第20届华杯赛小高组答案详解
为什么要上大学-wps2006
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛 A 卷解析（小学高年级组）
总分：100 分
时间：60 分钟
一、选择题．（每小题 10 分，共 60
分．以下每题的四个选项中，仅有一个
是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1.
现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：
如果甲去，那么乙
也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去参加活动的
两个人是（
）．
（A）甲、乙
（B
）乙、丙
（C）甲、丙
（D ）乙、丁
【答案】B
【题型】逻辑推理、逆否命题
【解析】在逻辑推理中，原命题成立，则逆否命题也
成立．
（1）甲去则乙去，逆否命题： 乙不去则甲也不去
（2）丙不去则乙不
去，逆否命题：乙去则丙去
（3）丙去则丁不愿意去，逆否命题：丁去则丙不
去从（2）出发可
以看出答案为 B.
题目要求有两个人去，可以使用假设法，若甲去，则乙去，
乙去则丙也去．三个人去，矛盾，所以
甲不去．若丙不去则乙不去，那么只有丁去，矛盾，所以丙去．丙
去则丁不去，由两个人去得到结
论，乙 要去．所以答 案是 B，丙和乙去．
2.
以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（
）个．
（A）5
（B ）2
（C）4
（D ）3
【答案】C
【题型】最值、构造
【解析】4
个点，最多可以构造
C
4
4
个三角形．
3
如图所示，共有图中四个三角形均为钝角三角形．
3. 桌上有编号 1 至 20 的 20 张卡片，小明每次取出 2
张卡片，要求一张卡片的编号是
另一张卡片的 2 倍多 2，则小明最多取出（
片．
1
（A）12
（B）14
（C）16
（D）18
【答案】A
【题型】倍数、枚举
【解析】由于有
2 倍多 2 的关系，所以 1、4、10 只能取其中两个，2、6、14
只能取其中两个，3、
8、18 只能取其中两个．即这里至少有 3 个数取不到，而
11、13、15、17、19 不满足 2 倍多 2 的关
系，也无法取到．合计至少有 8
个数取不到，取 12 个数为最多的情况.列举最多的一种情况：1、
4；2、6；3、8；5，12
；7，16；9，20.取到了最多的 12 个数的情况．
4. 足球友谊比赛的票价是
50 元，赛前一小时还有余票，于是决定降价．结果售出的
票增加了三分之一，而票房收入增加了四分
之一，那么每张票售价降了（ ）元．
25 50
（A）10 （B） （C）
（D）25
2 3
【答案】B
【题型】方程
【解析】设共有 x 张票，赛前一小时的余票降价 y 元.
由题意得：
1125
(x 50) [x (50 − y)], y
432
5. 66 分．那么，这只旧钟的
一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间
）．
24
小时比标准时间的 24 小时（
（A）快 12
分
【答案】D
（B）快 6 分
（C）慢 6 分
（D）慢 12 分
【题型】时钟问题
【解析】时针速度为每分钟
0.5 度，分针速度为每分钟 6 度.分钟每比时针多跑一圈，即多跑 360 度，
360
720
时针分针重合一次.经过
6
−
0.5
11
分钟，旧钟时针分针重合一次，需要经过标准时间
66
分钟；则
(2460)
66 1452
720
分钟，所以比标准时间
24
小时对应的
11
旧钟的 24 小时，相当于标准时间的
24 60 1440
分钟多了
1452-1440=12
分钟，即慢了
12
分钟
6.6 方格内, 每个方格中只能填
在右图的
6×
A, B , C , D , E , F 中的某个字母，要求每行、每列、每个
有粗线的 2×3 长方形的六个字母均不能重复．那么，第
行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左
右的顺序是（ ）．
（ ）E, C, D, F （ ）E, D , C , F
（ ）
A B C
标
四
到
2
D , F,C,
E
（D）
D
,
C,
F
,
E
【答案】C
【考察知识点】数阵图：数独
【分析】每行每列每个
3*2 的粗线方格均必有 A、B、 C、D、E、F
各一个，选择一个合适的位置，
尝试即可快速得出答案。以下提供一种解法：
如图所示，第一列和第二行已经有
A，所以左上角 3*2 粗线方格的 A 只能填在第二列；因为第一
列和第二列已经有
A，所以左下角 3*2 粗线方格的 A 只能 填在第三列；因为第五列和第四行已经
有
A，所以右中位置的 3*2 粗线方格的 A 只能填在第四列；因为第五行和第五列已经有
A，所以
右下角 3*2 粗线方格的 A 只能填在第六列；以此类推，可以填出所以的数.
