羽毛球场地规则-怎样去诺森德

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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 A 参考答案




题号

（小学高年级组）
一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）
1

2

3

4

5

6

7

8
54

答案





解答.
例如

25

2, 3

316

12

62

74

94
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9.

(4  4  4)  4  3
,

4  (4  4)  4  4
,

(4  4  4)  4  5
,

(4  4)  4  4  6
.




以全班学生共
N  3x 1
人;

又因为比小华大的学生为

3y

人,

所以全班学生共

N



4

y

1

人. 这样,
N

1
既是 3 的倍数, 又是 4 的倍数, 因此
N

1
是
3



4

12
的倍数. 这个班学生
人数大于 20 而小于 30, 所以
N

1
只可能是 24. 因此这个班共有学生
N



24



1



25
人.
10.
答案：25

解答. 设比小明小的学生为
x
人, 比小华小的学生为
y
人. 因为比小明大的学生为
2x
人, 所







11.
答案：1.375

解答.
小虎划船的全部时间为 120 分钟, 他每划行 30 分钟, 休息 10 分钟, 周期为 40 分钟,
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所以一共可分为 3 个 30 分钟划行时间段, 有 3 个 10 分钟休息 划船时, 顺水的船速与逆水的
船速之比为 4.5:1.5=3:1. 因为小虎要把船划到离租船处尽可能远, 他在划船的过程中只能换
一次划船的方向, 而且是在尽可能远处. 分两种情况讨论.
1) 开始向下游划船, 设最远离租船处 x 千米. 因为回到租船处是逆水, 所以小虎只有 110 分
钟可用. 由于划船时顺流速度是逆流速度的 3 倍, 所以用在向下游划船的时间不能超过半小



1
时. 另外两次休息时间只能用在返程, 在休息期间内船向下游漂流了
3

1.5
, 所以
x  4.5  x 

1
3
1.51.5





 1.5
.


整理上式得






x  3x 1.5  6.75
,

4x  5.25
,

x 1.3125
(千米).
2) 开始向上游划, 设最远离租船处 y 千米. 小虎可用 120 分钟, 有两次休息时间用在向上游.
所以





y 
1
1.5


1.5 y 



1
1.5 4.5





 1.5
.
3 6
整理上式得
4 y 
5
1.5  6.75
,
4 y  5.5
,
y 1.375
(千米).
6


综合 1) 和 2) 的讨论, 小虎的船最多离租船处 1.375 千米.

12.
答案：不能


解答. 设放的最小自然数为
a
, 则放的最大自然数为
a



23
. 于是这 24 个数的和为




A  12(2a  23).
假设可能, 设每个正方形边上的数之和为
S
. 因为共有
5
个正方形, 这些和的和为
5S
.
因为每个数在这些和中出现两次, 所以有








5S  2A.
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记最小的 16 个数的和为
B
, 则
B



8(2a

15)
. 下面分两种情形讨论:


(1) 若
B  S
,

则

S 
2
A 
24
(2a  23)  8(2a 15)
,
9.8a 110.4 16a 120
,
5 5


不存在自然数
a
使得不等式成立.





(2) 情形
B  S
也是不可能的,

因为此时不可能选择最大正方形边上的

16

个数使得
这 16 个数的和等于
S
.
三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13.
答案：5


解答. 用右图代替题目中的
2

1
小长方形. 因为题目所给的小长方形上下不对称, 所以同一

个小长方形在拼成的上下对称的正方形中, 不会既在上半部分也在下半部分. 这样, 就可以

只考虑上半部分的不同情形.

1) 相邻的空白格在第一行最左边或最右边. 因为要排除旋转相同的, 所以只考虑相邻
空白格在最右边的情况, 有下图所示的 2 种图形,


























2) 相邻的空白格在第一行中间. 去掉旋转重合的, 有下图所示的 3 种图形,
所有不同的图形为 5 种.
14.
答案：6036

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解答. 令

n  a
1
 a
2


a
2010
b
1
b
2


b
2012
c
1
c
2

c
2013

,
其中, 所有的
a
i
数字和相同, 所有的
b

j
数字和相同, 所有的
c
k
数字和相同. 两个自然数数

字的和相同, 则它们除以 9 的余数相同, 即

a
i
 9u
i
 r, i  1, 2, , 2010
,
b
j
 9v
j
 s, j  1, 2, , 2012
,
c
k
 9w
k
 t, k  1, 2, , 2013
.



则

n  9  (u
1
 u
2
 u
2010
)  2010 r
 9
 (v
1
 v
2
 v
2012
)  2012 s
 9
 (w
1
 w
2
 w
2013
)  2013 t,
(1)


由上面的等式可得,

9  (u
1
 u
2


u
2010
223r)3r9(v
1
v2


v
2012
223s)5s
,

(2)

9  (w
1
 w
2


w
2013
223t)6t9 (v
1
v
2


v
2012
223s)5s
,

(3)

由 (2) 可以得出 s 是 3 的倍数, 只能是 0, 3 或 6. 下面三种情况讨论:

1)

s  0
.

此时,

对

j



1, 2,


, 2012
,

因为

b

j



9v

j

的数字和不为零,

所以

v

j



1

.
则








n  9  (v
1
 v
2


2)
s  6
.

此时
v
2012
)9201218108
.
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n  9(v
1
 v
2


3)
s  3
,

此时
v
2012
)2012612072
.
n  9(v
1
 v
2
 v
2012
)  2012  3  6036
.

可以取
r  2, t  1
.

而
6036  3  3  3  2  2  2 11 11 11
 10 10 10 1 1 1.
 
m 个

2012 个

x 个

n 个
y 个


下面计算 x, y 与 m, n,
x  y  2010,

m  n  2013,

10m  n  6 0 3,6

解得



x  1786
,

y  224
,
m  447
,
n  1566
.

即

6036  21786 11224 10447 1566  32012
.
























最终, 满足条件的最小自然数是 6036.
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