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2012年小学数学华杯赛模拟试卷（四）

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2012年小学数学华杯赛模拟试卷（四）


一、填空（每题10分共80分）
1．（10分）计算

2．（10分）从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是 _________ ．

3．（10分）将165表示成不少于两个连续的（非零）自然数之和，最多有 _________ 种表达方式．

4．（10分）请问10

2010
= _________ ．
﹣2013的各位数码之和为 _________ ．
5．（1 0分）小强和小刚共有100多张卡通画，如果小强给小刚x张，则小强的卡通画比小刚少；如果小刚给小强x张，则小刚的卡通画比小强少，小强、小刚原来各有 _________ 张卡通画．
< br>6．（10分）请填入三个合适自然数，（一个三位数，一个两位数，一个四位数位数）求满足下列算式的 不同填法共
有 _________ 种．
□□□□﹣□□□=□□

7．（10分）自然数a和b的最小公倍数是140，最大公约数是5，则a+b的最大值是 _________ ．

8．（10分）用一架天平和5克、30克砝码各一个，把300克食盐平均分成3份至少要称 _________ 次．

9．（10分）A、B两杯食盐水各有40克，浓度比是3：2，在B中加入60克水，然后倒入A中 _________ 克，
再在A、B中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为 7：3．

10．（10分）一个正方体的体积为1800立方厘米，将它切成两个长方体，而且两个 长方体体积之比为1：2，然将
其中较大的一个长方体加工成一个最大圆柱体，求圆柱体的体积最大等于 _________ 立方厘米．（π取3.14）

二、解答题（每小题10分，共40分）
11．（10分）如图是俄罗斯方块中的七个图形：

请你用它们拼出（A）图，再用它们拼出（B）图（每块只能用一次，并且不准翻过来用）． 如果能拼出来，就在图
形上画出拼法，并写明七个图形的编号；如果不能拼出来，就说明理由．


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12．（10分）在长方形ABCD中，AB=30厘米，BC=40厘米，P为BC上一点 ，PQ垂直为AC，PR垂直于BD．求
PQ与PR的长度之和．


1 3．（10分）2011年9月1日起．我国实行新的税率标准，费用扣除标准调高为3500元月．如下表是工 资、薪金
所得项目税率表：
级数 全月应纳税所得额 税率%
1 3
不超过1500元的部分
2 10
超过1500元至4500元的部分
3 20
超过4500元至9000元的部分
4 25
超过9000元至35000元部分
5 30
超过35000元至55000元部分
… … …
表中“全月应纳税所得额”是值 从月工资、薪金收入中减去3500元后的余额，它与相应税率的乘积就是应交的税款
数．则在这种税率 实行期间：
（1）张先生某个月的工资、薪金收入为8000元，该月份他交款多少？
（2）范老师某月交纳了2245元个人所得税，该月份张先生工资、薪金收入是多少元？

14．（10分）一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这 两个三位数的
数码顺序恰好相反．请问：这个自然数的十进制表示是多少？

三、解答下列各题（每小题15分，共30分）
15．（15分）五个人进行单循环象棋比赛 ．规定：每胜一局得2分，负一局得0分，平一局得1分．比赛结束后，
发现五人得分是连续的五个自然 数，而且名次靠前的都胜了名次紧跟其后的人．这次比赛最少有多少场平局？最多
有多少场平局？

16．（15分）（维佳和奥利娅的约会）维佳和奥利娅通常相约在地下铁道最后一站会面 ．地铁的火车每隔一定的时间
就开出一辆．第一次维佳等了奥利娅12分钟，在此时间内开出了5辆火车 ；第二次维佳等了奥利娅20分钟，这段
时间内开出了6辆火车；第三次维佳等了奥利娅30分钟，那么 这段时间内可能有多少辆火车开出？

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2012年小学数学华杯赛模拟试卷（四）

参考答案与试题解析


一、填空（每题10分共80分）
1．（10分）计算= 2010 ．

考点： 分数的巧算．
专题： 计算问题（巧算速算）．
分析： 通过观察，此题中的分数有一定特点，先把第一个括号内的分数化成假分数，然后通过变形，进行简算．
解答：
解：（2004+2005）÷（+），
=（+
+
）÷[2000×（
）]÷[2000×（+
+）]，
）]， =[（2004×2005+1980）×（
=（2004×2005+1980）÷2000，
=4020000÷2000，
=2010．
点评： 这道题的算式比较长，要进行简算，就得整体观察，寻找规律，合理简算．

2．（10分）从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是 和 ．

考点： 分数的拆项．
专题： 运算顺序及法则．
分析：
通过分析，先求出++++的结果，然后减去，看看剩余结果与哪两个数最接近，即可解决问题．
解答：
解：因为++++﹣，
=
=
+
，
，
+++﹣，
又因为+=
所以去掉的应是和．
故答案为：和．
点评： 对于这种题型，应认真思考，找到解决问题的最佳途径，灵活解答．

3．（10分）将165表示成不少于两个连续的（非零）自然数之和，最多有 7 种表达方式．

考点： 整数的裂项与拆分．
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专题： 整数的分解与分拆．
分析： 此题可以 采取列举的方法，把165拆分成几个连续自然数的和．先从拆成的两个数开始，拆成的数逐渐增
多，直 到列举穷尽．
解答： 解：82+83；
54+55+56；
31+32+33+34+35；
25+26+27+28+29+30；
12+13+14+15+16+17+18+19+20+21；
10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20；
4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18．
故答案为：7．
点评： 此题采用了列举法，但要注意列举时，要按一定顺序，按分成的数从多到少列举，防止遗漏．

4．（10分）请问10﹣2013的各位数码之和为 18076 ．

考点： 数字和问题．
专题： 探索数的规律．
分析：
因为10
2010
是1后面2010个0，10
2010
﹣2013是一个2010位数，它的前2006位是 9，后四位是7087，据
此计算即可解答．
解答：
解：10
2010< br>﹣2013=100…00（2010个0）﹣2013=999…997087（2006个9）
9×2006+7+0+8+7
=18054+22
=18076．
故答案为：18076．
点评： 本题主要考查数字和问题，解题关键是确定差的位数与各位上数字的规律．

20105．（10分）小强和小刚共有100多张卡通画，如果小强给小刚x张，则小强的卡通画比小刚少；如果小 刚给小强
x张，则小刚的卡通画比小强少，小强、小刚原来各有 82、100 张卡通画．

考点： 分数四则复合应用题．
专题： 分数百分数应用题．
分析：
由 于，如果小强给小刚x张，则小强的卡通画比小刚少，即此时小强的是小刚的1﹣=，则卡通画的总
张数 是2+5=7的倍数；同理可知，小刚给小强后，小刚的是小强的1﹣=，卡通画的总张数也是8+5=13的倍数，在100～200之间能被7和13同时整除的数是182．即两人共有卡通画182张．则小强给 小刚x
张后，小强还有182×=52张，则小刚有182﹣52=130张；小刚给小强x张后，小刚 还有182×=70
张．所以x为（130﹣70）÷2=30张，则小刚原有130﹣30=100张 ，小强原有182﹣100=82张．
解答：
解：由于如果小强给小刚x张，小强的是小刚的1﹣=，
小刚给小强后，小刚的是小强的1﹣=，
则卡通画的总张数能被7和13同时整除，在100～200之间能被7和13同时整除的数是182．
即两人共有卡通画182张．
小强给小刚x张后，则小刚有：
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182﹣182×
=182﹣52，
=130（张）；
小刚给小强x张后，小刚还有182×=70（张）；
=
则小刚原有：
130﹣（130﹣70）÷2
=130﹣60÷2，
=130﹣30，
=100（张）．
则小强原有：
182﹣100=82（张）．
答：小强原有82张，小刚原有100张．
故答案为：82，100．
点评： 首先根据前后两人数量的比得出总数能同时被7与13整除，并由此求出卡片总数是完成本题的关键．

6．（10分）请填入三个合适自然数，（一个三位数，一个两位数，一个四位数位数）求满足下列算式 的不同填法共
有 4860 种．
□□□□﹣□□□=□□

考点： 横式与竖式的互换；横式数字谜．
专题： 运算顺序及法则．
分析： 根据加减之间的关系以及数位知识可得，三位数的百位数字必须是9，才能保证被减数可能是四位数；
（1）当A=1时，B=8或9，即A=1，B=8时，10≤C+D≤18，有45种；A=1，B=9时，有 10×10=100种，共
有：45+100种；
（2）当A=2时，B=7或8或9，即A =2，B=7时，10≤C+D≤18，有45种；A=2，B=8时，有10×10=100
种；A= 2，B=9时，有10×10=100种，共有：45+100×2种；
（3）同理，当A=3时，B=6～9，共有：45+100×3种；
…
（4）当A=8时，B=1～9，共有：45+100×8种；
（5）当A=9时，B=1～9，因为B在最高位不能为0，所以共有：100×9种；
因此 共有：（45+100）+（45+100×2）+（45+100×3）+…+（45+100×8）+（10 0×9）=4860．

