积 与正方形
BCDE
中非阴影部分面积的差等于________平方厘米
（取π=3. 14

D

E
C


A
O
B
2

10. 圣诞老人有36个同样的礼物, 分别装在8个袋子中。已知8个袋子中礼物的个数至少为1
且各不相同。现要从中选出一些袋子, 将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个小朋友,
恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）。那么, 共有________种不同的选择。

















3

第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
初赛试题B（小学高年级组）
（时间2013年3月23日10：00～11：00） 一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将
表示正确 答案的英文字母写在每题的圆括号内。）
11. 一个四位数, 各位数字互不相同, 所有数字之和等于6, 并且这个数是11的倍数, 则满
足这种要求的四位数共有（ ）个。
A．6 B．7 C．8 D．9




12. 2+2×3+2×3×3+2×3×3×3+…+2×3×…×3的个位数字是（ ）。
9个3
A．2 B．8 C．4 D．6




13. 在下面的阴影三角形中，不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（ ）
中的三角形。



A． B． C． D．





14. 某日, 甲学校买了56千克水果糖, 每千克8.06元。 过了几日, 乙学校也需要买同样的
56千克水果糖, 不过正好赶上促销活动, 每千克水果糖降价0.56元, 而且只要买水果
糖都会额外赠送5% 同样的水果糖。 那么乙学校将比甲学校少花（ ）元。
A．20 B．51.36 C．31.36 D．10.36





15. 甲、乙两仓的稻谷数量一样, 爸爸, 妈妈和阳阳单独运完一仓稻谷分别需要10天, 12
4

天和15天。 爸爸妈妈同时开始分别运甲、乙两仓的稻谷, 阳阳先帮妈妈, 后帮爸爸, 结
果同时运完两仓稻谷, 那么阳阳帮妈妈运了（ ）天。
A．3 B．4 C．5 D．6







16. 如图, 将长度为9的线段
AB
分成9等份, 那么图中所有线段的长度的总和是（ ）。

A
B
A．132 B．144 C．156 D．165






二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)
17. 将乘积
0.2430.325233
化为小数, 小数点后第2013位的数字是________。




18. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,
下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一。8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3
米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为________分钟。






19. 一个水池有三个进水口和一个出水口。 同时打开出水口和其中的两个进水口, 注满整
个水池分别需要6小时、5小时和4小时;同时打开出水口和三个进水口, 注满整个水池需
要3小时。 如果同时打开三个进水口, 不打开出水口, 那么注满整个水池需要________
小时。




20. 九个同样的直角三角形卡片, 用卡片的锐角拼成一圈, 可以拼成类似右图
5


所示的平面图形。 这种三角形卡片中的两个锐角中较小的一个的度数有________种不
同的可能值。 （右图只是其中一种可能的情况）









6

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试题C（小学高年级组）
（时间: 2013 年3月23日）
一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将
表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)
21. 如果
20132013n

（其中m
与
n为互质的自然数）, 那么m+n的值是（ ）.
201420142012m
（A）1243 （B）1343 （C）4025 （D）4029



22. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以
下事情:
再加入50克含糖
率20%的糖水
.

再加入20克糖
和30克水.
再加入100克糖与水的比是
2:3的糖水.

最终,（ ）得到的糖水最甜.
（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙和丙


7

23. 已知正整数A分解质因数可以写成
A235
, 其中

、

、

是自然数. 如果
A的二分之一是完全平方数, A的三分之一是完全立方数, A的五分之一是某个自然数
的五次方, 那么






的最小值是（ ）.
（A）10 （B）17 （C）23 （D）31





24. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边
中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部
所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向
右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过
程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三
角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（ ）个三角形.
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
25. 从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（ ）个.
① 其中必有两个数互质;
② 其中必有一个数是其中另一个数的倍数;
③ 其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0


二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)
8

26. 有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4
个人至少买了_______种书.




27. 每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC
和一段下坡路 CD （如右图）. 已知AB:BC:CD = 1:2:1,
并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4.
如果小明上学与放学回家所用的时间比是
的值是 .



28. 黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且
把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上
2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后
剩下的三个数字的乘积是 .





29. 如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果
n
(其中m与n是互质的自然数)，那么m+n
m
9

DG = 5, 那么正方形ABCD面积是 .








10

第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
决赛试题A（小学高年级组）
（时间2013年4月20日10：00～11：30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
1. 计算: 19×0.125+281×
1
-12.5=________.
8




2. 农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二
九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的
元旦是________九的第________天.




3. 某些整数分别被
，，，
除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是
3579
57911
2222
，，，
, 则满足条件且大于1的最小整数是________.
3579





4. 如右图, 在边长为12厘米的正方形
ABCD
中, 以
AB
为底边作腰长为10厘米的等
腰三角形
PAB
. 则三角形
PAC
的面积等于________平方厘米.




E



5. 有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩11个; 乙班分, 每人4个还剩10个; 丙班分, 每人5
个还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个.




11

6. 两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小 积
木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木
的棱长为3, 则这个立体图形的表面积为________.





7. 设
n
是小于50的自然数, 那么使得4
n
+5和7
n
+6有大于1的公约数的所有
n
的可能值之和
为 .




8. 由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上（包括底面）所有
黑点的总数至少是________.








