第11-17届初一华杯赛试题及答案
水浒人物故事-火车退票新规定
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
（初一组）
（时间2006年3月18日10：00～11：00）
一、选择题 以下每题
的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在
每题后面的圆括号内。（每小题6
分）
1、下面用七巧板组成的六个图形中， 有对称轴的图形为（
）个（不考虑拼接线）
（A）5 （B） 2 （C）3
（D）4
2、有如下四个命题：
①最大的负数是－1；
② 最小的整数是1；
③ 最大的负整数是－1； ④ 最小的正整数是1；
其中真命题有（ ）个
（A）1个 （B）2 个 （C）3个
（D）4个
3 、如果a，b，c均为正数，且a（b＋c）＝152，b（c＋a）＝1
62，c（a＋b）＝170，那么abc
的 值是（ ）
（A）672 （B）688 （C）720 （D）750
4、下图
给出了一个立体图形的正视图、左视图和右视图，图中单位为厘米。立体图形的
体积为（
）立方厘米。
（A）2
（B）2.5
（C）3
（D）3.5
5、甲、乙两轮船在静水
中航行的速度分别为是v
1
，v
2
，(v
1
＞v
2
)，下游的A港与上游的B港间的
水路路程为150千米。若甲船从A港，乙船从B港同时出发
相向航行，两船在途中的C点相遇。
若乙船从A港，甲船从B港同时出发相向航行，两船在途中D点相遇
,已知C、D间的水路路程为
21千米。则v
1
∶v
2
等于（
）
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55575961
（A）
41
（B）
43
（C）
45
（D）
47
6、有一串数：1，2
2
，
，3
3
，4
4
，„„，2004
2004
，2005
2005
，2006
2006
。大明从左往右依次计算前
面1003个数的末位数字之和，并且记为a，小光计算余下的1003个数的末位数字之和，并且记
为b,则a－b =（ ）。
（A）－3 （B）3 （C）－5
（D）5
二、A组填空题（每小题8分）
7、如图，以AB为直径画一个大半圆。BC=2AC 分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积之
比等于_
__。
8 计算：
111111<
br>（1+
13
）
（1+
24
）
（1+
35
）
（1+
46
）
„
（1+
9799
）
（1+
98100）
=__ ______
9、加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距
离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行
人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距
离之差最大时，这个差等于___ ___
米。
x15y24,
3x4y
10.
如果=42，，那么x＋y=____ _
三、B组填空题（每题两个空，每个空4分）
11、列车提速后，某次列车21：00从A市
出发，次日7：00正点到达B市，运行时间较提速前缩
短了2小时，而车速比提速前平均快了20千米
小时，则提速前的速度平均为 千米
小时，两市相距 千米。
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
12、在算式
第 十 一 届
＋
华 杯 赛
２ ０ ０ ６
中，汉字“第、十、一、届、华、杯
、赛”代表1～9中的9个数字，不同的汉字代表不同的数字，
恰使得加法算式成立。则不同的填法共有
；三位数华杯赛的最大可能值
为 。
13、在由x、y、z构成的单项式中，挑出满足下列条件的单项式：
1）系数为1；
2）x、y、z的幂次之和小于等于5；
3）交换x和z的幂次，该单项式不变。
那么你能挑出这样的单项式共有 个。在挑出的单项式中，将x的幂次最低的两两相乘，又得到一组单项式，将这组单项式相加（同类项要合并）得到一个整式，那么该整式
是
个不同的单项式之和。
14、下图中有
个正方形，有 个三角形。
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第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛，初一组试题答案
一、选择题（每小题6分，满分36分）
1 2 3 4 5 6
题号
D B C A B C
答案
二、A组填空题（每小题8分，满分32分）
7 8 9 10
题号
49 1.98 7 0
答案
三、B组填空题（每小题两个空，每个空4分，每小题8分，满分32分）
11 12 13
14
题号
120, 1200 16, 659 12, 9 95; 155
答案
一、选择题
1.D ② ③ ⑤ 6
2.B 最大的负整数是-1和最小的正整数是1正确。
3.C ab+ac=152
（1），bc+ab=162 （2），ac+bc=170 （3）
（2）－（1）得
（b-a）c=10 （4）
（3）÷（4）得 （a+b）（b-a）=17 即a=8b9
（5）
（3）－（2）得 a（c-b）=8 （6）
（1）÷（6）得
（b+c）（c-b）=19 即c=10b9 （7）
（6）和（7）代入（3）
（8b9）×（10b9）+b×（10b9）=170
得b=9，可知a=8，c=10，abc=720
4.A
π×（22）^2×1+12×π×（22）^2×2=2π
5.B
150V1（V1－a+V2+a）-150V2（V1+a+V2-a）=21，（V1-V2）（V1+
V2）=750
V1：V2=57：43
6.C
第4项至第1003项的末位数字之和和第1004项至第2003项末位数字之和相同
a-b≡1+
2^2+3^3-（2004^2004+2005^2005+2006^2006）≡1+4+7-（6+5
+6）≡-5（mod10）
二、A组填空题
7.49 设AB=2r
则{πr^22-[π（r3）^22+π（2r3）^22]} (πr^22)=1-（19+49）=49
8.1.98 原式=[2^2（1×3）]×[3^2（2×4）] ×[4^2（3×5）]
×[5^2（4×6）] ×[6^2（5×7）] ×……×[98^2
（97×99）]
×[99^2（98×100）]=2×99100=1.98
9.7
三角形两边之差小于第三边，当P在AB延长线与MN交点的位置时PA-PB=7最大。
10.0
由|x-1|≤5知-4≤x≤6，-12≤3x≤18
由|y+2|≤4知-6≤y≤2，-8≤-4y≤24
由|3x-4y|=42，知3x=18，-4y=24，此时x=6，y=-6，x+y=0
三、B组填空题
11．100，1200(注:组委会提供的标准答案是120,1200,此答案有部分错误)
设提速前的速度平均为V千米小时，两市相距S千米。
S（V+20）=10 （1）
SV=10+2 （2）
由（1）（2）得V=100，S=1200
12．16，659
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
被加数千位是
1，被加数与加数个位分别是7和9，被加数与加数十位数字之和是9，被加数百位
与加数百位数字之和
是9，有3+6=9与4+5=9。加法算式从右至左选择数字有2×1×4×1×2×1×1=16
（
种）不同填法。 三位数华杯赛最大可以是659
13．12，9
一.⑴1 ⑵y
⑶y^2 ⑷y^3 ⑸y^4 ⑹y^5 ⑺xz ⑻xyz ⑼xy^2z ⑽xy^3z ⑾x^2z^2
⑿x^2yz^2
二.y,y^2,y^3,y^4,y^5,y^6,y^7,y^8,y^9
共9项
14. 95，155
①边长是1，2，3，4，5，6的正方形有6X6+5X5
+4X4+3X3+2X2+1X1=（6×7×13）6=91（个），
对角线长是2的正方形有4个
，共95个。
②直角边为1的三角形有36×2=72（个）；斜边长是2的三角形，1-6行依次有
4+4+4+3+1+4=20
（个），1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个），共20+
17=37（个）；直角边长是2的1-2行8个，2-3行
6个，3-4行2个，4-5行8个，5-
6行6个，共8+6+2+8+6=30（个）；直角边长是3的1-3行4个，3-5
行2个，4-6
行4个，共4+2+4=10（个）；斜边长是4的1-4行1个，2-5行2个，4-5行1个，共1+2+1
=4
（个）；直角边长是4的3-6行2个。共72+37+30+10+4+2=155（个）
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十一届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试卷(初一组)
（红色字为参考答案）
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉
一、.填空
4
3
3
1、计算：
1
(0.25)
2
<
br>(2)
4
3()5(2)
3<
br>
（ ）
7
8
16
1
2、当
m2
时，多项式
am
3
bm1
的值是0，则多项式
4a
3
b
5
（ 5 ）
2
3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余
下20本书,如果每人分8本书,就剩有
1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有( 6
)名小朋友
E
D
C
4、图l中的长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一
F
H
个正方形EFGH拼成.己知长方形ABCD的面积为120
G
平方厘米,则正方形EFGH的面积等于( 10 )平方厘米
AB
5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和为(
4012 )
图1
6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干
个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方
米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放
完;若同时 打开进水口与五个出水口,池中
水9分钟放完.池中原有水( 288 )立方米
1234k20052006
7、已知
S(1
)
k1
k
2005
2006
，则小于S
的最大的整数是( 0 )
24816222
8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:
n,(n1),,2,1,0,1,2,,n1,n
为了确保从这
些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n的最小值是
( 2005
)
-2
-1
0n-1n
-n
-(n-1)
图2
二.解答下列各题,要求写出简要过程
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
9、如图3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和
D
A
BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影
部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z取3.14)
解:
①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立
O
体的体积是S,S等于高为10厘米,底面半径是6厘米的
圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆
BC
锥的体积.
图3
②即:
11
S=×
6
2
×10×π-2××
3
2
×5×π=90π,
33
2S=180π=565.2(立方厘米).
答:体积是565.2立方厘米.
10、将21个整数
10,9,8,,
3,2,1,0,1,2,3,,8,9,10
分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少?
解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6.
②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:
第一组
10
8
第二组
9
6 5
第三组
7
3 2 1
第四组
4
-1 -2
-3 -4
第五组
0
第六组
-5 -6 -7 -8 -9
-10
③计算它们的平均值的和:
1098765432101
23456789101
17
1234562
1
答:最大的和是
17
。
2
11、当m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000时,从等式(2m+1
)x+(23M)y+1-5m =0
可以
得到10个关于x和y的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果
有,求出这些公共解.
解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程:
x2y10
3xy40
先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.
②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着:
当m =-5,一4,一3,一
1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-
3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公
共解.
答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
12、平面上
有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有
l
2l
3
一个角不超过36度,请说明理由.
l
1
解:①在平面上
任取一点。,过O点作已知的5条直线的平行线
l
1
,l
2
,l3
,l
4
,l
5
l
4
②将O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的
54
3
和恰等于360
0
,所以,至少有一个小角不超过36<
br>0
。
6
2
7
l
5
1
8
9
10
三.解答下列各题,要求写出详细过程
13.如图4,A、B和C是圆周的三等分点,甲、乙、丙 三只蚂蚁分别从A、B
、C三个点同时出
发,甲和乙 沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、
丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,
求出三只蚂蚁 所有的会合地点.
解:
①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;
A
LL
②甲第一次追上乙时爬行的时间=，
8v6v2v
L
甲第一次追上乙时爬行的路程=
8v4L
2v
L3kL
B
C
甲第k+1次追上乙时爬行的时间=
,
2v2v
L3kL
图4
)8vL3(14k)L
甲第k+1次追上乙时爬行的路程=
(
2v2v
因为3×(l+4k)L是圆周周长
的整数倍,所以,甲总在B点追上乙
L3kLL3kL3k1
)5v3L6kL()L
③在时刻
<
br>,丙爬行的路程=
(
2v2v2v2v22
L3kL
)5v9L
L
。因为丙是从C出发顺时针爬行，所以
当k=1时,上式是
(
2v2v
丙爬行至B处,意味甲、乙、丙能够在B点会合.
答:甲、乙、丙仅仅在B处或合.
14、己知m，n都是正整数,并且
111111
A(1)(1)(1)(1)(1)(1)
，
2233mm
111111
B(1)(1)(1)(1)(1)(1)
2233nn
m1n1
n
①证明:
A
，
B
2m2
1
②若
AB
，求m和n的值.
26
111111解:①
A(1)(1)(1)(1)(1)(1)
2233m
m
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
23m23m
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
12m134m1m1
23m23m2m
n1
同样,
B
2n
②由题设,
m1n3n
AB
，
，
2m2n2m2n26mn13mn1313n
13n
所以,
m
，
13n
13n13(n1313)1313
m13
13n13n13n
即13+n是13×13的因数,
13×13只有3个因数:1，13，13
2
所以,
13+n=13
2
, n=13
2
-13=156,
m=12.
求出正整数m,n另一方法:使
m1n1111111
AB
，
2m2n2m2n26mn13
设m =Kα, n=Kb, (α,b)=1,
代入上式,
11ba
13
KaKb2Kab
K
(b一α)和α,b都互质,一定整除K. 记
d
是正整数,
ba
则有
ba
11
dab13
由上式和b >α,b=13,
α=1,d=l 所以,K=12,m和n有唯一解 m=13 n =156.
答:m=13n =156.
特别说明:
因给各题的解答未必唯一,上述解答仅供参考.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十二届“华
罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题及参考答案（初一组）
第十七届华罗庚金杯少年数学
邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
装
∶∶∶∶∶∶∶∶∶
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶
∶∶
订
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶
线
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试卷（初一组）
（时间2007年4月21日10：00～11：30）
一、填空（每题10分，共80分）
1、计算：
17.85
6
17
2
4
13
35
5
3
。
2、“b的相反数与a的差的一半的平方”的代数表达式为 。
3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，
例如：3⊕5=5，3⊙5=3，则
4、已知
mn5
，
m
2
n
2
13
，那么
m
4
n
4
= 。
5、用一些棱长
是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个
立体，如图2，则这个立
体的表面积最多是 。
图1（从上向下看）
图2（从正面看）
6、满足不等式
3|n1|2n2|3n1|
的整数n的个数是
。
7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。新学年时，该年级人数增加到585<
br>人，仍被分为人数相同的若干个班，但是多了6个班，则这个年级原有 个班。 8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小角的5倍，那么这个三角
形的最
大角的度数是 。
二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、已知a，b，c都是整数，当代数式
7a2b3c
的值能被13整除时，那么代数式
5a7b22c
的值是否一定能被13整除，为什么？
10、如图3所示，在四边形ABCD中，
AMMNND
，
BEEF
FC
，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别
记为
S
S
2
1
，
S
2
和
S
3
，求
S
=？
1
S
3
（提示：连接AE、EN、NC和AC）
11、图4是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格
的“小九宫”格，其中，有
一些方格填有1至9的数字，小
鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每
行、
每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣
将第九行的数字从左向右写成一个9位数。请写出
这个9位
数，简单说明理由。
12、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，
以
这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角
形中选出一些，如果要求其中任何
两个三角形没有公共顶点，
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
最多可以选出
多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少
个三角形？（前两问不要求
说明理由）
三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13、壮壮、
菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈
时，王雪说：“菲菲比
刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：
“路路和王雪的年龄的和是3
5岁”。已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和
是105岁。请回答：谁是路路的妈妈？
壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？
14、请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？能否
表示为3个互异的完全平方
数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由。
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试题参考答案（初一组）
一、填空（每题10分，共80分）
1 2 3 4
题号
答案
99
8
130
b
a
ba
或
22
22
1
8
1
8
5
48
6
5
7
7
8
85°
12
12
13
97
二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、解：设x，y，z，t是整数，并且假设
5a7b22cx(7a2b3c)13(yazbtc)
（1）
比较上式a，b，c的系数，应当有
7x13y5
2x13z7
（2）
3x13t22
取
x3
，可以得到
y2
，
z1
，
t1
，则有
13(2abc)3(7a2b3c)5a7b22c
（3）
既然
3(7a2b3c)
和
13(2abc)
都
能被13整除，
5a7b22c
就能被13整除。
【说明】
5a7
b22c
表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：
取
x10
，则有
y5
，
z1
，
t4
，则有
c10(7a2b3c)13(5ab4c)
5a7b22
实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到
x313k
，
y27k
，这里k是任意整数，
将
x313k
代入其余方程，解得
z12k
，
t13k
，这里k是任意整数，
则可以有
5a7b22c(313k)(7a2b3c)13[(27k)a(12k)
b(13k)c]
评分参考：有类似于（3）的代数表达式，给10分。
10、解：如图3a，连接AE、EN和NC，易知
由
S
AEM
S
MEN
，
S
CNF
S
EFN
，
上面两个式子相加得
S
AEM
S
CNF
S
2
（1）
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
并且四边形AECN的面积=
2S
2
。
连接AC，如图3b,由三角形面积公式，易知
S
ABE
S
AEC
，
S
CDN
S
CNA
上面两个式子相加得
S
ABE
S
CDN
四边形AECN的面积=
S
2
（2）
将（1）式和（2）相加，得到
<
br>S
AEM
S
CNF
S
ABE
S
CDN
2S
2
，
既然
S
AEM
S
ABE
S
1
，
S
CNF
S
ABE
S
3
因此
图 3b
S
1
S
3
2S
2
，
答：
S
2
1
S
1
S
3
2
1
2
1
2
1
2
S
2
1
。
S
1
S
3
2
评分参考：①能
利用三角形面积公式导出结果（1），
给4分；②能利用三角形面积公式导出结果（2），给4分；③<
br>正确给出答案，给2分。
11、解答：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m
行和第n列的方格。
第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图4左下角
的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格
图4a
子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图4右
下角的“小九宫”格
中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图4中下部的“小九宫”格的
数
字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法见图4a。
九位数是
495186273。
评分参考：①正确给出答案，给5分；②对图4左边中间的“小九宫”格的5个
空格的填法，
能说明理由，给5分，每个空格给1分；③即使最后答案不正确，对于推理正确的空格填法
