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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题参考答案（初一组）
一、填空（每题 10分, 共80分）
题号
答案
1
-2
2
17.5, 9
3
2
4
12
5
2
6
60
7
3
8
2040
二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
9. 答案：A处
解答. 设仓库离B处
x
公里 (靠C处), 则运费为：
元.
1.550(50x)15x60(120x)1095030x1
设仓库离B处x
公里 (靠A处), 则运费为：
1.550（50x）10x60(120x)109505x1
元.
因此, 应该将仓库建在A处.
10. 答案：3
解答. 如图所示, 连接EF, DF. 设
Sx
. 因为
D
为
Δ
BDFA
E
F
P
x
D
x
,
S2x
. BC的中点, 所以
S
FDCCFB
S
AF
因为
AF
, 所以
CAF
2
, 得
2BF
S
CFB
BF
x
B
C
S4x
.
CAF
因为
S
AFE
AE1
3x
.

, 所以
S
EFC
S
EFC
CE3
S
PES
EFC
CEP
PE
EFP
S
, 所以


3
.
DPS
FDC
S
DPF
S
CPD
DP
因为

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）
11. 证明. 如果结论不成立, 则这14所学校的选手数彼此互不相同. 也就是这14
所学校的选手数是彼此不同的14个正整数. 而14个彼此不同的正整数之和
最小为
,
12345678910111213141
, 得出矛盾.
105104
12. 答案：2353, 2347.
解答. 设这个四位数为
xyzw
. 首先,
x2
. 因为
0y,z,w9,

若
x1
, 则有
,
02(yzw)54,19995422
与条件不符. 另一方面x不能大于2. 于是,
xyzw
, 即有
2yzw
.
2000100y10zw42y2z2w2
得到
.
102y12z3w37
容易验证,
y1,2.

因此,
y3.

于是
,
z
12z3w69
整数解：

w
.
3,z5;w7,z4
所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.
693w
.
12
三、解答下列各题（每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程）
13. 答案：

a
;

a

2,b2,c2911,b5,c11
13,b3,c13

或者
a
解答. 因为
a|bc
, 所以
a|b
或者
a|c
. 因为 a, b, c 都是质数, 所以
ab
或者
ac
.
① 当
ab
时,
22
,
15a7aacac

第十九届华罗庚金杯少年 数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）
所以
,
157acac
(a1)(c7)22112
.
若


a111

c72
, 得


a12

c9
, 与题意不符;
若


a3
, 得

, 也与题意不符;
c18

c711


a12
若


a122

c71
, 得


a23

c8

a2

c29
, 也与题意不符.
若


a11

c722
, 得

, 与题意相符,

a
为一个答案.
2,b2,c29
②当
ac
时,
2
,
15a7abacab
2
所以
15
, 由
15
变化得到
8bab
a8abab
.
(a8)b=1×15=3×5
若


a81

b15
, 得


a9

b15
, 与题意不符;
若


a815

b1

a83
b5

a85

b3
, 得


a23

b1
, 与题意不符;
若

, 得


a11

b5

a13

b3
, 与题意相符,

a
为一个答案;
11,b5,c11
若

, 得

, 与题意相符,

a
为一个答案..
13,b3,c13
14. 答案：100
解答. 记

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）
aaa

a,

1

2

3< br>
10

aa10,

1

2
< br>
aa

aa10,
3

4

9

10

由 (2) 和 (3) 得
(1)
(2)

(3)
.
aaaa20
12310
根据 (1) 和 (2),
22 222222
aaa

a(10a)aa

a
1

2

3

1022

3
10
2222
1020a2aa

a
22310< br>2222
10(aaa

a)a2aa

a
1

2

3

102

2
3

10
2222
100(aaa)(aaa)(aaa)< br>
(aaa)
2

123

324
< br>4210102

100((aa)a)(aa)a(aa)a

(aa)a100,
2

123

23

4

24

10210
并且等号成立当且仅当乘积

(aa)a,(aa)a,,(aa)a
2123231021
都等于0.
取
,
a10,aaaa0
123410
或
,
aaaa5,aaa0
12345610
则
a
都满足 (1), (2), (3), 并且
,a,a,,a
12310
2222
aaaa10
.
12310
2222
aaa
综和上述讨论,
a
的最大值是100.
12310