解答： 解：（45+100）+（45+100×2）+（45+ 100×3）+…+（45+100×8）+（100×9），
=45×8+100×（1+2+3+…+8+9），
=360+4500，
=4860（种）；
故答案为：4860．
点评： 本题需要在逆向思维的基础上，分A+B≥10或A+B=9这两种情况讨论．

7．（10分）自然数a和b的最小公倍数是140，最大公约数是5，则a+b的最大值是 145 ．

考点： 求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
将140分解质因数：140=2
2
×5×7；a、b的最小公倍数是140，表示a、b都是由2、2、5、7这四个质因数
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组合而成的，
a、b的最大公约数是5，表示a、b都含有质因数5，且其中一个就是5（“最大”公约数是5）；要取a+ b的
最大值，则另一个数要尽可能的大，所以，另一个数应该是140，那么a+b的最大值就是5+1 40=145．
解答： 解，由分析知：a和b其中一个是140，一个是5，
所以：a+b的最大值就是5+140=145；
故答案为：145．
点评： 解答此题应先进行分解质因数，然后结合题意，根据最大公约数哈最小公倍数的知识进行解答．

8．（10分）用一架天平和5克、30克砝码各一个，把300克食盐平均分成3份至少要称 3 次．

考点： 整数的裂项与拆分．
专题： 整数的分解与分拆．
分析： 30克砝码放左边，300克盐放在天秤两边直至平衡，分别得到135克和163克盐；再把 35克砝码放左边，
从135克里取出部分放在右边直至平衡，剩下100克；右边100克不动，左边 从165克里取出部分放入左
边直至平衡，剩下65克；这样就分好了．
解答： 解：1.30克砝码放左边，300克盐放在天秤两边直至平衡，分别得到135克和163克盐．
2.35克砝码放左边，从135克里取出部分放在右边直至平衡，剩下100克．
3．右边100克不动，左边从165克里取出部分放入左边直至平衡，剩下65克．
4．称了3次后得到2份100克，一份65克，一份35克．
答：把300克食盐平均分成3份至少要称4次．
故答案为：4．
点评： 解答此题，应认真分析，采取合理的方法，进行解决．如果一下看不出来，也可采用“试一试”的办法．

9．（10分）A、B两杯食盐水各有40克，浓度比是3：2，在B中加入60克水，然后倒入A中 25 克，再在A、
B中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为 7：3．

考点： 浓度问题．
专题： 浓度与配比问题．
分析： 在这个题中盐的总重量是 不变的，设食盐的总量是10x，所以原来A、B两杯的食盐就是6x：4x，而结果A、
B两杯的食盐 是7x：3x，由于将稀释后的B溶液向A溶液里倒了一部分，而这部分里含有一份盐，再分析
稀释后的 B溶液：100克液体里含盐4份，就可得出多少克液体里含有1份盐，就用100÷4=25克，也就是
倒入A中克数．
解答： 解：设食盐的总量是10x，所以原来的食盐就是6x：4x，
而结果的食盐是7x：3x，
由于将稀释后的B溶液向A溶液里倒了一部分，而这部分里含有一份盐，
再分析稀释后的B溶液：100克液体里含盐4份，
就可得出多少克液体里含有1份盐，就用100÷4=25（克），
答：倒入A中25克．
故答案为：25．
点评： 这个问题的关键是把握盐的总量是从头到尾都一样的，抓住这一点 ，再加上题目给出的都是食盐水的重量，
所以浓度比就是食盐的重量比．

10． （10分）一个正方体的体积为1800立方厘米，将它切成两个长方体，而且两个长方体体积之比为1：2，然 将
其中较大的一个长方体加工成一个最大圆柱体，求圆柱体的体积最大等于 942 立方厘米．（π取3.14）

考点： 简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析：
设正方体的棱长是2r厘米，根据正方体的体积计算公式可 得出：8r
3
=1800，即r
3
=225立方厘米，将其中较
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大的一个长方体加工成 一个最大圆柱体，则加工的圆柱的底面半径最大是（2r÷2），高是正方体棱长的，
进而根据圆柱的体 积计算公式求出圆柱的体积．
解答： 解：设正方体的棱长是2r厘米，则：
3
（2r）=1800，
3
即8r=1800，
3
r=225，
因为两个长方体体积之比为1：2，则高的比是1：2，所以，
高为棱长的，
则较大的一个长方体加工成一个最大圆柱体最大体积为：
π（2r÷2）×（2r×），
=πr×r，
=πr，
=×3.14×225，
=942（立方厘米）；
答：圆柱体的体积最大等于942立方厘米；
故答案为：942．
点评： 解答此 题的关键是：先根据正方体的体积计算公式求出棱长的立方是多少，进而根据长方体中切割最大圆
柱体的 特点，求出切割后的圆柱体的底面半径和高，进而根据圆柱的体积计算公式进行解答即可．

