第20届华杯赛小中组答案详解a卷
浪之歌-象棋入门教程
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛 A 卷（小学中年级组）
总分：
100
分
时间：60 分钟
一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个
1. 森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子和大象中的两个动物去参加．如果派狮子去，那么也要派老虎去；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加
的话，大象可不愿
意去．那么，最后能去参加比赛的是（ ）．
（A）狮子、老虎
（B）老虎、豹子 （C）狮子、豹子 （D）老虎、大象
【答案】B
【题型】逻辑推理、逆否命题
【解析】在逻辑推理中，原命题成立，则逆否命题也成立．
从题意出发：
（1）狮子去则老虎去，逆否命题：老虎不去则狮子也不去
（2）不派豹子则不派老虎，逆否命题：派
老虎则要派豹子
（3）派豹子则大象不愿意去，逆否命题：大象去则不能派豹子
从（2）出发可
以看出答案为 B.
题目要求有两个动物去，可以使用假设法，若狮子去，则老虎去，老虎去则豹子也
去．三个动物
去，矛盾，所以狮子不去．若豹子不去则老虎不去，那么只有大象去，矛盾，所以豹子去．
豹子去
则大象不去，由两种动物去得到结论，老虎要去．所以答案是 B，豹子和老虎去．
是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
2.
小明有多张面额为 1 元、2 元和 5 元的人民币, 他想用其中不多于 10
张的人民币购
买一只价格为 18 元的风筝,
要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有
（ ）种.
（A）3
（B）9
（C）11
（D）8
【答案】C
【题型】奇数：列表枚举
【解析】
5 元
2 元
3 0
3 1
2 4
2 3
2 2
1 元
总张数
3
1
0
2
4
6
5
6
7
8
1
2
2
1
1
1
0
共 11
种．
1
0
6
5
4
8
6
8
1
3
5
2
9
10
8
9
10
10
3. 如右图，在由1 1 的正方形组成的网格中,
有 2015
四个数字（阴影部分）．其边线要
是水平或竖直的直线段、要么是连接
11
正方形相邻两边中点的线段，或者是
1 1
正方形的对角线. 则图中 2015
四个数字
（阴影部分）的面积是（ ）．
（A）47
写
么
的
的
1
（B） 47
2
（C）48
1
（D） 48
2
【答案】B
【题型】几何：割补
【解析】
将小三角形移到空白处补成完整正方形再数正方形个数即可，共
47.5
个．
4. 新生入校后，合唱队、田径队和舞蹈队共招收学员 100
人．如果合唱队招收的人数
a = 18
，所以舞蹈队员
18 2 + 10 = 46
人．
5.
比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多 10 人，那么舞蹈队招收（
）人．（注：每人
限加入一个队）
（A）30
（B）42
（C）46
（D）52
【答案】C
【题型】几何：割补
【解析】设田径队员为a 人，则合唱队员
2a
人，舞蹈队员
(
2
a
+10
)
人，
2a
+
a
+
2
a
+
10
=
100
，则
一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66
分．那么，这只旧钟的
24 小时比标准时间的 24 小时（
）．
（A）快 12 分
【答案】D
（B）快 6 分
（C）慢
6 分
（D）慢 12 分
【题型】时钟问题
【解析】时针速度为每分钟 0.5 度，分针速度为每分钟 6 度.分钟每比时针多跑一圈，即多跑
360 度，
360
720
时针分针重合一次.经过
6
−
0.5
2
11
分钟，旧钟时针分针重合一次，需要经过标准时间
66
分钟；则
(24 60)
661452
分钟，所以比标准时间 24 小时对应的
旧钟的 24
小时，相当于标准时间的
720
11
24 60 1440
分钟多了
1452-1440=12
分钟，即慢了
12
分钟
6.
一次考试共有 6
道选择题，评分规则如下：每人先给 6 分，答对一题加 4 分，答错
一题减 1 分，不答得
0 分．现有 51 名同学参加考试，那么, 至少有（
）人得分
相同．
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
【答案】A
【题型】组合：抽屉原理
【解析】设答对
x
题，答错
题，
x
y
≤
6
；
当
x 6
时，得分
30
分；
当
x 5
时，
y
0,1
，对应得分26, 25
；
当
x 4
时，
y
0,1, 2
，对应得分22, 21, 20
；
当
x 3
时，
y
0,1,2,3
，对应得分18,17,16,15
；
当
x 2
时，
y
0,1, 2,3,4
，对应得分14,13,12,11,10
；
当
x 1
时，
y
0,1,2,3,4,5
，对应得分10,9,8, 7, 6,5
；
当
x 0
时，
y
0,1,2,3,4,5,6
，对应得分6,5, 4,3,
2,1, 0
；
y
共计
25 种得分，
51
25
2
⋅ ⋅ ⋅1
，则至少
2
1
3
人得分相同．
二、填空题
(每小题 10 分, 共 40 分)
7. 计算:
(1000 15 314) (201 360
110) (1000 − 201 − 360 − 110) (15 314)
________．
【题型】计算：换元法
【答案】1000000
【解析】令a 15 314, b 201
360 110 ；则
1000 15 314
201 360 110
1000 − 201 − 360 − 110
15 314
=
1000
a
b
1000 − b
a
1000 a ab 1000b − ab
1000
a b
1000
15 314 201 360 110
1000000
8.
角可以用它的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示,
图的
∠AOB
符号（“∠”表示角），也可以用
∠O
表示（顶
如右
点处
3
只有一个角时）．下图的三角形 ABC 中，
∠BAO
∠CAO
，
∠CBO
∠ABO
，
∠ACO ∠BCO
，
∠AOC 110
，则
∠CBO
________
．
【答案】
20
【题型】几何：角度
2
∠CAO ∠ ACO ∠ CBO
180
，解得
∠CBO 20
．
【解析】由题意得， ∠
CAO ∠ ACO ∠ AOC 180
9.
张叔叔和李叔叔两人年龄和是 56 岁，当张叔叔是李叔叔现在年龄的一半时，李叔
叔当时的年龄是张
叔叔现在的年龄．那么张叔叔现在有
________
岁．
∠ AOC
110
【答案】24
【题型】应用题：年龄问题
【解析】设张叔叔现在
x
岁，张叔叔减少
岁后是李叔叔年龄的一半，则李叔叔现在年龄为
2
x − y
y
岁，张叔叔是李叔叔现在年龄的一半时李叔叔为2
x − y
− y 岁，则
x 2
x 2
x − y
56
y 8
，即张叔叔现在 24 岁．
x − y
− y
，解得
x 24
此题亦可运用线段图的解法，同学们可以自己思考！
10. 妈妈决定假期带小花驾车去
10 个城市旅游，小花查完地图后惊奇地发现：这 10 个
城市的任意三个城市之间或者都开通了高
速公路，或者只有两个城市间没有开通高
速路．那么这 10 个城市间至少开通了
_____
___
条高速公路．（注：两个城市间最多
只有一条高速公路）
【答案】40
【题型】组合：最值构造
【解析】 (1)
将 10 个城市设为
A
1
,
A
2
,
⋅ ⋅ ⋅,
A
10
这 10
个点，两个城市间的高速路视为连接两个点的线
段，则任意三点间至少连接两条线段．
2
(2)先将 10
个点两量相连，共
C
10
45
条线段（中年级不会组合公式的同学可以想想怎么
4
得出 45 条线段）．
(3)现在考虑最多能去掉多少条线段?
先任意去掉一条，不妨记为 A
1
A
2
这一条，则线段
A
1
A
i
或 A
2
A（
j
i
3, 4, ⋅ ⋅ ⋅,10; j 3, 4, ⋅ ⋅ ⋅,10 ）
均不能去掉，否则
A
1
, A
2
, A
i
或 A
1
, A
2
, A
j
三个点中只有一条线段．即只能在
A
3
, A
4
, ⋅ ⋅ ⋅, A
10
这 8 个
点的连线中去掉一条，记为 A
3
A
4
；同理可再去掉 A
5
A
6
, A
7
A
8
, A
9
A
10
，故最多可去掉 5 条线段.
5
(4)因此至少连接45 − 5=40 条线段，即至少开通了 40
条高速公路．