第十六届“华杯赛”深圳小学组决赛试题答案
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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题与解答（小学组）
一、填空（每题 10 分,
共 80
分）
1．
1
1
1
2
2
19
18
18
.
2 3
20
3
20
解。
20
19
20
1
2 2 18 18
19
1 1
2 3 20 3
20 19 20 20
1
1
2
1
2
3
1
2
18 1
2
19
2
3
3
4 4 4
19 19
19
20 20
1111
2
1 1
2
9 9
2
2
1 2 3 19
20
95
2.甲车从 A 出发驶向 B,往返来回；乙车从 B 同时出发驶向
A,往返来回.两车第一次相遇后，
甲车继续行驶 4 小时到达 B，乙车继续行驶 1 小时到达
A.若 A,B 两地相距 100 千米，那么
当甲车第一次到达 B 时,乙车的位置距离
A
千米。
解.设甲车车速为
v
1
，乙车车速为
v
2
.
如图，第一次相遇在
C 点，则
AC
v
1
, 而AC v , BC
4 v ,
v
2
v
1
,
BC
v
v
2 1
4v
2
1
2
所以,
当甲车第一次到达 B 时,乙车的位置
在 B 处.距离 A100 千米。
v
2
2v
1
.
3.每个铅字上刻有一个数码.如果印刷十二页书，所用的页码铅字要以下 15 个：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2。
现要印刷一本新书，从库房领出页码铅字共 2011 个，排版完成后有剩余.那么，
这本书最多有 页.最少剩余 个铅字.
解.前9 页用9个铅
字;
从第10页到99 页, 每页用2 个铅字, 前99 页共用189 个铅字.
从第100页到999 页, 每页用3 个铅字, 前k 页,100 k 999,
共用189+3( k 99) 个铅字.
189 3(k 99)
2011,
3k 2011 297 189 2119 3
706 1.
答。这本书最多 706 页. 最少剩余 1 个铅字.
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4. 一列数:8,3,1,4,.….., 从第三个开始,每个数都是最靠近它前两个数的和
的个位数.那么第 2011 个数是
解.写下这列数的前若干个数:
.
8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,
9,0,9,9,8,7,5,2,7,9,6,
5,1,6,7,3,0,3,3,6,
9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0,1,1,2,3,5,8,3,…………….
第一个数=第 61 个数,
第二个数=第 62
个数,…….60 为数的出现的周期.
2011 33 60 31,
第
31 个数是 2.所以第 2011 个数 是 2.
5.编号从 1 到 50 的 50
个球排成一行,现在按照如下方法涂色:1)涂 2 个球；
２）被涂色的２个球的编号之差大于
2。如果一种涂法被涂色的两个球与另一种涂
法
被涂色的两个球至少有一个是不同号的,这两种涂法就称为”不同的”.那么不同
的涂色方法共有
种.
解.设被涂色的球中的小号码为k, 1 k 50 3
47,
则另一个被涂色的球的号码可能是k+3, ,50.
一共有50 ( k 2) 48
k种不同涂法.k可以取值1,2, ,47.那么总共有
(48-1)+(48-2)+(48-3)+ +(48-47)=1+2+
+47=24 47=1138种.
1128
6.
A，B 两地相距 100 千米。甲车从 A 到 B 要走 m 个小时，乙车从 A 到 B 要走 n
个小时，m,n 是整数.现在甲车从 A,乙车从 B 同时出发，相向而行，经过 5 小时
在途中 C 点相遇。若甲车已经走过路程的一半，那么 C 到 A 路程是 千米。
解。
1
1
1
。
100
5.
则
100
100
m
n 5
m
n
令m 5 p, n 5 q.我们有
1
1
1
,5(5 p
5 q) (5 p)(5 q),
5 p
5 q
5
50 5( p q ) 25 5(
p q ) pq , pq 25.
1) p 5, q 5, m
10, AC 5
1
AB
6
AB.不满足要求.
1550011
3) p 1, q
25, m 6, AC 5
6
AB
6
AB
83 千米
632
AB.满足要求.
2) p 25, q
1, m 30, AC 5
30
AB
1
10
1
1
AB;不满足要求.
2
7. 自然数
b
与
175
的最大公约数记为
d
.
如果
176
(b
11
d
1)
5
d
1
，
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则
b
=
.
解：由于d (175, b) ，
d
必为 175 的约数，而
175=5×5×7，所以
d
只能取 1，5，7，
25，35，175.
另外由 176 (b 11 d 1) 5 d 1 可知
b
11d
1
为非 0 自
然数， 即
b 11d 1 1
，因此
5d 1
176 d 35.
所以
d =
35
或
175. (6
分)
以
d
=35 代入176 (b 11 d 1) 5 d
1，得
b
= 385.（8 分）
以
d
=175 代入176 (b 11 d 1) 5 d 1，得
176 (b 11 175 1) 5 175 1 876
，即 44 (b 11 175 1) 219，左边是偶
数，右边是奇数，矛盾！所以
d
=175
不合要求.
所以
b
= 385.（10 分）
8.
如右图. ABCD 为平行四边形.AE=2EB. 若三角形 CEF 的面积=1 平方厘米.那
么，平行四边形 ABCD 的面积=
平方厘米 .
解.设平行四边形 ABCD 的面积=x 平方厘米.
S
x
S,SS1, S
x
ACE
ADE ADF CEF AEF
则
又
S
AEF CEF
x
,
1;
S
S
ADF
2
DCF
x
1=
1
,(
x
1)(
x
1)=1,(x
3)(x 2)=6, x 5.