二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
9. 用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号, 写出四个分别等于3, 4, 5和6的算式.






10. 小明与小华同在小六(1)班, 该班学生人数介于20和30之间, 且每个人的出生日期均不
相同. 小明说: “本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”, 小华说: “本班比我大
的人数是比我小的人数的三倍”. 问这个班有多少名学生?





12

11. 小虎周末到公园划船, 九点从租船处出发, 计划不超过十一点回到租船处. 已知, 租
船处在河的中游, 河道笔直, 河水流速1.5千米小时; 船在静水中的速度是3千米小
时, 划船时, 每划船半小时, 小虎就要休息十分钟让船顺水漂流. 问: 小虎的船最远
可以离租船处多少千米?







12. 由四个相同的小正方形拼成右图. 能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个
黑点处（每处放一个, 每个数只使用一次）, 使得图中所有正方形边上所放的数之和都
相等? 若能, 请给出一个例子; 若不能, 请说明理由.









三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）
13. 用八个右图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形. 若一个拼成的正方
形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方形相同.
问: 在所有可能拼成的正方形图形中, 上下对称、第一行有两个空白小方格且空白
小方格相邻的图形有多少种?








14. 不为零的自然数n，既是2010个数字和相同的自然数之和, 也是2012个数字和相同的自
然数之和, 还是2013个数字和相同的自然数之和, 那么
n
最小是多少?


13

第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
决赛试题B（小学高年级组）
（时间2013年4月20日10：00～11：30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
15. 某些整数分别被
，，，
除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是
57911
791113
2222
，，，
, 则满足条件且大于1的最小整数是________.
57911





16. 如图所示, P, Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线 AC上的点, 且PD:AP =4:1,
QC: AQ =2:3, 如果正方形ABCD的面积为25, 那么三角形PBQ的面积是 .

G



F
E









17. 有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩10个; 乙班分, 每人4个还剩11个; 丙班分, 每人5个
还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个.






18. 甲、乙两车分别从A, B两地同时出发相向而行, 甲车每小时行40千米, 乙车每小
时行60千米. 两车分别到达B地和A地后, 立即返回. 返回时, 甲车的速度增加
二分之一, 乙车的速度不变. 已知两车两次相遇处的距离是50千米, 则A, B两
地的距离为_______千米.


14

19. 用“学”和“习”代表两个不同的数字, 四位数“
学学学学
”与“
习习习习
”的积
是一个七位数, 且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同, 那么“
学习
”
所能代表的两位数共有 个.







二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
20. 右图中, 不含“*”的长方形有多少个?






21. 如右图, 三角形ABC中, AD = 2BD, AD = EC, BC = 18, 三角形AFC
的面积和四边形DBEF的面积相等, 那么AB的长度是多少?








22. 若干人完成了植树2013棵的任务, 每人植树的棵数相同. 如果有5人不参加植树, 其余
的人每人多植2棵不能完成任务, 而每人多植3棵可以超额完成任务. 问：共有多少人参
加了植树?











15

三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）
23. 对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子, 有三种分类方法: 对于每种颜色, 将该颜
色的球数目相同的盒子归为一类. 若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的
盒子数, 那么, 1) 三种分类的类数之和是多少? 2) 说明, 可以找到三个盒子, 其中至少
有两种颜色的球, 它们的数目分别相同.







16

第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
决赛试题C（小学高年级组）
（时间2013年4月20日10：00～11：30）
24. 计算：


2

-









2

11

11


8







27

_____________.
3311115




25. 最简单分数
a1a1
满足

, 且b不超过19, 那么
ab
的最大可能值与最小可能值
b5b4
之积为________.









26. 四位数
abcd
与
cdab
的和为3333, 差为693, 那么四位数
abcd
为________.









17

27. 两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上, 构成右图所示的立体
图形, 其中, 每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等 分
点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是
____ ____.










28. 设a, b, c 分别是0～9中的数字, 它们不同时都为0也不同时都为9. 将循环小数

化
成最简分数后, 分子有________不同情况.









29. 右图中, 大正方形的周长比小正方形的周长多80 厘米, 阴影部分的面积为880平方厘米.
那么, 大正方形的面积是多少平方厘米?









30. 某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线, 录取了四分之一的考生. 所有被录取者的
成绩平均分比录取分数线高10 分, 所有没有被录取的平均分比录取分数线低26 分, 所
有考生的平均成绩是70 分. 那么录取分数线是多少?



18

31. 设n 是小于50 的自然数, 求使得3n+5 和5n+4 有大于1 的公约数的所有n.









32. 一次数学竞赛中, 参赛各队每题的得分只有0分, 3分和5分三种可能. 比赛结束
时, 有三个队的总得分之和为32分. 若任何一个队的总得分都可能达到32分, 那
么这三个队的总得分共有多少种不同的情况?








三、解答下列各题（每小题 15 分，共30 分，要求写出详细过程）
33. 在等腰直角三角形ABC 中,
A90，ABAC1
矩形EHGF 在三角形ABC内,
，
且G, H 在边BC上. 求矩形EHGF的最大面积.












19

34. 用八个右图所示的
21
的小长方形可以拼成一个
44
的正方形.若一个拼成的
正方形图形经过旋转与另一 个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方
有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴?
20
形相同. 问: