musclegirl-天亮了歌词

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题参考答案
（初一组）
一、填空题（每小题 10 分, 共80分）
题号
答案
1
2016
2
25:1
3
6
4
12200
5
30
6
15
7
1

8
288
二、解答下列各题（每小题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）
9.
【答案】
135
,
45

【解答】在恰有三条边相等的四边形中, 三条相等的边相邻, 不妨设为
ABBCAD
. 若直角顶点引出的对角线恰好把四边形分成两个等腰三角形,
则有两种情况.

图9-1 图9-2

（1） 如图9-1所示, 直角顶点A引出的对角线AC分成的两个等腰三角形中,
ABBC
,
ADAC
.
在等腰三角形ABC中, 因为
ABBCAC
, 所以三角形ABC为等边三角形. 进
而
BCACAB60
,
DAC30
.
在等腰三角形
ACD
中,
- 1 -

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)
ACD
1

180DAC

75
,
2
所以
BCD135
.
（2） 如图9-2所示, 直角顶点A引出的对角线AC分成的两个等腰三角形中,
ABBC
,
ACCD
.
取AD的中点E, 连接CE, 则
CEAD
. 所以
ABCE
.
过B作
BFCE
于F, 则四边形ABFE为矩形. 所以
BF
11
ADBC
.
22
在直角三角形BCF中, 因为
BC2BF
, 所以
BCE30
. 因为
ABBC
, 所以
BCAACE
. 得
BCAACE15
. 最终,
BCD45
.
10.
【答案】
1260


【解答】按照题目的设定, 第一次转
45
, 从第二次开始, 每次转动比上一次多转
45
, 所以从第1次到第
k
次共转了
1
k(k1)45
.
2
要想保证每个人都拿到自己的名片, 则需要每个人至少与桌子上的卡片位置对
上一 次．从某个人名片开始顺时针记每张名片对应的椅子位置为第0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7号. 第
k
次转动后, 0位置的名片对应的椅子位置的号数为
1
k(k1)45
1
2
k(k1)

452
除以8的余数．
k 1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
6
21
7
28
8
36
9
45
1
k(k1)

2
1
k(k1)

2
除以8的余数
1 3 6 2 7 5 4 4 5
可以看出, 前7次旋转, 第0号名片所处的位置各不相同, 并且都不在0卡片的
起始位置, 因此由抽屉原则, 0卡片的主人一定可以拿到自己的卡片．由对称性,
- 2 -

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)
旋转七次, 所有的人都拿到了卡片．
当旋转次数小于7时, 第
0
号名片在第4号位置上没有停留过, 如果第
0
号
的名片上的人正好坐在第4号位置上, 则这个人就拿不到自己的名片．
所以旋转的度数为
28451260
．
11.
【答案】
54
【解答】如右图将重叠部分标上字母, 连接AC. 由于
AD12
,
CD871
, 所以
ACD
的面积
6
,
AC
2
12
2
1
2
145
.
又
AB8
, 所以
BC
2
AC
2
 8
2
1456481
,
BC9
.
因此
1
ABC
的面积
8936
.
2
所以
四边形ABCD的面积
63642
.
因此
阴影部分面积
8124254
.
12.
【证明】首先，有

311
n
3
n
2
n1 (2n
3
3n
2
n)1
222
11
n(2 n
2
3n1)1n

2n(n1)n1

 1

22
1
n(n1)(2n1)1.
2
因为
n(n1)
是偶数, 所以
n
3

3
2
1
nn1
是整数. 又
22
12n(2n1)(2n2)2n(2n1)(2n2)
n(n1 )(2n1)1132
,
288
- 3 -

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)
而
2n(2n1)(2n2)
是三个相继的整数的乘积, 是3的倍数, 是3和8的公倍数.
所以,
n
3

3
2
1
nn1
被3除余2.
22
三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）

13.
【答案】
40
【解答】设正方形
ABCD
的面积是
a,
连接
EF,
见右图
,
则

三角形BCF的面积

三角形DF C的面积

三角形BEF的面积

a1a

,
4212
a
,
6
a
,
6
a
.
12
a
,
4
三角形ECF的面积

三角形BED 的面积

三角形FED面积

三角形BED的面积

三角形 BEF的面积

由共边定理,
a
ECF的面积DFC的面积CF
,

4
,

EGF的面积DFG的面积GF
a
2
2
12
得 到:
a40
.
14.
【答案】
125, 4
【解答】设原来有N人, 原来的队伍从左到右编号, 1, 2,

, N, 则第一次报1的
有
N2
1
人, 他们的编号是,
3
3k1,k0,1,2,,
N2
1
;
3
a
6
第二次报1的有
N1
1
人, 他们的编号是
m
ml1,l0,1,2,,
- 4 -
N1
1
.
m

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)
两次都报1的人满足条件:
3k1ml1
.

N1

因为
(3,m)1
, 所以
l3t
,
t0,1,2,,

. 两次都报1的人的编号是


3m


N1

,
3m t1,t0,1,2,,

3m


N1
< br>共计有

1
人．


3m

首先让第一次报1的人出列, 出列
有
N2
1
人, 留下的人成2人相邻一组共
3
N2
组和最右边一个一人组; 让第二次报1而第一次不报1的人出列, 出来
3
N1N1

N1

N1

(人).
1

1

m3mm3m

另一方面, 第二次出列的除了最右边一人外, 都是由一部分第一次留下的二人组
中出来一人, 所以, 最后留下的一人组数就是第二次出列的人数减1, 即
N1

N1



1
.

m3m

由题设得
N1

N1



120
. ①

m

3m

N2
N1

N1



个二人组中有个组在第二次每组出列一

3
m

3m

第一次留下的
人变成了一人组, 所以留下二人组的个数
N2
2021
,
3
即
N125
.
代入①得
- 5 -

所以
因为
所以
所以
m4
.
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)
124

124

m



3m


 21
.
124
m

124
3m


124


3m



2483m



124


3m


21
.
20
248
3m
21
,
3.9m4.134
.
- 6 -