即
3
x
3
2
2
1
DCF ADC
ADF
3
S
S
SS
3
1,
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9．三位数的十位数字与个位数字的和等于百位数字的数,称为”好数 ”.问:共有
多少个好数？
解.按百位数分类计数:
百位数=1,十位数=0,1.共 2
个;
百位数=2,十位数=0,1.2,共 3 个;
百位数=3,十位数=0,1.2,3,共 4 个;
……………………………………….
百位数=k,十位数=0,…,k..共 k+1 个;0
所以共有 2+3+………+10=54 个.(10 分)
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1
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10．在下列 2n
个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中任意两个数的
比都不是 2 或
2
?
3, 3 2, 3
2
2
, 3 2
3
, 3 2
4
, 3
2
5
,
, 3 2
2n1
.
解。最多可以选出 n 个,如
3, 3
2
,
3
2
,
24
, 32 .
(4
分)
2n2
2
1
3, 2
2
3, 2
3
3,,
2
n1
3,
如果选出的多于 n
个，那么就可以从中挑出 n+1 个如下：
llll
123
l
l l l
n1
则
2 n 1
l
n
1
l
1
(l
n
1
l
n
) (l
n
l
n
1
)
(l
2
l
1
)22
22n.
n个
不可能.(10分)
11 .
一个四位数
abcd
和它的反序数
dcba
都是
65
的倍数，求这个数。
解.1000a 100b 10c
d 1000d 100c 10b a 0(mod 65).
1001(a d ) 110(b c) 0(mod 65).
7
11 13(a d ) 2 5 11(b c) 0(mod 65). 65
13 5.
a d 5,10,15; b c 0,13.(4分)
另一方面,
1000a 100b 10c d (1000d
100c 10b a)
999(a d ) 90(b c)
0(mod 65).
a d 0,5; 或d a 5.
由于a
d 和a d 有相同的奇偶性, a d 5.
若b c 13,则
1000a 100b 10c d
5000 100b
10(13 b ) 5 5005 90b 130 65 79 65b
25b 25b
0(mod 65), 25b 0(mod13), b
0,c 13,不可能(c是数码).
b c b c 0,1000a
100b 10c d 5005.(10分)
12. 用写有+1
和-1
的长方块放在
10 n
方格
中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，
n
的最小值是多少？
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解。每一列，每一行的-1
的个数都是偶数个，
所以，整个方格中的-1 的个数是偶数个。而-1
的个数就是长方块的个数。所以可以设有 2
m
个
长方块。每个长方块占 2 个格.
当长方块放满的时候，
10n 4 m
, 5n 2 m,
n 2 k , m 5k , k 1, 2,
3, 最小的n 2.但是,
若n 2, m 5.长方块不能水平
放置,
竖直放置5个长方块,每一列恰好5个
-1.不可能满足要求的情况.
n 4, m 10
如图。每个长方块都是水平放置+1,
在左边,-1 在右边即可.
三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 十五个盒子，每个盒子装一个白球或一个黑球.，且白球不多于 12 个.你可以任选三个盒子来提问：“这三个盒子中的球是否有白球？”并得到真实的回答.
那么你最少要问
多少次，就能找出一个或更多的 白球？
解 . 将 所 有 的 盒 子 编
号 ： 1 ， 2 ， 3,…..,15.
91
编号是1号
m,号和 n号三盒子提一次问
, 2 m n, 共1提5问,
如果
=
回
9
1 . 2
答全是“有”，则 1
号盒子中的球是白的，这是因为 2~15 号中 2 个盒子是黑球，
如果 1 号是黑球，它们与
1 号盒子的组合得提问的回答一定是“无”.如果 91 个回
答中有答“无”的，那么 1
号球是黑的.91 个回答中，凡是答“无”的三个盒子（包
括 1
号）全拿走，余下的盒子中的球就全是白的.
下面证明少于 91 次不一定能找出白球. 若 1
号盒子装的是黑球，少于 91
次，就有第 k( >1)和第 m(>1)号盒子没能与 1
号盒子组合在一起提问，如果除了
这三个盒子外，其他 12
个盒子中的球都是白的，得到的回答全是“有”，而说
1 号是白的就错了.
1 41
3
如 下 提 问
次 ：
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14. 求与 2001 互质，且小于 2001
的所有自然数的和。
解.若(a ,2001)=1,则（2001-
a,2001)=1.即小于2001与2001互质的自然数成对出现。而
a 2001 a 2001.所以，小于2001且与2001互质的自然数的和=
与2001互质的自然数的个数 2001.
1
2
小于2001且
2001 3 23 29.
与2001有公约数3的数且不大于2001 的数个数=[
3
2001
2001
2001
]=667;
与2001有公约数23的数且不大于2001 的数个数=[
与2001有公约数29的数且不大于2001 的数个数=[
23
29
]=87;
]=69;
2001
与2001有公约数3 29 的数且不大于2001 的数个数=[
3
29
]=23;
2001
与2001有公约数3
23的数且不大于2001的数个数=[
323
]=29;
2001
与2001有公约数23 29的数且不大于2001的数个数=[
]=3.
与2001有公约数3 23 29的数且不大于2001的数个数=[
]=1.
3 23 29
与2001互质且小于2001的数个数=2001 667 87 69 23
29 3 1 1232.
2001
1232
2001
与2001互质且小于2001的数的和= =1232616。
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