，
要适当给分；
12、解答：
（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个
顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取
1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个
点中选取1个做三角形的第三个顶
点，有4种取法。因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出
的三个点可以做出1个
三角形。但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的
取法有3×2
×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造
654
20
个不同的三角形。
321
（2）每个三角形
有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。
（3）用英文大写字母A、B、
C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的
5个三角形，它们共有15个顶点，需要1
5个英文大写字母。这里不同的英文大写字母仅有6
个。因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一
个顶点，无妨设为A。根据假设，这3个
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(
初一组笔试版)
三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6
个顶点
的字母不相同。但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母。所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边。
又显然
ABC
，
ADE
，
BDF
和
CEF
这4个三角形两两没有公共边。所以，最多可以选
出4个
三角形，其中任何两个三角形都没有公共边。
评分参考：①回答第一问正确给3分；②回答第二问正确
给2分；③第三问，回答正确给2分，
能解释理由再给2分。
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13、解：设刘芳的年龄为x岁。
① 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄
差也是一个偶数，而路路和妈妈的年
龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳。注意到菲菲比刘芳小29
岁，菲菲的妈妈不是刘芳，
所以，壮壮的妈妈是刘芳。
②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为(
2x27)
路路
(36x)
岁，他的妈妈应当是
(36x27)
岁，和为
(992x)
菲菲
(x29)
岁，她的妈妈应当是
(x2927)
岁，和为
(2x31)
由于6个人共105岁，所以，
(2x27)(992x)(2x31)105
。
③解出x=32,
菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；
路路和王雪的年龄的和
是35岁，所以王雪31岁。
答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁。
评
分参考：①第一步，能判断出壮壮的妈妈是刘芳，给5分；②能正确回答谁是路路的妈妈，
给5分；③能
正确回答3个孩子的年龄，给5分。
14、解：
（1）由于
1
2
1
3
11
111
111
11
。所以，能表示为3个互异
1
，故有
88
236
162448
68
的正整数的倒数的和（表示法不唯一）。
（2）不妨设
abc
，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足
1111
2
2
2
8
abc
由
abc
，则有
11111113
2
2
2
，从而
2
2
2
2
,
8
acbabca
11
所以
a
2
24
。又有
2
，所以
a
2
8
，故
a
2
9
或16。
8
a
若
a
2
9
，则有
2
2
，由于
2
，并且
2
2
2
，
897272
b
72
bcbbc
所以
b
2
72
，
72b
2
144
。
72b
2
故
b81
，100或121。将
b81
、100和121分别代入
c
2
，没有一
b72
1111
个是完全平方数，说明当
a
2
9时，
2
2
2
无解。
8
abc
11111
若
a
2
16
，则
2
2
。类似地，可得：
81616
bc
22
2
16b
2
32
，即
b
2
25
，
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
16b
2
1625
此时，
c
2
不是整数。
9
b16
1
综上所述，不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和。
8
评分参考：①正确回答第一问给5分（答案不唯一）；②能得到
a
2
9
或16，给6分；③能分
1
别对
a
2
9
和16讨论能否表示为3个互异的完全平方数的倒数之和，各给2分，共4分；
8
2
④
对代数式合理和正确的推导适当给分。
特别说明：因为各题的解答未必唯一，上述解答和评分仅供参考。
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
学
校
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
姓
名
_
_
_
_
_
_
_
_
_
参
赛
证
号
联
系
电
话
电
子
邮
件
总分
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛试卷（初中组）
（ 建议考试时间: 2008 年 3 月 22 日
10:00～11:00 ）
一、选择题（每小题 10
分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的.
请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）
1．若有理数a、b在数轴上的位置如图1所示.则下列各式中错误的是
（
）.
11a
1
（A）-ab＜2 （B）＞
（C）
ab
＜
（D）＜-1
b
b
a2
2．关于数a有下面四个命题:
①若
a
2
a
,则a必为0;
②若
a
2
a
,则a,a+1,a-1中至少有一个为零；
③若
a
2
a
,则a=0,或a=1;
④若
a
2
a
,则
a
3
a
的值必为零.
四个命题中正确的个数为（ ）.
（A）1
（B）2 （C）3 （D）4
3．图2（a）是长方形纸带，∠SAB=20°，将纸带沿AB折叠成图2（b），
再沿BN折叠成图2（c），则图2（c）中的∠TBN为（ ）.
（A）
110
（B）
120
（C）
140
（D）
160
密
封
线
内
请
勿
答
题
4．今有四个数,其中一个数与其它三个数的平均数之和分别为92,86,80,90,那
么,这四个数中最大
的数等于（ ）.
（A）51
（B）48 （C）33 （D）42
5．依次排列4个数:2,11
,8,9.对相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差排在这两个
数之间得到一串新的数:
2,9,11,-3,8,1,9.这称为一次操作,做二次操作后得到一串新的
数:2,7,9,2,
11,-14,-3,11,8,-7,1,8,9.这样下去,第100次操作后得到的一串数的和是（
）.
（A）737 （B）700 （C）723
（D）730
6．如图3所示,一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发,经过每个面
的
中心点后,又回到A点,蚂蚁爬行最短程S满足（ ）.
（A）5＜S≤6
（B）6＜S≤7
（C）7＜S≤8 （B）8＜S≤9
二、填空题（每小题 10 分,满分40分,第10题每空5分）
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
(2)2
(1)
4
12
1
2
7．计算:
2
= .
2
2
1
4
13
2
(2)
8．如图4所示,圆的半径为2,圆的
两条弦AB,CD互相垂直,垂足为
圆心O到弦AB的距离OF=1,EF=1.则图中阴影部分的面积
等
于 .（
取3.41）
9．可将1～30这30个整数
写成一行,使得由第二个数开始的每个
是它前面所排列的所有数之和的约数.则排在第30个位置上的数
应是 .
10．把符号“★”放在图5的小方格中,则含有“★”的由小方格
的正方形个数随“★”的放法而改变.在所有的放法中,含有“★”
方形个数最多时有
个,最少时有 个.
E.若
数都
最大
组成
的正
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
决赛试卷（初一组）
（建议考试时间：2008年4月19日10:00～11:30）
一、填空（每题10分，共80分）
1. 某地区2008年2月21日至28日的平均气温
为-1℃，2月22日至29日的平均气温为
-0.5℃，2月21日的平均气温为-3℃，则2月29
日的平均气温为 .
2. 已知
新北京
×(新+奥+运)
=2008，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表
相同的数字，不同的汉字代表不同的数
字，则算式
1
(新北京)(奥运)
= .
新
3. 代数和－1×2008+2×2007－3×2006＋4×2005＋…－1003
×1006＋1004×1005的个位数字
是 .
4.
用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形,
这个多边形的边数最多有 条.
5. 一列数1,3,6,10,15,21,…中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序
号加上前一个数的和,那么第2008个数是 .
6.
当x取相反数时,代数式ax+bx
2
对应的值也为相反数,则ab等于 .
7. 已知
(m
2
9)x
2
(m3)x60是以x为未知数的一元一次方程,如果
am
,那么
amam
的值
为 .
8.
在3×4方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉
枚围棋子,才能使
得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.
二、解答下列各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)
9. 如果一个锐角三角形
的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个
三角形的最小角的度数可能是哪些值？
10. 小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了
数目相同的桃子,
小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?
11. 下图中,E,F为三角形ABC边上的点,CE与BF相交于P.
已知三角形PBC的面积为12,
并且三角形EBP,
三角形FPC及四边形AEPF的面积都相同,求三角形EBP的面积.
A
F
E
x
P
12. 现有代数式x+y, x-y,
xy和 ,当x和y取哪些值时,能使其
y
中的三个代数式的值相等?
B
C
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)
13.
对于某些自然数n, 可以用n个大小相同的等边三
拼成内角都为120°的六边形. 例如,
n=10时就可以拼出这样
边形,见右图,请从小到大,求出前10个这样的n.
14. 对于有理数x,用[x]表示不大于x的最大整数, 请解
25y
2
203y10
0
25
第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛
决赛试题参考答案（初一组）
角形
的六
方程
一、填空（每题10分，共80分）
1 2 3 4 5 6 7 8
题号
29 8 6 2017036 0 6 4
答案
1℃
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9.
答案:20,21,22.
解答: 设最小角为x, 最大角为4x, 另一个角为y.
则由题目的条件得
xy4x180
,
xy4x
,
4x90
①
由①的前两个式子得到:
6xxy4x1809x
, 解得
20x30
;
又由①的第三个式子得
到
x22.5
, 所以
20x22
.
评分参考: 1) 给出三个关系①给4分; 2)得出范围给4分; 3)给出答案给2分.
10. 答案:10.
解答: 设有n只猴子, 小明留给自己p个桃子.
每只猴子分到了4p个桃子. 则
164p4pn
, 所以p是4的倍数,
令
p4p
1
,
则
41p
1
4p
1
n
,
41p
1
是4的倍数. 令
10k
, 因为n是正整数,
所以
k0
. 当
k0
时,
p
1
4k1
, 则
404k4(4k1)n
,
n
14k
n10
.
评分参考: 1)给出p,
n的关系给3分; 2)得到n, k的最终关系给4分; 3)得到答案给3分.
11.
答案: 4
A
解答: 设三角形EBP的面积为X, 连接AP.
若令
F
E
三角形APF的面积为Y,
则三角形AEP的面积为
P
XY
. 因为
,
S
B
CF
:S
BFA
S
FPC
:S
APF
X
:Y
B
C
S
BCE
:S
AEC
S
EBP
:S
AEP
X:(XY)
而
S
BCE
S
BCF
,
S
BFA
S
AEC
XX2X
,
所以
XX
有
X:YX:(XY)
, 解得
Y
, 即<
br>S
BCF
:S
BFA
(12X):2XX:2:1
, 所以X=4. 三
22
角形EBP的面积为4.