二、解答题（每小题10分，共40分）
11．（10分）如图是俄罗斯方块中的七个图形：
3
2
2

请你用它们拼出（A）图，再用它们拼出（B）图（每块只 能用一次，并且不准翻过来用）．如果能拼出来，就在图
形上画出拼法，并写明七个图形的编号；如果不 能拼出来，就说明理由．


考点： 图形的拆拼（切拼）．
分析： （ 1）题干中7个图形中，能否拼成长方形主要取决于图形4和5，图形4和5看是否能与其它图形拼出没
有缺口的大一些的图形，据此解答；
（2）（B）图中上部有一个放个突出，，所以可以从3、4、5 、7中选一，然后可以的通过平移、旋转、调整
位置即可拼出．
解答： 解：（1）题干中7个图形中，图形4和5，不管跟哪个图形拼都有一个缺口，所以拼不出长方形；

（2）它们能拼出（B）图，拼图如下：
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点评： 本体是典型的图形的拼组，研究时要从关键的图形去分析，通过平移、旋转的知识进行合理的拼接．

12．（10分）在长方形ABCD中，AB=30厘米，BC=40厘米，P为BC上一点，PQ垂直 为AC，PR垂直于BD．求
PQ与PR的长度之和．


考点： 组合图形的面积．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析：
如图所示，连接OP ，则三角形OBC的面积就等于长方形的面积的，又因S
△OPB
+S
△OPC
=S
△OBC
，且
OB=OC=DB，于是求出DB的长度，问题即可迎刃而解．

解答： 解：长方形的面积：40×30=1200（平方厘米），
三角形OBC的面积：1200×=300（平方厘米），
又因30+40=DB，
2
900+1600=DB，
2
DB=2500，
所以DB=50（厘米），
因此OB=OC=50÷2=25（厘米），
所以×25×PR+×25×PQ=300，
×25×（PR+PQ）=300，
PR+PQ=300×2÷25，
=24（厘米）；
答：PQ与PR的长度之和是24厘米．
点评：
解答此题的关键明白：三角形OB C的面积就等于长方形的面积的，求出DB的长度，问题即可逐步得解．
222
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13．（ 10分）2011年9月1日起．我国实行新的税率标准，费用扣除标准调高为3500元月．如下表是工资、薪 金
所得项目税率表：
级数 全月应纳税所得额 税率%
1 3
不超过1500元的部分
2 10
超过1500元至4500元的部分
3 20
超过4500元至9000元的部分
4 25
超过9000元至35000元部分
5 30
超过35000元至55000元部分
… … …
表中“全月应纳税所得额”是值 从月工资、薪金收入中减去3500元后的余额，它与相应税率的乘积就是应交的税款
数．则在这种税率 实行期间：
（1）张先生某个月的工资、薪金收入为8000元，该月份他交款多少？
（2）范老师某月交纳了2245元个人所得税，该月份张先生工资、薪金收入是多少元？

考点： 存款利息与纳税相关问题．
专题： 分数百分数应用题．
分析： 分步计 算，先求出1500元应交纳1500×3%=45（元），再求2000元应交纳2000×10%=200（ 元），剩余的应
交纳（8000﹣3500﹣1500﹣2000）×15%=150（元），把这三部 分加起来即可．
（2）范老师该月份的工资、薪金所得，分四部分，即：1500×3%=45（元） ，4500×10%=450（元），5000×15%=750
（元），（2245﹣45﹣450﹣ 750）÷20%=5000（元）；1500+4500+5000+5000+3500=19500（元） ，解决问题．
解答： 解：（1）1500×3%+2000×10%+（8000﹣3500﹣1500﹣2000）×15%，
=45+200+1000×0.15，
=45+200+150，
=395（元）；
答：这个月他应交纳个人所得税395元．

（2）1500×3%=45（元），
4500×10%=450（元），
5000×15%=750（元），
（2245﹣45﹣450﹣750）÷20%，
=1000÷0.2，
=5000（元）；
1500+4500+5000+5000+3500=19500（元）；
答：范老师该月份的工资、薪金所得是19500元．
点评： 此题考查了学生对税率概念的理解以及对此类问题的解答能力．

14．（10分）一个自 然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的
数码顺序恰 好相反．请问：这个自然数的十进制表示是多少？

