好听的游戏女名字-家在远方

立体几何专题

图形的染色与切割
例1. 如图，有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀.切完第一刀后得到的两个小长方体的表
面积之和是47 2平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体的表面积之和是632平方厘米，切完
第三刀后得到的八 个小长方体的表面积之和是752平方厘米.那么原来长方体六个面中面积最小的
是________平 方厘米.


[答疑编号5]


【答案】48平方厘米
【解答】
分析：回顾在《不规则立体图形的表面积与体 积》中所总结的要点，我们应该关注切割前后表
面积的变化量。
解：注意到每切一刀增加 的面积，就是原来长方体某个面面积的2倍，并且切完三刀后表面积
就是原来长方体表面积的2倍，因此 原来长方体的表面积是752÷2＝376平方厘米.
那么原来长方体三个面的面积分别是
（472－376）÷2＝48平方厘米，
（632－472）÷2＝80平方厘米，
（752－632）÷2＝60平方厘米，
所以其中面积最小的是48平方厘米.

进一步思考：你知道这个长方体的长、宽、高了吗？

[答疑编号5]

【答案】6厘米、8厘米、10厘米
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例2.一个棱长为6cm的正方体，把它切开成49个小正方体。小正方体的大小不必都 相同，但
小正方体的棱长以厘米作单位必须是整数。问：可切出几种不同尺寸的正方体？每种正方体的个 数
各是多少？

[答疑编号5]

【答案】可切出棱长分别为1cm，2cm和3cm的正方体，其个数依次为36，9和4。
【解答】
1＝1，2＝8，3＝27，4＝64，5＝125，6＝216。
如果能切出1个棱长为5cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm的正方体，共切出小正方
体 1＋（6－5）÷1＝92（个）。
因为92＞49，所以不可能切出棱长为5cm的正方体。
如果能切出1个棱长为4cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm或2cm的正方体。设切出
棱长为1cm的正方体有
a
个，切出棱长为2cm的正方体有
b
个， 则有
33
333333

解得

，不符合题意，所以切不出棱长为4cm的正方体。
设切出棱长为1cm的正方体有
a< br>个，棱长为2cm的正方体有
b
个，棱长为3cm的正方体有
c
个，< br>则

解得一组正整数解：
a
＝36，
b
＝9，
c
＝4。
所以可切出棱长分别为1cm，2cm和3cm的正方体，其个数依次为36，9和4。

例3.如图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一
面、二面、三面被涂成红色的小立方体各有多少块？



[答疑编号5]

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【答案】8、36、52
【解答】
一个长方体有8个角、12条棱、6个面， 角上的8个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角
上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小 立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没
有涂上红色。
根据上面的分析得到：
三面涂有红色的小立方体有8块；
两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有
［（4－2）＋（5－2）＋（6－2）］×4＝36（块）；
一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有
［（4－2）×（5－2）＋（4－2）×（6－2）＋（5－2）×（6－2）］×2＝52（块）。

例4.将一个棱长为整数（单位：分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成 棱长为
1分米的小正方体.在这些小正方体中，6个面都没涂红色的有12块，仅有2面涂红色的有28 块，
仅有1面涂红色的有多少块？原来长方体的体积是多少立方分米？

[答疑编号5]

【答案】32；80
【解答】
设这个长方 体的内部是棱长为
a
、
b
、
c
（
a
≤b
≤
c
）分米的长方体，切开后各面都未涂色的小正
方体就是内部的这些 小正方体，而仅有两面涂色的小正方体就是位于原长方体棱上而非角上的那些
小正方体，于是

解得
a
＝
b
＝2，
c
＝3。
仅有一面涂色的小正方体是原长方体面上（但又不在棱上）的小正方体，数量为
2×（
a
×
b
＋
b
×
c
＋
c
×
a
）＝32
原来长方体的体积是（
a
＋2）（
b
＋2） （
c
＋2）＝80立方分米。

例5.27个1×1×1的小正方体用 胶水粘成1个3×3×3的大正方体.角上的8个小正方体由于
粘得不牢而脱落.现将脱落后剩下的物体 浸入红色的油漆中，再拿出来。分成19个原来的1×1×1
的小正方体.那么现在四面都有漆的小正方 体比两面有漆的多________个.
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[答疑编号5]

【答案】12
【解答】
分析：请你首先尽量直观的画出这个立体图形，再思考到底哪些位置的小正方体四面有漆。
解：四 面有漆的小正方体为原来大正方体棱中间的小正方体，共12个，而原来各个面中中心的
小正方体只有一 面有漆，大正方体正中心的那个小正方体没有任何一面有漆。
故本题答案为12.

例6.一个长方体的长、宽、高都是整数.先把它的表面都涂成红色，再把它切成1×1×1的小< br>正方体.已知完全没涂上色的小正方体与三面有色的小正方体的个数相同.那么长方体的体积可能是
________.

[答疑编号5]

【答案】90、72、64。
【解答】
长方体内部没有被染色的小方块构成一个小长方体，它的长、宽、高分别比原来 的长方体小2.
三面红色的小正方体一共有8个（在8个角上），所以小长方体的长、宽、高可以分别为 8、1、1
或4、2、1或2、2、2，这样大长方体的体积可能为：
（1＋2）×（1＋2）×（8＋2）＝90，
（1＋2）×（2＋2）×（4＋2）＝72，
（2＋2）×（2＋2）×（2＋2）＝64.

例7.将长、宽、高分别 为11、10、8的长方体的三个面染上红色，另一个面染上黄色，然后切
成棱长为1的单位小正方体， 那么只染了一种颜色的小正方体最多有________个.

[答疑编号5]

【答案】330个。
【解答】
长方体的表面上一共有11×10×2＋6×（11×2＋10×2－4）＝448个小正方体.
当把四个面染色之后，空白的两个面要么相对，要么相邻.以这两个面相对为例考虑.
这时表面上448个小正方体中，除了只染了一种颜色的小正方体外，还包括没有染色的（在两
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个空白面的内部）和染了红、黄两种颜色的（在红、黄面交界的两条棱上）小正方体.
当两个空白面所处位置不同时，可分别算得没有染色和染了两种颜色的小正方体个数为：
（11－2）×（10－2）×2＋8×2＝160
（11－2）×（8－2）×2＋10×2＝128
（10－2）×（8－2）×2＋11×2＝118
其中最少为118个，因此只染了一种颜色的小正方体最多有448－118＝330个.
当空白 的两个面相邻时，可同样的计算得没有染色和染了两种颜色的小正方体最少有152个，
不如上一种情况 .
综上所述，所求的小正方体最多有330个.

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