3
二、填空题 (每小题 10 分，共 40 分)
7. 计算: 481
【答案】
600
8
1
6
265
12
1
904
20
− 184
30
1294155
− 160
42
− 703
56
=________．
3
【解析】
【题型】凑整、分数裂项
481 265 904
−184 −160 − 703
1
6
12
20
− (1−
30
) − (1−
42
)
− (1−
56
)
11111
111111
61220304256
)
1
600
(
2
−
3
) (
3
−
4
)
(
4
−
5
) (
5
−
6
) (
6
−
7
) (
7
−
8
)
11
600
2
−
8
3
600
8
(481 265 904 −184 −160 −
703 −1−1− 1) (
8.
过正三角形
ABC
内一点
P
，向三边作垂线，垂足依次为
D
, E , F
,连接
AP , BP ,
CP
．如果正三角形
ABC
的面积是
2028
平方厘米，三角形
PAD
和三角形
PBE
的面
积都是
192 平方厘米，则三角形
PCF
的面积为________平方厘米．
【答案】630
【题型】几何：一半模型
【解析】
A
F
A
F
①②
D
③
B
D
P
C
B
⑪⑫
P
⑩
⑨ ⑧⑦
⑤
⑥
C
④
4
E
E
过点
P
作
AB
,
AC
,
BC
的平行线，则
S
1
=
S
2
，
S
3
=
S
4
，
S
5
=
S
6
，
S
7
=
S
8
，
S
9
=
S
10
，
S
11
=
S
12
；
11
所以S
阴影
= S
白
=
2
S
△
ABC
=
2
2028 =
1014cm
2
，则
S
△
PCF
=
1014
−
192
2
=
630cm
2
9.
自然数 2015 最多可以表示成________个连续奇数的和．
【答案】31
【题型】计算
【解析】
点评：牢记天下无双，个数平方！指从 1 开始的连续奇数的和，等于奇数个数的平方，
即：1 + 3 + 5 +
+
(
2 n −
1
)
= n
2
．
2015 能表示成连续奇数的和，
2 2
= n − m
则2015 = 1 + 3 + 5 +
+
(
2 n − 1
)
− 1 + 3 + 5 +
+
(
2 m − 1
)
所以能写成n − m 个连续奇数的和，
2015
=
5
13
31
=
(
n
+
m
)(
n
−
m
)
，
把 2015 表示成
2015
=
65
31
时，n − m
最大为 31，所以最多能写成 31 个连续奇数的和．
10. 由单位正方形拼成的
15×15 网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，
则边长大于 5
的正方形有________个．
【答案】393
【题型】计数：几何计数
【解析】
点评：在格点中寻找正方形一定要想方向可能会
有正着的的斜着的，此题只要求找边长为整数的
正方形，还不算特别恶心．
（1）正着的：
最小为
6 6
的正方形，如图，共
10 10
个；依次
7 7
的有
9 9
个……
所以正着的正方形共10
2
+ 9
2
+ 8
2
+
（2）斜着的：要求边长为整数，所以可以从特殊勾股数进行尝试
10
8
6
10 11 21
+ 1 =
= 385 个．
6
2
5
可寻找到如图边长为 10 的正方形，共 4
个（可往右方和下方平移）构造弦图，大正方形的边长
是
14，每一个边长为 14
的正方形内可以构成 2 个边长为 10 的正方形。
综上，可找到
385 + 4 ×
2 = 393
个边长大于
5
的正方形．
6