反馈表-四国军旗布局

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案(小学高年级组)
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A参考答案
（小学高年级组）
一、填空题（每题 10 分, 共80分）
题号
答案
1
25
2
2, 3
3
316
4
12
5
62
6
74
7
94
8
54
二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）
9.
解答. 例如
(444)43
,
4(44)44
,
(444)45
,
(44)446
.
10. 答案：25
解答. 设比小明小的学生为
x
人, 比小华小的学生为
y
人. 因为比小明大的学生为
2x
人,
所以全班学生共
N3x1
人; 又因为比小华大的学生为
3y
人, 所以全班学生共
N4y1
人. 这样,
N1
既是3的倍数, 又是4的倍数, 因此
N1
是
3412
的倍数.
这个班学生人数大于20而小于30, 所以
N1
只可能是24. 因此这个班共有学生
N24125
人.
11. 答案：1.375
解答. 小虎划船的全部时间为120分钟, 他每划行30分钟, 休息10分钟, 周期为40分
钟, 所以一共可分为3个30分钟划行时间段, 有3个10分钟休息 划船时, 顺水的船速与
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案(小学高年级组)
逆水的船速之比为4.5:1.5=3:1. 因为小虎要把船划到离租船处尽可能远, 他在划船的过程
中只能换一次划船的方向, 而且是在尽可能远处. 分两种情况讨论.
1)
开始向下游划船
,
设最远离租船处
x
千米
.
因为回到租船处是逆水
,
所以小虎只有
110
分钟可用
.
由于划船时顺流速度是逆流速度的
3
倍
,
所以用在向下游划船的时间不能超过
1
半小时
.
另外两次休息时间只能用在返程
,
在休息期间内船向下游漂流了
1.5
,
所以

3
1

x4.5

x1.5

1.51.5
.
3

整理上式得
x3x1.56.75
,
4x5.25
,
x1.3125
(千米).
2)
开始向上游划
,
设最远离租船处
y
千米
.
小虎可用
120
分钟
,
有两次休息时间用在向上
游
.
所以

11
 

y1.5

1.5

y1.5

4.51.5
.
36

整理上式得
5
4y1.56.75
,
4y5.5
,
y1.375
(千米).
6
综合1) 和2) 的讨论, 小虎的船最多离租船处1.375千米.
12. 答案：不能
解答. 设放的最小自然数为
a
, 则放的最大自然数为
a23
. 于是这24个数的和为：
A12(2a23).

假设可能, 设每个正方形边上的数之和为
S
. 因为共有
5
个正方形, 这些和的和为
5S
.因为每个数在这些和中出现两次, 所以有：
5S2A.

记最小的16个数的和为
B
, 则
B8(2a15)
. 下面分两种情形讨论:
(1) 若
BS
, 则
S
224
A(2a23)8(2a15)
,
9.8a110.416a120
,
55
不存在自然数
a
使得不等式成立.
(2) 情形
BS
也是不可能的, 因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数使得
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案(小学高年级组)
这16个数的和等于
S
.
三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）
13. 答案：5
解答. 用右图代替题目中的
21
小长方形. 因为题目所给的小长方形上下不对称, 所以
同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中, 不会既在上半部分也在下半部分. 这样,
就可以只考虑上半部分的不同情形.
1) 相邻的空白格在第一行最左边或最右边. 因为要排除旋转相同的, 所以只考虑相
邻空白格在最右边的情况, 有下图所示的2种图形,

2) 相邻的空白格在第一行中间. 去掉旋转重合的, 有下图所示的3种图形,

所有不同的图形为 5 种.
14. 答案：6036
解答. 令
na
1
a
2
a
201

0
b
1
b
2
b
201

2c
1
c
2
c
201
,
3
其中, 所有的
a
i
数字和相同, 所有的
b
j
数字和相同, 所有的
c
k
数字和相同. 两个自然数数
字的和相同, 则它们除以9的余数相同, 即
a
i
9u
i
r,i1,2,,2010
,
b
j
9v
j
s,j1,2,,2012
,
c
k
9w
k
t,k1,2,,2013
.
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案(小学高年级组)
则
n9(u
1
u
2


u
2010
)2010r
9(v
1
v
2


v
2012
)2012s
(1)
9(w
1
w
2


w
2 013
)2013t,
由上面的等式可得,
9(u
1
u< br>2


u
2010
223r)3r9(v
1
v
2


v
2012
223s)5 s
, (2)
9(w
1
w
2

< br>w
2013
223t)6t9(v
1
v
2< br>

v
2012
223s)5s
, (3)
由 (2) 可以得出s是3的倍数, 只能是 0, 3或6. 下面三种情况讨论:
1)
s0
. 此时, 对
j1,2,,2012
, 因为
b
j
9v
j
的数字和不为零, 所以
v
j
1
. 则
n9(v
1
v
2
v
2012
)9201218108
.
2)
s6
. 此时
n9(v
1
v
2
v2012
)2012612072
.
3)
s3
, 此时
n9(v
1
v
2
v
2012
)2 01236036
.
可以取
r2,t1
. 而
603 633

322

21111



11


2012个x个y个
1010



101

1

1.


m个
n个

下面计算x, y 与m, n,
,

xy2010


,

2x11y6036
解得x1786,
y224
, m447, n1566.
,

mn2013



10mn603,6
即
6036217861122410447156632012
.
最终, 满足条件的最小自然数是6036.
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