评分参考:
1)引出辅助线给2分; 2)得到X与Y的关系给4分; 3)得到答案给4分.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
11
,
y1
,
x
,
y1
.
22
x
解答: 首先必须
y0
,
否则没有意义. 若
xyxy
, 则
y0
, 矛盾. 所以
y
xyxy
. 若
x0
,
则由
xyxy
, 或
xyxy
都得到
y0
,
所以
x0
, 即
xy0
. 因此,
三个相等的式子只有两种可能:
x
(1)
xyxy
.
由后一等式得到,
y1
或
y1
,
而
y1
是不可能的,
因为此时由第
y
一个等式得到
x1x
, 矛盾.
当
y1
时, 由第一个等式得到
x1x
,
即
2x1
, 所以
1
x
.
2
x
(2)
xyxy
. 由后一等式同样得到,
y1
或
y1
, 同样,
y1
是不可能的,
而当
y
1
y1
时, 由第一个等式得到
2x1
,
所以
x
.
2
评分参考: 1) (1)之前给2分; 2)
(1)和(2)各给4分.
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.
解答:
设所用的等边三角形的边长单位为1.
任何满足条件的六边形的外接三角形一定是
一个边长为l的大等边三角形.
该六边形可以通过切去边长分别为
a,b,c
的等国三角形的角而得
到,
其中
a,b,c
为正整数, 并且满足
abc1
,
lab
.
又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等
边三角形所需要的个数
是
135(2x1)x
2
. 因此,
nl
2
(a
2
b
2
c
2
)
, 其中
l3
,
lab
,
abc1
.
(1)
l3
时, n可以为
32
(1
2
1
2
1
2
)936.
12. 答案:
x
(2)
l4
时, n可以为4
2
(2
2
1
2
1
2
)16
610
.
4
2
(1
2
1
2
1
2
)16313
.
(3)
l5
时,
与上面不同的n可以为
5
2
(3
2
1
2
1
2
)251114
,
5
2
(2
2
2
2
1
2
)25916
.
5
2(2
2
1
2
1
2
)25619
,
5
2
(1
2
1
2
1
2
)
25322
.
(4)
l6
时,与上面不同的n可以为
6
2
(4
2
1
2
1
2
)3618
18
,
6
2
(3
2
1
2
12
)361125
.
6
2
(2
2
2
2
2
2
)361224
,
6
2
(2
2
2
2
1
2
)36927
.
6
2
(2
2
1
2
1
2
)
36630
,
6
2
(1
2
1
2
1
2
)
=36-3=33.
(5)
l7
时,
与上面不同的n都比27大.
(6)
l8
时,
可以证明满足要求的n都不小于26.
由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n为6,10,1
3,14,16,18,19,22,24,25
评分参考: 1)写出10个中的1个给1分;
2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分.
10
14.
答案:
y
或
y10
.
3
解答:
因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以
3y
是整数. 注意到
25
y
2
y
2
y
2
1
1
,
2
5
25
25
第十七届华罗庚金杯
少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
y
2
3y
y
2
3y
0
.
所以代入方程, 得到
203y1010
0
,
1
是整数,
3y
是10的
10
25
10
25
倍数. 令
3y10k
,
k是整数, 代入得
100k
2
4k
2
4k
2
4k
2
01k
,
1k
1k
9<
br>
925
9
9
4k
2
4k
2
4k
2
0
.
当k取不其中, 对于有理数x,
x
=
x
x
.
所以有
1k
,
11k
9
9
9
4k
2
同整数时,
1k
的情况如下表:
9
0
3
k
=1 =2 =3
2
1
414
11
4k
2
=
=
=1 =0
1
1
1k
9
9
9
9
1010
K的可能值是
1
和3,
相应的
y
和y =10.
代入验算得到
y
或
y10
.
33
3y
评分参考: 1) 得到是整数给3分; 2)得到关于k的不等式给5人;
3)得到列表的结果给5分; 3)
10
每个答案各给1分.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十四届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛试卷（初一组）
（ 时间:
2009年 3 月 14 日 10:00～11:00 ）
一、选择题（每小题 10
分,满分60分.
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表
示正确答案的英文字母写在答卷纸相应的表格内）
1、下面四个算式中，正确的是（ ）.
（A）
5
3
5
3
5
9
（B）
2
8
2
2
2
6
（C）
3
4
(3)
4
0
（D）
(3)
5
(3)
3
3
2
2、某班暑假野营沿公路步行从学校到基地，再由基地立即原路返回学校，如果行程每天增加1
千米，
去时用了4天，返回时用了3天，则学校到该基地的路程是（ ）千米.
（A）36
（B）38 （C）40 （D）42
3、设
a
、<
br>b
是两个负数，
ab
，则下面四个数中一定大于
a
而小于<
br>b
的数是（ ）.
3a2b113a2b
（A）
（B）
a
（C）
b
（D）
5234
4、将1、2、3、4、5、6这六个数字分别填入每个
3 1
小方格中，如果要求每行、每列及每个对角线隔成
6 5
的2×3方格内部都没有重复数字，则“▲”处填入
6 4
的数字是（
）.
4 2
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
4 ▲ 3
5、数学课上，全班同学每人各报一个数.如果男生所报的数之和与女生
1 6
3
所报的数之和相等，且男生所报数的平均值是
，女生所报数的
8
1
平均值是
，那么全班同学所报数的平均值是（ ）.
4
1535
（A）
（B）
（C）
（D）
8
41012
6、如下图，梯形ABCD的两底BC=2AD，O为其内部一点，使得
△AOD的面积与△BOE的面
积之和是4，E是OC的中点.则梯形ABCD的面积是（
）.
（A）8 （B）12 （C）16
（D）20
A
D
A
O
E
B
C
二、填空题（每小题 10
分，满分40分. ）
7、如果有理数x和y满足
x0
，
|xy1|
3
，则
xy
的最大可能值为 .
2x3y
5
8、已知关于x，y的方程组
，当
20m10
时有整数
解，则
x
2
xyy
2
的值等
3x7ym
于 .
9、“雪龙”号科学考察船到南极锦绣科学考察活动，从上海出发以最快速
度19节（1节=1海
里小时）航行抵达南极需要30多天时间.该船以16节的速度从上海出发，若干
天后，顺利
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
抵
达目的地.在极地工作了若干天，以12节的速度返回，从上海出发后第83天由于天气原
因航行速度为
2节，2天后以14节的速度继续航行4天返回上海.那么，“雪龙”号在南极
工作了 天.
10、如图平面直角坐标系中的方格阵表示一个纵横交错的街道模型，出租车只能沿街道（网格
线）行驶，且从一个街区（格点）到另一个街区，必须选择最短路线，称最短路线的长度
为两个街区之间
的“出租车距离”.设图中每个小正方形方格的边长为1个单位.与原点
O
的
“出租车
距离”等于
20
的街区共有 个；出租车从原点
O
到坐标
(n,2)
(
n
为大于
2
的整数)
的街区
A
，共有 种不同的行驶路线.
y
4
3
2
1
x
o
1
2
3
4
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十四届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛答案（初一组）
（ 时间:
2009年 3 月 14 日 10:00～11:00 ）
一、选择题（每小题 10
分,满分60分.）
题号
答案
1
B
2
D
3
A
4
D
5
C
6
B
二、填空题（每小题 10 分，满分40分. ）
7 8
题号
2 7
答案
9
3
10
(n1)(n2)
80，
2
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
14（2）.pdf
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试题解答（初一组）
一、选择题
1. 如果
x,y
满足
2x3y15
,
6x13y41
, 则
x2y
的值是 ( ).
(A)
5 (B) 7 (C)
【答案】B.
【解答】
2x3y15
,
6x13y41
两边相加得到
8x16y56
,
两边除以8得到
x2y7
.
故答案为B.
2.
2
和2对应的点将数轴分成3段,
如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中
一段之中, 那么n的最小值是 ( ).
15
(D) 9
2
(A) 5
(B) 6 (C) 7 (D) 8
【答案】C.
【解答】数轴的三段包含了所有数对应的点, 再由抽屉原理得出C是对的.
3.
用甲乙两种饮料按照
x:y
（重量比）混合配制成一种新饮料,
原来两种饮料成本是：甲
每500克5元, 乙每500克4元. 现甲成本上升10%,
乙下降10%, 而新饮料成本恰好保持不变,
则
x:y
= ( ).
(A)
4:5
(B)
3:4
(C)
2:3
(D)
1:2
【答案】A.
【解答】由
5x4y5.5x3.6y
,
5x4y
,
x:y4:5
.
4.
满足
x1x
x1
+
x
=1的
x
的值是 (
).
(A)
0
(B)
【答案】C.
【解答】 当x≤0, 原方程为
3
3
1
(C)
(D)
44
4
图A-5
x1
x
x1
x
=1,
即
1x1x1
,
无解；当0
1x
x
(1x)x
=1,
即
|12x|12x1
,
这种情况下当
0x
2x112x1
,
x=
1
1
时,
12x12x1
无解；当
x1
,
2
2
3
；当x≥1, 原方程为
4
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
x1
x
(x1)x
=1,
即
1(x1)x1
, 无解.
