认识实习日记-随身带着六个钻

第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初一组试卷（答案）
第十一届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试卷(初一组)
（红色字为参考答案）
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉

一、.填空
1、计算：

1



4


3

3

(0.25)2

(2)
4



3()5( 2)
3


（ ）
7
8

16



3

3
2、当
m2

时，多项式
ambm1
的值是0， 则多项式
4a

b

5
1

（ 5 ）
2

3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如 果每人分8本书,就剩有1名小朋友
虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有( 6 )名小朋友
E
D
C

4、图l中的长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一
F
H
个正方形EFGH拼成.己知长方形ABCD的面积为120
G
平方厘米,则正方形EFGH的面积等于( 10 )平方厘米


AB
图1
5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和为 ( 4012 )


6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径 相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打
开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若 同时 打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有
水( 288 )立方米


7、已知
S
1234k20052006
 (1)
k1
k

2005

2006
， 则小于S的最大的整数是( 0 )
24816222

8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:
n,(n1),,2,1,0,1,2,,n1,n

为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n的最小值是( 2005 )



-2
-1
0n-1n
-n
-(n-1)

图2

第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初一组试卷（答案）

二.解答下列各题,要求写出简要过程
9、如图3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和
BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影
部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z取3.14)
解: ①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立
体的体积是S,S等于高为10厘米,底面半径是6厘米的
圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆
锥的体积.
②即: S=
A
D
O
B
图3
C
1
2
1
2
×
6
×10×π-2××
3
×5×π=90π,
33
2S=180π=565.2(立方厘米).
答:体积是565.2立方厘米.
10、将21个整数
10,9,8,, 3,2,1,0,1,2,3,,8,9,10

分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少?
解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6.
②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:

10
第一组
9 8
第二组
7 6 5
第三组
4 3 2 1
第四组
0 -1 -2 -3 -4
第五组
-5 -6 -7 -8 -9 -10
第六组

③计算它们的平均值的和:
10987654321012345 6789101
17

1234562
1
答:最大的和是
17
。
2

11、当m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000时,从等式(2m+1 )x+(23M)y+1-5m =0 可以得到10个
关于x和y的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果 有,求出这些公共解.
解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程:

x2y10



3xy40
先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.
②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着: 当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000
时,(2m+l)x+(2- 3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解.
答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.

第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初一组试卷（答案）

12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超< br>l
2
l
3
过36度,请说明理由.
l
1
解 :①在平面上任取一点。,过O点作已知的5条直线的平行线
l
1
,l
2,l
3
,l
4
,l
5


5

4
②将O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的

3
6
00
和恰等于360,所以,至少有一个小角不超过36。

2

7
l
5


1

8

9

10


三.解答下列各题,要求写出详细过程

13.如图4,A、B和C是圆周的三等分点,甲、乙、丙 三只蚂蚁分别从A、B 、C三个点同时出发,甲和乙 沿
圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、 丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁 所有的会
合地点.
解: ①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;
A

l
4
②甲第一次追上乙时爬行的时间=
甲第一次追上乙时爬行的路程=
LL
< br>，
8v6v2v
L
8v4L

2v
L3kL

甲第k+1次追上乙时爬行的时间=,
2v2v
L3kL
)8vL3(14k)L
甲第k+1次追上乙 时爬行的路程=
(
2v2v
因为3×(l+4k)L是圆周周长的整数倍,所以,甲 总在B点追上乙
③在时刻
B
图4
C
L3kLL3kL3k1
)5v3L6kL()L
,丙爬行的路程=
(
2v2v2v2v2 2
L3kL
)5v9LL
。因为丙是从C出发顺时针爬行，所以 当k=1时,上式是
(
2v2v
丙爬行至B处,意味甲、乙、丙能够在B点会合.
答:甲、乙、丙仅仅在B处或合.

14、己知m，n都是正整数,并且
111111
A(1)(1)(1)(1)(1)(1)
，
2233mm
111111
B(1)(1)(1)(1)(1)(1)
2233nn
m1n1
n
①证明:
A
，
B
2m2

1
，求m和n的值.
26
111111
解:①
A(1)(1)(1)(1)(1) (1)

2233mm
②若
AB

第十一届全国 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛初一组试卷（答案）
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)

23m23m
12m134m1m1


23m23m2m
n1
同样,
B

2n
②由题设,
m1n3n

，

，


2m2n2m2n26mn13mn1313n
13n
所以,
m
，
13n
13n13(n1313)1313
m13

13n13n13n
AB

即13+n是13×13的因数,

13×13只有3个因数:1，13，13
2
所以,

13+n=13
2
, n=13
2
-13=156, m=12.

求出正整数m,n另一方法:使
AB
m1n1111111

，


2m2n2m2n26mn13
设m =Kα, n=Kb, (α,b)=1, 代入上式,
11ba
13

KaKb2Kab
(b一α)和α,b都互质,一定整除K. 记
d
K
是正整数,
ba
则有
ba
11


dab13
由上式和b >α,b=13, α=1,d=l 所以,K=12,m和n有唯一解 m=13 n =156.

答:m=13n =156.

特别说明: 因给各题的解答未必唯一,上述解答仅供参考.