第15届“华杯赛”小学组初赛试题及答案
你爱我像谁简谱-如果我的天空没有你
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试题解答（小学组）
一、选择题
（A）
1
2
【答案】A.
【解答】由图可知, 左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行
四边形内正六边形的面积, 因此阴影部分的面积占平行四边形面积的
2
（B）
3
（C）
2
5
5
（D）
12
图 A-1
1. 如图 A-1 所示,
平行四边形内有两个大小一样的正六边形,
那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 (
).
1
2
.
2. 两条纸带, 较长的一条为
23cm, 较短的一条为 15cm. 把两条纸带剪下同
(A) 6
【答案】B.
【解答】设剪下的长度为 x cm, 那么有：
3. 两个水池内有金鱼若干条, 数目相同.
亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一个
水池内的金鱼被捞完时, 亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是
3:4；捞完第二个水
(A) 112
【答案】B.
（B）168
（C）224
（D）336
样长的一段后, 剩下的两条纸带中,
要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长
度的两倍, 那么剪下的长度至少是 (
)
cm.
（B）7
（C）8
（D）9
23 x
2(15 x) ,
解得
x 7
.
因此,
剪下的长度至少为
7 cm.
池内的金鱼时, 亮亮比第一次多捞 33
条, 与红红捞到的金鱼数目比是 5:3. 那
么每个水池内有金鱼 () 条.
【解答】
解法 1：这是一道工程问题的变形,
每个水池内有金鱼
33 (
5
3
4
3
) 168 （条）.
解法 2：可以认为是比例应用题,
设亮亮第一次捞到 3n 条, 则红红第一次捞
到 4n 条, 依题意, 有
3n
33
5
, 解得 n=24, 因此水池内共有金鱼
7n=168 条.
4n 33
3
4. 从
53
1
2
,
1
3
,
1
4
,
116
,
中去掉两个数, 使得剩下的三个数之和与
567
最接近, 去
掉的两个数是 ( ).
1
（C）
1 , 1
（D）
1 , 1
（A）
1
,
1
（B）
1 ,
2 5
2
6
3
5
3
4
【答案】D.
【解答】通分
1
2
=
210
,
1
=
140
,
1
=
105
,
1
=
84
,
1
=
70
,
6
=
360
.
420
3
420
4
420
5
420
6
420
7
420
显然, 210+84+70=364 最接近
360.
5. 恰有 20
个因数的最小自然数是 ( ).
(A)
120
（B）240
（C）360
（D）432
【答案】B.
【解答】因为 20=2×10=4×5=2×2×5, 因此, 具有 20
个因数的自然数是 3
与 9 个 2 的乘积,
即:3×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1536; 或者是 3 个 3 与 4
个 2
的乘积, 即: 3×3×3×2×2×2×2=432; 或者是 3, 5 与 4 个 2 的乘积,
即: 3
×5×2×2×2×2=240, 因此最小的自然数为 240.
6. 如图
A-2 的大正方形格板是由 81 个 1 平方厘米的小正
方形铺成, B, C 是两个格点.
若请你在其它的格点中标出一点
A, 使得△ ABC
的面积恰等于 3 平方厘米, 则这样的 A 点共有
(
) 个.
图 A-2
（A）6
（B）5
（C）8
（D）10
【答案】C.
【解答】 从最上面的水平线开始将水平线分别记为
第
1、第 2、…、第 10 条水平线, 每条水平线均由左至右
判断哪个格点符合题目要求.
以此穷举法可以得到：第 1
条水平线上没有格点符合要求, 第 2 条水平线上仅有
A
7
符合要求. 如图 A-3 所示, 类似可以得到格点
A
2
, A
1
,
A
6
符合要求, 对称地, 可以得到
A
5
, A
4
,
A
3
,
A
8
符合要求. 故
图 A-3
答案是 C.
二、填空题
2
1
7
2 0.3
7. 算式
1
1.3 0.4
0.25
3 4
【答案】1
8
.
21
的值为
.
2 5 3
2
7
5
【解答】
1
7
2 0.3
=
= 5 + =1 8 .
3
9
7
3
21
1
1.3 0.4
1
0.25 3
4
4
4 10
8. “低碳生活”从现在做起,
从我做起. 据测算, 1 公顷落叶阔叶林每年可吸收
二氧化碳 14 吨.
如果每台空调制冷温度在国家提倡的 26℃基础上调到 27℃,
相应每年减排二氧化碳
21 千克. 某市仅此项减排就相当于 25000 公顷落叶阔叶
林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按 3 台空调计, 该市家庭约有
(保留整数)
【答案】556.
万户.
【解答】
25000141000
（213）5555555.6.
9. 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中, 选出九个数字, 组成
一个两位数、一个三位数和一个四位数, 使这三个数的和等于 2010, 那么其中未
被选中的数字是
【答案】6.
【解答】由于和为 2010
所以四位数首位只能为 1, 设四位数、三位数、两
位数分别为1abc,
def , gh . 设没有被选的数字为
x
, 那么
100(a
d ) 10(b e g ) (c f h) 1010
.
两边 同 时 减 去 a b c d e f
g h,
a b c d e f g h 1 x
45, 则
99(a d) 9(b e g) 966 x .
两边都可以被 9 整除, 因此 x 6 .
由
于
.
事实上, 由去掉 6 以后的 9 个数码 0,
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 可以组成一个两位数,
一个三位数, 一个四位数: 78, 540, 1392, 满足 78 + 540 +
1392 = 2010.