5.
一个立方体的每一个面都写有一个自然数, 并且相对的两个
两数之和都相等,
图A-6是这个立方体的平面展开图, 若20、0、9
分别写的是
a、b、c
, 则
a
2
b
2
c
2
abbcca
的
值为 ( ).
(A) 481 (B) 301 (C) 602
(D) 962
【答案】B.
【解答】由题意得：
a9b0c20
, 所以
ab9
,
bc20
,
ca11
.
图A-6
面内的
的对面
进而
a
2
b
2
c
2
abbcca
1
=
[(ab)
2
(bc)
2
(ca)
2
]
2
1
=
(81400121)301
.
2
6. 乘积为
240
的不同的五个整数的平均值最大是 ( ).
(A)
【答案】D.
【解答】假设
240abcde
,
abcde
.
根据
240222235
, 首先说明,
在平均值最大时
a,b,c,d,e
中只有一个负数.
如果
a,b,c,d,e
都是负数, 可以选择两个数, 改变符号后, 乘积不变,
且没有相同的整数,
并且5个数的平均值增大. 故最多有3个负数.
假设有3个负数.
a,b,c
为负数,
d,e
为正数.
如果
a,b,c
中的两个的绝对值与
d,e
都不相等,
则选择两个数, 改变符号后, 乘积不变.
故
a,b,c
中任意两个的绝对值至少有一个与
d,e
中的数
相等.
这说明
d,e
是
a,b,c
中的两个数.
另外,
d,e
中至少有一个等于1. 因为如果
xyz
,
则
z1xy(x1)(y1)0
,
且等号
成立时
x1
或者
y1
.
并且
a,b,c,1,z
为互不相等的整数.
故
a,b,c
中有一个数等于
1
,
令
a1
,
d1
. 不妨设
be
,
则
e2
或
e4
. 即
a,b,c,d,e
为
{
60,2,1,1,2}
或者
{15,4,1,1,4}
,
两组数的和都比
{3,4,1,1,20}
小. 故
最多有一个负数,
设为
a
.
这个负数
a
一定是
1
. 否则,
用
a
乘以最大的整数, 满足五个数都不相同.
现在根据240分解的特点,
证明
240(1)12340
为和最大的分解.
设
a1,b1
, 则
240cde
,
c,d,e1
. 我们用一个性质：如果
1xyz
,
则
xyzxyz
,
因为
xyzxyz(1y)(xz)0
.
这说明
c2,d3
, 因为
cd
.
1718
(B) (C) 7 (D) 9
5
5
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
故
240(1)12340
为和最大的分解.
二、填空题
7. 如果
xyza
,
【答案】
a
2
.
111xyyzzy
【解答】因为
0,
得到
xyyz
zy0
.
xyzxyz
111
0,
那么
x
2
y
2
z
2
的值为 .
xyz
而
(xyz)
2
x
2
y
2
z
2
2(xyyzzy)x
2
y
2
z
2
a
2
.
一个特解：
xy
2aa
,z
33
8.
如图A-7, 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发去往C地,
在距离C地2500米处甲追
上乙；若乙提前10分钟出发, 则在距离C地1000米处甲追上乙.
已知, 乙每分钟走60米, 那
么甲的速度是每分钟 米.
图A-7
【答案】100.
【解答】乙提前走10分钟,
两个人的路程差就增加10×60=600米,
而甲需要多走2500－
1000=1500米才能追上乙. 那就是说,
甲走1500米的时间里乙可以走1500－600=900米,
所以
甲乙的速度比为1500:900=5:3. 甲的速度为每分钟60÷3×5=100米.
9. 在2001、2002、…、2010这10个数中, 不能表示成两个平方数差的数有
个.
【答案】3.
【解答】若数a是奇数, 则
<
br>a1
a1
a
.
2
2
22
如果
a
是4的倍数, 则
a
a
a
1
1
.
4
4
一个偶数如果能表示成两个平方数的差,
则这两个数一定同时为奇数或者偶数. 而两个奇数
（偶数）的平方差一定是4的倍数,
因为2002, 2006, 2010不是4的倍数, 故不能表示成两个平
方数的差.
10. 如图A-8, 某风景区的沿湖公路AB=3千米, BC=4千米, CD=12千米,
AD=13千米, 其中
ABBC
, 图中阴影是草地, 其余是水面.
那么乘游艇由点C出发, 行进速度为每小时
11
22
7
千米,
13
到达对岸AD最少要用 小时.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
图A-8
【答案】0.4小时.
【解答】 连接AC, 见图A-9.
由勾股定理容易求得
千米.
又因为
5
2
+12
2
13
2
,
所以三角形ACD是直角三角形,
ACD90.
要乘游艇由点C出发,
行进速度为每小时
千米, 到达对岸AD所用时间最少, 游艇行进路线必须最短,
点C到AD的距离, 也就是直角三角形ACD中斜边AD上
线,
这个高线
ACCD
图A-9
AD
51260
13
13
千米.
所以游艇行进最少时间为
60760132
13
11
13
13
150
5
0.4
小时.
AC=5
11
7
13
即为
的高
第十
七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A解答（初一组）
一、填空题
1. 互不相等的有理数a, b,
c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果
|ab||ca||bc|
,
那么在点A, B, C中, 居中的是点 .
【答案】A.
【解答】当
bac
时,
|ab||ca|abcacb|bc|
; 当
bac
时,
|ab||ca|baacbc|bc|
; 所以点 A 在点 B
与点 C 之间.
当点 A 不在 B, C 两个点之间时,
|ab||ca||bc|
不成立. 事实上, 当
acb
时,
|ab||ca|bacabc2a
,
|bc|bc
. 这时不可能有
|ab||ca||bc|
, 否则,
bc2abc
, 即
2a2c
, 得出 a 和 c 相等,
与题设条件
矛盾. 类似地可以讨论其他情形.
2.
图A-26所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积
为
.
【答案】 32.
【解答】
从上、下、前、后、左、右看到的这个立体图形的表面的面
别为 5, 5, 5, 5, 6, 6,
总和为 32 .
3. 汽车A从甲站出发开往乙站,
同时汽车B、C从乙站出发与A相向
开往甲站, 途中A与B相遇后15分钟再与C相遇. 已知
A、B、C 的速度
是每小时90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是
km.
【答案】 680
【解答】 设A与B出发t小时后相遇. 两站路程为s,
则有
1
(9080)ts
,
(7090)
t
s
,
4
图A-26
积分
而行
分别
得
t4
(小时),
s1704680
km.
4.
把自然数
1~2010
分组, 每组内任意3个数的最大公约数为1, 则至少需要分成
组.
【答案】 503.
【解答】 一组中至多可以有2个偶数,
总共1005个偶数, 故至少分到503组. 又相邻的
两个整数是互质的.
相邻的两个奇数也是互质的. 故下面502组相邻4个数中,
4k1,4k2,4k3,4k4
(其中
k0,1,2,,501
),
任意3个数的最大公约数为1,
加上2009与2010一组, 共分成503组.
5. 已知正n边形的内角度数的两倍为整数,
那么这样的正整数n有 个.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
【答案】
28.
【解答】 正n边形的内角度数为
n2360
180180
,
nn
其两倍为
360
720
.
n
2
4
3
2
5
时,
正n边形的内角度数的两倍为整数.
720有所以当n整除
720
(41)(21)(11)30
个因数.
当
n1
或
n2
时, 不存在正n边形,
所以只有28个正多边形满
足条件.
6. 已知
a2b3b2cc2a3ab2c
, 则的值等于
.
7532a5b6c
26
.
11
a2b
k,
7
3b2c
k,
5
c2a
k
.
3
【答案】
【解答】 令
由
a2b7k,3b4a11k
, 解得
b
因此
391
k,ak
.
1111
31
k
.
11
c3k2a
则
3ab2c(3)3923126
.
2a5b6c(2)53963111
7. 六人参加乒乓球比赛,
每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是a, b,
b, c, d, d,
且
abcd
, 那么a等于 .
【答案】 5.
【解答】 一共有15场比赛且不可能有两人都一场不胜, 所以
a2bc2d15
,
d1
.
于是
6d15
,
d2
. 若
d2
, 则
4ca2bc11
, 进而得到
c2d
, 矛盾.
所以
d1
.
4ca2bc13
,
c3
,
即
c2
或3. 若
c3
,
则
3ba2b10
,
b3c
, 矛盾.
所以
c2
. 再由
a2b11
得到
b3
,
a5
.
8. 某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满,
经两天的处理后同速
将水放光; 然后开始同速注水, 注满一半时, 将注水速度加倍直到注满.
请在图A-27中用图表
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
示游泳池中水量随时间的变化关系.
图A-27
【解答】
图A-28
二、 解答下列各题
9. 能否找到7个整数,
使得这7个整数沿圆周排成一圈后, 任3
邻数的和都等于29? 如果能, 请举一例. 如果不能,
请简述理由.