考点： 其它进制问题．
专题： 进制问题．
分析： 根据位置原则设一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进 制表达式就是cba，然后都转化为十进制；列
出不定方程式分析解答即可．
解答： 解：设 一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进制表达式就是cba，而且a≠0，c≠0，a、b、c≤2，都 转化
为十进制，列出不定方程为：
22
4a+4b+c=3c+3b+a，
整理得：b=8c﹣15a，
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因为，a≠0，c≠0，a、b、c≤2，
所以，a=1，c=2，b=1；
自然数的十进制表示是：4a+4b+c=16×1+4×1+2=22；
答：这个自然数的十进制表示是22．
点评： 本题关键是转化为十进制；难点是根据a、b、c的取值范围求出不定方程的解．

三、解答下列各题（每小题15分，共30分）
15．（15分）五个人进行单循环象棋比赛 ．规定：每胜一局得2分，负一局得0分，平一局得1分．比赛结束后，
发现五人得分是连续的五个自然 数，而且名次靠前的都胜了名次紧跟其后的人．这次比赛最少有多少场平局？最多
有多少场平局？

考点： 简单统计问题．
专题： 竞赛专题．
分析： 5支队进行单循 环赛，每两队之间进行一场比赛，每支球队进行了4场比赛，共要进行比赛的次数
4+3+2+1=10 ，每场比赛参加能加两分，（分了胜负2+0=2，不分胜负1+1=2），如果全分胜负，总得分=10×2= 20，
由“名次靠前的都胜了名次紧跟其后的人”得至少有4局是分胜负的，得分4×2=8，总得分为 8+12=20，又由
“五人得分是连续五个整数”，1+2+3+4+5=15，0+1+2+3+4 =10，2+3+4+5+6=20 又9×2=18，18+2=20，所以
最多9场胜局，最少1场平局，最多4场平局．
解答： 解：共举行了：4+3+2+1=10（场），
由“名次靠前的都胜了名次紧跟其后的人”得至少有4局是分胜负的，
得分4×2=8，总得分为8+12=20，
又由“五人得分是连续五个整数”，
所以最多9场胜局，最少1场平局，最多4场平局；
因此至少要平一场，最多为四场；
答：这次比赛最少有一场平局；最多有四场平局．
点评： 完成本题的关键是理清思路，明确比赛情况与得分之间的逻辑关系，从而得出结论．

16 ．（15分）（维佳和奥利娅的约会）维佳和奥利娅通常相约在地下铁道最后一站会面．地铁的火车每隔一定的时 间
就开出一辆．第一次维佳等了奥利娅12分钟，在此时间内开出了5辆火车；第二次维佳等了奥利娅2 0分钟，这段
时间内开出了6辆火车；第三次维佳等了奥利娅30分钟，那么这段时间内可能有多少辆火 车开出？

2
考点： 发车间隔问题．
专题： 行程问题．
分析： 假定时间间隔为T分钟，本题要从最差情况考虑：
（1）当维佳刚到站就有一辆车开 走，这时他要再等接近一个时间间隔T分钟，才能看到第一辆车；同理，
当第五辆车开出后再等待接近一 个时间间隔T分钟，所以等待的时间间隔最多为6T；（2）当维佳刚到站就
有一辆车和他相遇，并且当 12分钟结束时，正好又有一辆开出，这时经历了4个时间间隔；综合上面两种
情况可以得出：4T≤1 2＜6T，可得，2＜T≤3；
同理，再根据“第二次维佳等了奥利娅20分钟，这段时间内开出了6 辆火车；”可得出：5T≤20＜7T，可得，
＜T≤4；
所以由，2＜T≤3；＜T≤4；可得：T=3分钟；
30分钟的间隔数为：30÷3=10 个或（30﹣3）÷3=9个，可以看到的车是：10+1=11辆或9+1=10辆；问题得
解．
解答： 解：假定时间间隔为T分钟，根据分析可知：
（1）4T≤12＜6T，可得，2＜T≤3；
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（2）：5T≤20＜7T，可得，＜T≤4；
综合上面两种情况可以得出：时间间隔T只能为3，即T=3分钟；
30分钟的间隔数为：30÷3=10（个）或（30﹣3）÷3=9（个），
可以看到的车是：10+1=11（辆）或9+1=10（辆）；
答：第三次维佳等了奥利娅30分钟，那么这段时间内可能有10辆或11辆火车开出．
点评： 本题关键是根据前两次的等待时间从最差情况考虑，求出时间间隔T分钟的取值范围．

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参与本试卷答题和审题的老师有：齐敬孝；xuetao；suweip；彭京坡；王亚彬； sdhwf；王庆；lbz（排名不分先后）
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2013年2月16日

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