伍佰最好听的歌-浙江省省长

第七届“华杯赛”初一组第一试决赛试题

1．a，b为有理数，且
|a|0
，方程
||xa|b|3
有三个不相等的解，求b的值．










2．已知真分数
的值．










3．请在括号中填上从4到23的不同整数，使得以下等式成立：

1
a
化成小数后，从小数点第一位数字起连续若干个数字之和为1999，求a
13
11 111111


3()()()()()()24
4．长方形 的纸片ABCD，AD=4，AB=3，将它们折叠，使C点与A点重合，求折痕的长度．(可
以利用以 下性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方)





- 1 -

5．一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点标上质数p；第 二次将两个半圆周的每一
111
圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的；第三次将四个圆周< br>424
11
的每一个分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上其相邻两数和的；第四次 将八
83
1
11
个圆周的每一个分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上其 相邻两数和的，
84
16
个分成两个相等的
如此过行了n次，最后，圆周上的 所有数字之和为17170，求n和p的值各为多少?











6．每个男生有k个白球，没有花球 ；每个女生有n个花球，没有白球，A组有男生7人，
女生6人；B组有男生8人，女生7人．A组的白 球比花球多，B组的白球比花球少，
如果A组男生每人拿出一个白球给B组，那么这时A组的白球就不比 花球多了，而B
组的白球也不比花球少了．
求:(1)最大的n是几?相应的k是几?(2)最小的n是几?相就的K是几?















- 2 -

第七届“华杯赛”初一组第一试决赛试题答案
1．b=3
解:原 方程等价于
|xa|b3
，再一次去绝对值，得到四个根
xa(b3)< br>，细写出来
便是
x
1
ab3

x
2
ab3

x
3
ab3

x
4
ab3

由于有且只有三个不相等的根，所以其中必有二个相等，但是显然
x
1
 x
2
，
x
3
x
4
，
只能是
x< br>1
x
3
或者
x
1
x
4
，或者< br>x
2
x
3
或者
x
2
x
4
，这样得出b的可能值为0，-3，
3．但是，b=0时原方程便是
|xa|3
，只有两个解；当
b3
时，原方程变为
|xa|0
，
只有一 个解，所以，只能是b=3．
2．a=2
....
12
解:
0.076923
；
0.153846

1313
..
..
3
4

0.230796
；
0.307629

13
13
....
56

0.384615
；
0.461583

1313
..
..
7
8

0.538416
；
0.615348

13
13
....
910

0.692370
；
0.769203

1313
..
..
12
11
；
0.923067

0.846135
13
13
每个循环节的数字之和都为27， 1999÷27的余数是1，只有
是1，所以a=2．
3 ．解:我们利用两个等于:
2
的第一位非0的数
13
111
 (1)
pqp(pq)q(pq)

111

(2)
pq(q1)p(q1)pq
利用(1)，我们得到

111111


2121(12)2(12)36
- 3 -

111111


6232(23)3(23)1015
所以
1111


231015
利用(2)，我们得到

111111


6323(21)32(21)918
111111


6232(31)23(31)824

所以
111111


26918824
1111111111


2231
利用（2），我们得到
1
注意，答案不惟一，另外有
11111111


358912182024
11111111

1
3581012152024
15
4．
y

8
1
解：设折痕是EF（如如图），EF必过长方形ABCD
的两对角线的交点O，且与AC垂直．将三角形
ABC绕点O旋转180°之后，A占据C的位置，
B占据D的位置，而C占据A的位置，E占据F
的位置，所以OE=OF．由题中所示的直角三角形
的性质，可得长方形的对角线的长度=< br>3
2
4
2
5
．
梯形CDFE的面积=长方形ABCD的面积的一半

设y=OE=OF， x=CE，那么
1
(34)6
，
2
155
(2y)y
，
222
1
三角形CDF的面积=
3(4x)
，
2
三角形CEF的面积

- 4 -

比较以上三块面积，得到
53
y(4x)6
，
22
由此得到5y=3x，由直角三角形的性质知，
OE
2
OC
2
CE
2

即
y
2
()
2
x
2

5
2
5y
16
2
25
代入上式，得到
y

394
15
得出
y
．
8
将
x
5．P=5， n=100
解：第一次分割之后，圆周上 有两个分点；第二次分割后，圆周上有4个分点；第三次
分割后，圆周上有8个分点．一般地，第k次分 割后，圆周上有
2
k
个分点．当我们作
第k+1次分割时，新的分点上写的数 为相邻两数之和的
1
．将这些新增加的数相
k1
加，就相当于原来每一个分 点上的数都加了两次，再除以k+1．若用
S
k
记第k次分割
之后各个分点上 所写数字之和，便得出公式
S
k1
S
k

2S
k
k3
S
k

k1k1
S
k

(k1)(k2)
若令
a
k

上式正表明
a
k1
a
k

由此推出
a
k
a
k1


a
1

即
S
k
(k1)(k2)
如果有n使得
S
n
 17170
，此即
S
1
p


63
p

(k1,2,3,)

3
(n2)(n1)p23517101

p的可能值为2，3，5，17，101．
若p=2， 则
3517101
不可能是两个连续自然数之积；
若p=3， 则
2517101
不可能是两个连续自然数之积；
若p=5， 则
2317101102101
，所以，n=100；
若p=17，则
235101
不可能是两个连续自然数之积；
- 5 -

若p=101， 则
23517
不可能是两个连续自然数之积．
答：p=5， n=100．
6．(1)最大n=105，相应的k=91．2 (2)最小的n=15，相应的k=13
解：由题意，我们有
7k6n
（1）
8k7n
（2） 7k-7≤6n (3)
8k+7≥7n
由（1）～(4)式可知
kk
nk
(5)
76
k1k
≤n≤
k1
(6)
k1
67
kk
由(5)与(6)得
kn
≤
k1
，
77
k
k
由此可知n是不超过
k1
的最大整数，记为
n[k1]
，
7
7
k
也就是
nk1[]

7
k
令
k7k
1
r

这里r是0，1，2，…，6中的某一个，于是
n7k
1
r1k
1
8k
1
r1
仍由(5)和(6)得到
7k
(k1)
≤
nk
(7)
66
将
n8k
1
r1
代入(7)，得到
6k
1
r
≤13
当
k
1
1
时，必须r=6，这时
k71613
，而n=8+6+1=15是最小的；当
k
1
13
时，
必须r=0，这时
k71391
， 而
n8131105
是最大的．
答(1)最大的n=105，相应的k=91． (2)最小的n=15，相应的k=13．


- 6 -