【答案】 不能.
【解答】 假设存在7个整数
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
,a
6
,a
7
排成一圈
足任3个相邻数的和都等于29. 则
aa
3
29
,
a
2
a
3
a
4
29
,
a
3
a
4
a
5
29
,
图A-29
12
a
a
4
a
5
a<
br>6
29
,
a
5
a
6
a
7
29
,
a
6
a
7
a
1
29
,
a
7
a
1
a
2
29
.
将上述7式相加, 得
3(a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
)
297
.
所以
a
297
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
3
67
2
3
,
与
a
1<
br>a
2
a
3
a
4
a
5
a<
br>6
a
7
为整数矛盾! 所以不存在满足题设要求的7个整数.
10. 已知k 是满足
1910k2010
的整数, 并且使二元一次方程组
5x4y7
4x5yk
个相
后,
满
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
有整数解.
问: 这样的整数k有多少个?
【答案】 2.
【解答】 直接解方程组,
354k
x
41
.
5k28
y
41
当
354k41m
(其中m和n是整数)
(1)
285k41n
时方程组有整数解.
消去上面方程中的k, 得到
5m4n7
.
(2)
从(2)解得
m34l
(其中l是整数),
(3)
n25l
将(3)代入(1)中一个方程
354k123164l
,
k2241l
.
解不等式
19102241l2010
,
l
,
46l48
.
41414141
因此共有2个k值使原方程有整数解.
11. 所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m, 所有以质数
q为分母的最简真分数的
和记为n. 若
mn48
,
求
mn
的可能值.
1
【答案】 14, 49,
96
.
2
【解答】 因为
p
为质数,
所以
m
12p1
,,
,
为最简真分数, 所以
ppp
12
(p1)p1
.
p2
q1
.
2
同理可得
n
所以
(p1)(q1)2
6
3
.
首先,
因为上式右端3的因子只有一个, 所以 p和 q不可能相等, 不妨设
pq
. 因为 <
br>2
6
32964488241612326
=
364
,
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
所以p和 q可以是以下情形:
1
p193,q2
,
对应的
mn96
;
2
p97,q3
,
对应的
mn49
;
p17,q13
,
对应的
mn14
.
12. 解方程
x[x]80
,
其中 [x] 表示不大于x的最大整数.
【答案】
x
80
.
9
【解答】 当
ab0
时,
有
a[a]b[b]
. 当
0ab
时,
有
a[a]b[b]
. 由于
8[8]6480819[9]
,
可以断言, 如果方程有正数解 x, 则
x8{x}
.
因此
(8{x})880
,
{x}2
是不可能的.
另一方面,
8[8]6480819[9]
,
可以断言, 如果方程有负数解 x, 则
x9{x}
. 因此
(9{x})(9)80
,
9{x}1
,
{x}
180
,
x
.
99
故原方程的解为
x
80
.
9
三、
解答下列各题
13. 图A-30中, △ABC, △BCD, △CDE, △DEF,
△EFA,
△FAB的面积之和等于六边形ABCDEF的面积.
又图中的6
1
阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的. 求六
3
形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的面积与六边形ABCDEF的面积之比.
【答案】
1
.
3
个
边
【解答】 记六边形
A
1<
br>B
1
C
1
D
1
E
1
F
1<
br>的面积为S, 图中阴影
图A-30
分的面积为S
1
; 记
△ABC, △BCD, △CDE, △DEF, △EFA,
△FAB的面积
由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为S
3
,
由题设条件可知
S
2
=
S
ABCDEF
,
S
1
=
1
.
S
3
ABCDEF
部
之和为S
2
,
在计算S
2
时, 加了两次S
3
,
所以
S
2
S
1
2S
3
, 从而得
S
3
1
S
ABCDEF
.
3
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
又
SS
ABCDEF
S
1
S
3
,
所以
S
1
S
ABCDEF
.
3
故
S
S
ABCDEF
1
.
3
14.
一个单项式加上多项式
9(x1)
2
2x5
后等于一个整式的平方, 试求所有这样的单
项式.
64
.
9
【解答】 设所求的单项式是
ax
m
,
m0
.
【答案】
16x
2
, 或8x, 或32x,
或
9(x1)
2
2x5
共有3个不为同类项的单项式, 如果
m3
, 则多项式
9(x1)
2
2x5
+
ax
m
中不为同类项的单项式有4项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方,
如果写成至少
有3项不为同类项的单项式和的平方, 则展开后, 至少有5个不为同类项的单项式,
所以, 得到
m2
.
9
x1
2x5
16x
2
916
x
2
20x
4
5x2
;
22
9
x1
2x58x9x
2
12x4
3
x2
;
9
x1
2x532x9
x12x4
3x2
;
2
2
2
2
2
2
2
64100
10
9
x1
2x59x
2
20x
3x
;
99
3
所求的单项式为
16x
2
,
或8x, 或32x, 或
64
, 再无其他解答.
9
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题B解答（初一组）
一、填空题
1. 互不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果
|ab||bc||ca|
,
那么在点A, B, C中, 居中的是点
.
【答案】 B.
【解答】当
abc
时,
|ab||bc|bacbca|ca|
; 当
abc
时,
|ab||bc|abbcac|ca|
; 所以点 B 在点 A
与点 C 之间.
当点 B 不在 A, C 两个点之间时,
|ab||bc||ca|
不成立. 事实上, 当
bac
时,
|ab||bc|abcbac2b
,
|ca|ca
. 这时不可能有
|ab||bc||ca|
, 否则,
ac2bca
, 即
2a2b
, 得出 a 和 b 相等,
与题设条
件矛盾. 类似地可以讨论其他情形.
2.
图A-31所示的立体图形由10个棱长为1的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积
为
.
【答案】 34.
【解答】
从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面
为 6, 6, 5, 5, 6, 6,
总和为 34 .
3. 某班有36人买了铅笔, 共买了50支, 有人买了1支,
有人买了2
有人买了3支. 如果买1支的人数是其余人数的2倍, 那么买2支铅笔的
为
.
【答案】 10.
【解答】 设买1支铅笔的人数为x, 则有
x2(36x),
所以
x72324
.
买2支和
3支铅笔的人数为:
362412
(人), 他们共买铅笔数:
502426
.
设买2支铅笔的学生数为 y, 则有
2y3(12y)26
,
积分别
支,
也
学生数
图A-31
解出
y10
.
4. 已知a,
b是正整数,
abab
和都是真分数, 且
1.66
, 则
5757
a
2
b
2
.
【答案】 52.
【解答】 因
ab
1.66
, 所以
57
351.657a5b351.67
即
57.757a5b58.45
.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
所以
7a5b58
, 因此
a4,b6,a
2
b
2
52
.
5.
三个三位数
abb,bab,bba
由数字a, b组成, 它们的和是2331,
则
ab
的最大值
是 .
【答案】 15.
【解答】
abbbabbba100a10bb100b10ab100
b10ba
111(a2b)2331
.
所以
a2b21
.
满足上式的共有四组解:
a3,b9,
a5,b8,
a7,b7,
a9,b6.
故
ab
的最大值为15.
6. 如图A-31所示, 四边形
ABCD
的面积为6, 点M, N,
Q分别为各边的中点. 点O为
ABCD
内的一点.
连接
OM
并延长至E点, 使得
2OMME
, 同样的方式可得点F,
G,
则四边形
EFGH
的面积为 .
【答案】 27.
【解答】 连接
MN,NP,PQ,QM
, 见图A-32.
因为点
M,N,P,Q
分别为四边形
ABCD
各边的中点,
所以四边形
MNPQ
的面积为四边形
ABCD
面积的一半,
即四边形
的面积为3.
P,
H.
图A-31
MNPQ
因为
ME2OM
且
NF2ON
,
容易得到三角形
OEF
的面积是三角形
OMN
的面积的9倍.
同理
可得三角形
OFG
的面积是三角形
ONP
的面积的9倍；三角形
OG
H
的面积是三角形
OPQ
的面积的9倍；三角形
OHE
的面积是三角
形
OQM
的面积的9倍.
图A-32
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
所以四边形
EFGH
的面积是四边形
MNPQ
的面积9倍,
即四边形
EFGH
的面积为27.
7. 至少任取 个正整数,
可以保证其中必存在6个数, 它们的和是6的倍数.
【答案】 11.
【解答】
首先说明取10个正整数无法保证满足要求. 例如10个数被6除的余数5个为
0, 5个为1,
此时任取其中6个求和, 所得和的被6除的余数为不小于1且不大于5. 故至少取
11个正整数.
首先证明结论: 5个正整数中必定存在3个数之和为3的倍数.
若5个数被3除所得的余数有0, 1, 2这三种, 则余数互不相同的这3个数之和能被3整除;
若只有不超过被3除所得余数其中的2种, 由抽屉原理,
可知其中必有3个数被3除所得的余
数相同, 这样的3个数之和能被3整除.
故任意5个数中必有3个数的和能被3整除.