【说明】1) 另一解法. 设四位数、三位数、两位数分别为1abc
,
def , gh , 既
然他们的和是 2010,
三个整数的个位、十位和百位相加, 一定都有进位, 所以进
位的数目至少是 3, 设为 k.
已知：所有加数数字之和＝和的数字之和＋9×k＝3＋
9k, 由于0 1 2 9
45 , 故有：
36 3 9k 45
,
3
33
9
k
42
9
5
,
所以
k 4
,
三个整数
1abc,
def , gh 的数字和是 3
9k 39, 因此没有被选的数字
为 6.
2) 可以询问：有多少不同的
{1abc ,
def
,
gh
}
满足它们的和是 2010 呢？
从 条 件 可 知 ： c f h 20 或 c
f h 10 . 如 果 c f h 20 , 则 b
e g
19 , 否则 c f h b e g 39 , 这是不可能的；当 c
f h 10 时,
b e g 9 , 否 则
c f h b e 9g 9 3 7, 也 是 不 可 能 的 ,
因 为
a b c d e f g h 38 .
故有
c f h 20
b e g
9
(1)
(2)
(3)
用穷举法, (1)的解是{3
,8,9},{4,7,9},{5,7,8};(2)的解是{0,2,7},{0,4,5},{2,3,4
}；(2)
a d 9
的解是{0,9},{2,7},{4,5}；8 个数字 a, b, c, d , e, f
, g , h 所取的数字各不相同, 并且
d 0, g 0
故有
组解；
4,5
, 有不同的 6
4 2=48
1. c , f , h
{3,8,9},
b, e, g
0, 2, 7 ,
a ,
d
组解；
2. c , f , h
{3,8,9},
b, e, g
0, 4,5 ,
a, d
2, 7
, 有不同的
6 4 2=48
组解,
0,9 ,
有不同的
6 6 1 = 3 6
3. c
, f , h
5, 7,8 , b, e, g 2,3, 4 , a , d
即当 c f h 20 时共有 132 组解.
类似,
（1）和（2）交换, 此时 a d 8 ,有 108 组解答.
因此, 共有
240 组答案.
图 A-4
10. 图 A-4 是一个玩具火车轨道,
A 点有个变轨开关,
可以连接 B 或者 C. 小圈轨道的周长是 1.5 米, 大圈轨道
的周长是 3 米. 开始时, A 连接 C, 火车从 A 点出发, 按照
顺时针方向在轨道上移动, 同时变轨开关每隔 1 分钟变换
一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟
10 米, 则火车第 10 次回到 A 点时用了分
钟.
【答案】 2.1.
【解答】根据条件, 在小圈火车行驶一圈用时1.5
10 0.15分钟, 在大圈火
车行驶一圈用时
3 10 0.3
分钟.
设回到
A
点时用时为
t
分钟,
这样我们有下表：
回到 A 的次
数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
回到 A 点时
用时
0.3
0.6
0.9
1.2
1.35
1.5
1.65
1.8
1.95
2.1
AC
经过的轨道
AC
AC
AC
AB
AB
AB
AB
AB
AB
下面我们给出一个一般的解答.
设玩具火车绕小圈轨道 m 圈, 绕大圈轨道 n 圈,
则玩具火车运动路程是
1.5m 3n
. 如果
1.5m 3n
是偶数, 则变轨开关 AC
连通,
S 1.5m 3n
,
时间是
1.5m
3n
10
10
如果
是奇数,则变轨开关AC连通.
1.5
m
3
n
我们寻找最小的 m n , 使
是偶数. 无妨设
1.5m 3n
10K
,
或
3m 6n 20K
,
这里
K
是偶数,
并且有
3
为约数,
是玩具火车运动的时间,
因此最小的
K
是
6.
即
求 m 和 n 使
m
2n 40
.
3n
当 n ＝3,
0
, 故开始玩具火车绕大圈轨道 4
圈之后进入小圈, 时间是
10
12
7.512912
1.2 （分钟）；当
n
＝4,
m
＝5 时,
1
,
2
, 故玩具火车
10 10
10
1.5 6 3 4
2.1（分钟）
绕小圈轨道 6 之后再次进入大圈轨道, 此时
1.5m 3n
＝
10
10
（可以称为一个拟循环）
将 玩 具 火 车 再 次 进 入 大 圈 运 行 ,
运 行 圈 数 记 为
n
2
. n
2
＝ 3 时 ,
1.5
6 3 7
既
3（分钟）,
玩具火车应当再次进入小圈运行, 运行圈数记为
m
2
,
10
1.5 7
1
1.5 6
, 故玩具火车绕小圈运行 7 圈后,
应再次进入大圈运行,
此
然
10
10
1.5 13 3 7
4.05 （分钟）.
1.5m 3n
时
10 10
将玩具火车再次进入大圈运行, 运行圈数记为
n
3
. 既然
1.5 13 3 11
5
1.5 13 3 10
,
10 10
故玩具火车绕大圈运行 4 圈后, 应再次进入小圈运行, 此时
1.5m 3n
1.5 13 3 11
5.25
（分钟）
,
10
10
则玩具火车绕大圈运行 5
圈后,
1.5m 3n
1.5 18 3 11
6
(
分钟
).
10
10
结论玩具火车第 29 次回到 A 时, 变轨开关 AC 连通,
即回到原始状态.