设任给的11个整数为
a
1
,
a
2
,a
3
,,a
10
,a
11
.根据引理, 则在
a
1
,a
2
,a
3
,a4
,a
5
中存在3个数之和为
3的倍数,不妨这3个数就是
a<
br>1
,a
2
,a
3
,
因此有
a
1a
2
a
3
3k
1
.
同理,在剩下的整
数中的
a
4
,a
5
,a
6
,a
7
,a
8
中也存在3个数之和为3的倍数, 不妨这3个数就是
a
4
,
a
5
,a
6
,
因此有
a
4
a
5
a
6
3k
2
.
最后, 在剩下的整数中的
a
7
,a
8
,a
9
,a
10
,a
1
1
中也存在3个数之和为3的倍数, 不妨这3个数就
是
a
7
,a<
br>8
,a
9
,
因此有
a
7
a
8a
9
3k
3
.
在
k
1
,k
2
,k
3
中,
必有两个奇偶性相同, 不妨设就是
k
1
,k
2
的奇偶性相同,
即
k
1
,k
2
之和为偶数,
也就是
k
1
k
2
2k.
所以 a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
3k
1
3k
2
3(k
1
k
2
)32k6k.
也就是在这11个任取的整数中,
必存在6个数, 它们的和是6的倍数.
8. 某中学新建游泳池开启使用,
先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经一天的处理后同速
将水放光; 然后开始同速注水,
注满一半时, 将注水速度减半直到注满.
请在图A-33中用图表
示游泳池中水量随时间的变化关系.
图A-33
【解答】
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
图A-34
二、 解答下列各题
9.
当
4x8
时,
|x2|123
的最小值与最大值分别是多少?
【答案】
3
, 0.
【解答】 从绝对值定义知道,
当
2x3
时, 原式=
x4
,
最小值是
2
, 最大值是
1
;
当
3x5
时, 原式=
2x
,
最小值是
3
, 最大值是
1
;
当
5x8
时, 原式=
x8
,
最小值是
3
, 最大值是0;
当
1x2
时,
原式=
x
, 最小值是
2
, 最大值是
1
;
当
1x1
时, 原式=
x2
,
最小值是
3
, 最大值是
1
;
当
4x1
时, 原式=
x4
,
最小值是
3
, 最大值是0.
综上,
可知原式的最小值是
3
, 最大值是0.
10.
图A-35中有5个由4个1×1的小正方格组成
同形状的硬纸板.
问能用这5个硬纸板拼成图A-35中4
的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能,
请简
由.
【答案】 不能.
图A-35
【解答】
假设能拼成4×5的长方形, 如图A-36将小方格黑白
间染色, 其中黑格、白格各10个.
其中除 外的4张硬纸板每一张都盖住2个黑格, 而
住3个黑格或一个黑格.
这样一来, 由4个1×1的小正方格组成的
同形状的5个硬纸板, 只能盖住9或11个黑格,
与10个黑格不符!
11. 已知a, b, c取互不相等的正整数,
求
abc
图A-36
abc
的最小值.
【答案】 1. <
br>的不
×5
述理
相
盖
不
第十七届华罗庚
金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
【解答】
因为
abc1
abcabc
, 所以求最小, 就是求 最大. 而
abc
abc
abcabc
abc
abc1111
11
,
1
.
abcabacbc236
当a, b, c取互不相等的正整数时, 不妨设
1abc
, 则
1
abc111111ab2ac3bc
6
0
,
abc2ab3ac6bc2ab3ac6bc
abcabc
最大为 1.
进而的最小值为 1.
abcabc
而且当
a1,b2,c3
时为0, 所以
12. 求方程组
3xy
137
,
2x[y]
的解, 其中
[x]
表示不超过x的最大整数.
23
53
【答案】
x,y
.
32
2
后减去第二个方程得到
3
25262
y[y]2,[y]{y}2,[y]{y}
,
33355
此处引入
y[y]{y}
.
因为
0{y}1
, 所以
【解答】
由第一个方程乘
22
0{y}
,
0[y]2
,
55
于是只能有
[y]1
.
由第二个方程得到
2x
10
,
3
x
5
.
3
再由第一个方程得到
y
1353
3
,
232
且满足
[y]1
.
53
故原方程组的解为
x,y
.
32
三、
解答下列各题
13. 图A-37中, 点B, C, A
1
,
B
2
在同一直线l上; 将直角三角形
ABC
以点C为心可以旋转至
与直角三角形
A
1
B
1
C
重合, 再以点A
1为心可以旋转至与直角三角形
A
1
B
2
C
1
重
合; 连结
AA
1
交
AB3
,
BC4
,
求阴影三角形
B
1
PQ
的面积.
B
1
C
于点P, 连结
B
1
B
2
交
AC
11
于点
Q
.
设
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
图A-37
【答案】
2
514
.
715
【解答】
作
B
1
HCA
1
于H, 见图A-38.
则易计算得B
1
H=2.4, CH=3.2, A
1
H=1.8.
图A-38
(2.43)(43.2)2.41.8
22
则
四边形ABA
1
B
1
的面积 =
S
梯形ABHB
1
S
A
1
B
1
H
42.16
.
2
19.4
3435
6,
S
ACA
1
7.5
, 所以 而
S
ABC
22
S
AA
1
B
1
S
AB
A
1
B
1
S
ABC
S
ACA
1<
br>21.667.58.1
.
因此
PB
1
S
AA
1
B
1
8.127
,
PCS
AA
1
C
7.525
另一方面
S
梯形B
1
H
B
2
C
1
PB
1
27
.
<
br>B
1
C52
34
(2.44)(1.83)
15.3
6
,
S
A
1
B
2
C
1
6,
2
2
所以
S
A
1
B
1
C1
15.362.1667.2
,
B
1
Q
S
A
1
B
1
C
1
7.26
,
QB
2
S
A
1
B
2
C
1
65
S
CB
1
B
2
B
1
Q6
,
B
1
B
2
11
连接PB
2,
S
PB
1
B
2
11
CB
2
B
1
H82.49.6
.
22
S
B
1
PQ
6
27
,
所以
9.6,
又
S
PB
1
B
211
52
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
S
B
1
PQ
S
PB
1
B
2
69.62764
2
.
11525
25
x
后等于一个整式的平方,
试求所有这样的单项
99
14.
一个单项式加上多项式
(x1)
2
式.
【答案】
16
2
83264
x
,
x
,
x
, .
9981
9
【解答】 设所求的单项式是
ax
m
,
m0
.
25
(x1)
2
x
共有3个不为同类项的单项式,
如果
m3
, 则多项式
99
25
(x1)
2
x
+
ax
m
99
中不为同类项的单项式有4项,
不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少
有3项不为同类项的单项式和的平方,
但是此时展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以,
得到
m2
. 9
x1
2x516x
2
916
x
2
20x4
5x2
;
22
9
x1
2x58x
9x
2
12x4
3x2
;
9
x1
2x532x9x12x4
3x2
;
2
2
2
2
2
2
2
64100
10
9
x1
2x59x
2
20x
3x
;
99
3
从而, 所求的单项式为
16
2
83264
x
,
x
,
x
, .
9981
9
第十七届华罗庚金杯少年数学
邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题C解答（初一组）
一、填空题
1. 互不相等的有理数a, b,
c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果
|cb||ca||ba|
,
那么在点A, B, C中, 居中的是点 .
【答案】 C.
【解答】当
acb
时,
|cb||ca|bccaba|ba|
; 当
acb
时,
|cb||ca|cbacab|ba|
; 所以点 C 在点 A
与点 B 之间.
当点 C 不在 A, B 两个点之间时,
|cb||ca||ba|
不成立. 事实上, 当
bac
时,
|cb||ca|cbca2cab
,
|ba|ab
. 这时不可能有
|cb||ca||ba|
, 否则,
2cabab
, 即
2a2c
, 得出 a 和 c 相等,
与题设条
件矛盾. 类似地可以讨论其他情形.
2. 甲、乙两人在环形跑道上练习长跑,
甲的速度与乙的速度的比为5:3, 若两人同时从同一
起点出发, 则乙跑了
圈时, 甲比乙多跑了4圈.
【答案】 6.
【解答】 设乙跑了 n 圈时,
甲比乙多跑了4圈, 则
n45
.
n3
解得
n6
.
3.
图A-39所示的立体图形由10个棱长为1的正方体木块搭成, 这
体图形的表面积为
.
【答案】 36.
【解答】
从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积
6, 总和为 36 .
4.
已知a, b是正整数,
abab
和都是真分数, 且
1.66
, 则
5757
a
2
b
2
.
图A-39
个立
都为
【答案】 52
【解答】 因
ab
1.66
, 所以
57
351.657a5b351.67
即
57.757a5b58.45
.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
所以
7a5b58
, 因此
a4,b6,a
2
b
2
52
.
5.
按原设计, 在一条3000米长的新公路的一侧, 从一端开始每隔50 米立一根电线杆,
并已挖好了立电线杆的坑. 现改为每隔60米立一根电线杆, 则需要重新挖坑
个,
有 个原来挖好的坑将废弃不用.
【答案】 40, 50.
【解答】 原有
3000
161
(坑)
,
50
现需
3000
151
(坑)
,
60
而按50 与60的最小公倍数为300, 即每隔300米处的坑应该保留, 共有
3000
111
(坑)
300
被保留,
故还需挖40个坑. 所以原来有50个挖好的坑将废弃.
6. 已知正n边形的内角度数为整数,
那么这样的正整数n有 个.
【答案】 22
【解答】
正n边形的内角度数为
n2360
180180
.
nn<
br>所以当n整除
3602
3
3
2
5
时,
正n边形的内角度数为整数.
360有
(31)(21)(11)24
个
因数,
当
n1
或
n2
时, 不存在正n边形,
所以只有22个正多边形满足条件.
7. 小明在分别写有数字 1 到 9 的卡片中选了四张,
然后把所有用这四卡片能摆成的四
位数加了起来, 但他不小心把其中一个四位数多加了一次,
结果得到错误的和128313. 那么,
正确的和应该为 .
【答案】
119988.
【解答】 用
a,b,c,d
记所选的数字,
这四个数字可以组成24个不同的四位数,
并且
a,b,c,d
中的每个数字在个位、十位、百位、千位各出现6次.
所以这24个不同的四位数的和
为:
(abcd)611116666(abcd)
.
设被多加一次的四位数为
x
,
则
6666(abcd)x128313
. 而
128313÷6666=19……1659,
并且
x9999
,
所以
abcd18
或19.
当
abcd19
,
则
x1659
, 但
1+6+5+92119
,
所以
abcd18
. 这时
x1659+6666=8325
,
8+3+2+5=18
.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
所以正确的和应该为
18×6666=119988.
8.
某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空池注满; 经一天的处理后开始同速
排水,
排到一半时, 将排水速度减半直到排光; 然后开始以第一天的注水速度注水, 直到注满.
请在图A-40中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.
图A-40
【解答】
图A-41
二、 解答下列各题
9.
能否找到7个整数, 使得这7个整数沿圆周排成一圈后, 任3
邻数的和都等于29? 如果能,
请举一例. 如果不能, 请简述理由.
【答案】 不能.
【解答】 假设存在7个整数<
br>a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a5
,a
6
,a
7
排成一圈后,
任3个相邻数的和都等于29. 则
图A-42
a
1
a
2
a
3
29
,
a
2
a
3
a
4
29
,
a
3
a
4
a
5
29
,
a
4
a
5
a
6
29
,
a
5
a
6
a
7
29
,
a
6
a
7
a
1
29
,
a
7
a
1
a
2
29
.
上述7式相加, 得
3(a
1
a
2
a
3<
br>a
4
a
5
a
6
a
7
)2
97
.
所以
个相
满足
第十七届华罗庚金杯少年
数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
<
br>2972
67
,
33
与
a
1
a2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
为整数矛盾! 所以不存在满足题设要求的7个整数.
10.
设a
、
b为有理数, 方程
|xa|b3
有三个互不相等的解,
求b的值.
【答案】 3.
【解答】 由已知得
∣x－a∣－b=±3,
∣x－a∣= b±3,
故b＋3, b－3 都是非负的, 若其中一个为零, 则原方程有 3
个互不相等的解, 若都不为零, 则
有4个互不相等的解, 由题设可得b =3.
11.
六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别为a, a,
b, c, d, d, 且
abcd
, 问a等于多少?
【答案】
4.
【解答】 一共有15场比赛且不可能有两人都一场不胜, 所以
2abc2d15
,
d1
.
于是
6d15
,
d2
. 若
d2
, 则
4c2abc11
, 进而得到
c2d
, 矛盾.
所以
d1
,
4c2abc13
,
c3
,
即
c2
或3. 若
c3
,
则
3b2ab10
,
b3c
, 矛盾.
所以
c2
. 再由
2ab11
得到
b3
,
a4
.
12. 解方程
x[x]115
,
其中[x]表示不大于x的最大整数.
【答案】
x
115
.
11
【解答】 当
ab0
时,
有
a[a]b[b]
. 当
0ab
时,
有
a[a]b[b]
. 由于
10[10]10011512111[11]
,
可以断言,
如果方程有正数解 x, 则
x10{x}
.
因此
(10{x})10115
,
{x}1.5
是不可能
的.
另一方面,
10[10]10011512111[11]
,
可以断言,
如果方程有负数解 x, 则
x11{x}
. 因此
(11{x})(11)115
,
11{x}6
,
{x}
6115
,
x
.
1111
三、
解答下列各题
图A-43
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
13.
图A-43中, 点
P
为
ABC
内一点,
GP
,
PQ
,
HP
分别是边
AB
,
BC
,
AC
的垂线,
CH
交点分别为
D
,
E
,
F
.
如果
AGAH4
,
BGBQ10
, 求的值.
CQ
【答案】 1.
【解答】 连结
PA
,
PB
,
PC
, 见图A-44. 在三角形
ABG
中,
AG
2
AD
2
DG
2
BG
2
BD
2
,
所以
AG
2
BG
2
AD
2
BD
2
.
同理可证
AD
2
BD
2
AP
2
BP
2
.
所以
AG
2
BG
2
AP
2
BP
2
.
①
图A-44
同理可证
BQ
2
CQ
2
B
P
2
CP
2
, ②
CH
2
A
H
2
CP
2
AP
2
. ③
①<
br>
②
③得
CH
2
CQ
2
,
即
CHCQ
. 所以
CH
1
.
CQ
915
14.
一个单项式加上多项式
(x1)
2
x
后等于一个整式的平方,
试求所有这样的单
424
项式.
【答案】
4x
2
,
2x
,
8x
,
16
.
9
【解答】
设所求的单项式是
ax
m
,
m0
.
915
(x1)
2
x
共有3个不为同类项的单项式, 如果
m3
, 则多项式
424
915
(x1)
2
x
+
ax
m
424
中不为同类项的单项式有4项,
不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少
有3项不为同类项的单项式和的平方,
但是此时展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以,
得到
m2
. 9
x1
2x516x
2
916
x
2
20x4
5x2
;
22
9
x1
2x58x
9x
2
12x4
3x2
;
9
x1
2x532x9x12x4
3x2
;
2
22
22
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
64100<
br>
10
9
x1
2x59x
2
20x
3x
;
99
3
2
2
从而, 所求的单项式为
4x
2
,
2x
,
8x
,
16
.
9
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷（初一组）
一、选择题：(每小题10分，满分60分。)
1、船在江中顺水航行与逆水航行的速度之比
为
7:2
，那么它在两港间往返一次的平均速度与
顺水速度之比为（ ）
7924
A
(A) (B) (C) (D)
141499
2、如右图所示，三角形ABC的面积为
1cm
2
，A
P垂直∠ABC的
P
平分线BP与P，则三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）
C
B
0.5cm
0.5cm
0.5cm
0.5cm
1.1cm
0.9cm1.2cm
1.0cm
(A)
(B) (C) (D)
x11<
br>3、设
a、b
是常数，不等式
0
的解集为
x
，
则关于
x
的不等式
bxa0
的解集是（ ）
ab5
1111
(A)
x
(B)
x
(C)
x
(D)
x
5555
4、右图所示的五角星是用螺栓江两端打有孔的5根木条连接
构成的图形，它的形状不稳定。如果在木条交叉点打孔加装
螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（ ）个螺栓。
(A) 1
(B) 2 (C) 3 (D)4
5、对四堆石子进行如下“操作” ：每次允许从每堆中各拿掉相同个数的石子，或从任一堆中
取出一些石子放入另一堆中，若四堆石子的个数分别为2011,2010,2009,2008，则按上述方式
进行若干次“操作”后，四堆石子的个数可能是（ ）
(A)0,0,0,1
(B)0,0,0,2 (C)0,0,0,3 (D)0,0,0,4
<
br>
5
6、对于
0x100
，用
x<
br>
表示不超过
x
的最大整数，则
x
<
br>
x
的不同取值的个数为（ ）
3
(A)267 (B)266 (C)234
(D)233
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7、对整数按以下方法
进行加密：每个数位的数字变为与7乘积的个位数字，再把每个数位上
的数字
a
变为<
br>10a
，如果一个数按照上面的方法加密后为473392，则该数为
8、老师问A、B、C、D、E五位学生：“昨天你们有几个人玩过游戏？”他们的回答分别
为A：
没有人；B：一个人；C：二个人；D：三个人；E：四个人，老师知道：他们之中有人玩过游<
br>戏，也有人没玩过游戏。若没有玩过游戏的人说的是真语，那么他们5个人中有
个人玩
过游戏。
9，公交车的线路号时由数字显示器显示的三位数，其中每个数字
是由横竖放置的七支荧光管
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版
)
显示，如下图所示
由于坏了一支荧光管，某
公交线路号变成“351”。若该线路号恰好等于两个不同的两位质数的
积，则正确的线路是
路。
10、在下面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得等式成立，那么四
位数
华杯初赛
的最小值是
兔 年
十 六 届
+
华 杯 初 赛
2 0 1 1