第18届华杯赛决赛真题答案(小高组b卷)
正月初三是什么日子-飞红滴翠记黄山
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 B 参考答案
（小学高年级组）
5
6
7
一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）
题号
1
2
3
4
6.5
8
3
答案
50
6, 7
3466
67
136
1000
7
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9.
答案：106
解答.
图中共有 5 条最长的水平线段和 7
条最长的垂直线段, 任意两条水平与任意两条垂直
的就构成一个长方形, 一共有
(4
3 2 1) (6 5 4 3 2 1) 10 21 210
(个).
其中含“*”号有
4×15+4×15－4×4＝120－16＝104
(个).
所以不含含“*”号有
210－104＝106 个.
10.
答案：9
解答. 由于三角形
AFC 的面积和四边形 DBEF 的面积相等, 可得出三角形 AEC 的面积等于
1
三角形 BDC 的面积. 由 BD:DA = 1:2, 得三角形 BDC
的面积等于三角形 ABC 面积的
3
, 即
11
三角形 AEC
的面积等于三角形 ABC 面积的
3
. 那么 EC 等于 BC 的
3
, 得出 EC = 6, 进
而 AD = 6, BD = 3, 最终
AB = 9.
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11.
答案：61
解答.
设有
n 个人, 每人植树 x 棵, 则
nx 2013
31161
.
可以说明：
n 311
.
若
n 33
,
则每人植树
61
棵.
如果
5
人不参加植树,
则有
305
棵树, 其余 28 人每人多植 3 棵, 才种
84 棵树, 完不成任务. 可见,
n
311
.
考虑 n = 61. 此时, x = 33. 如果 5
人不参加植树, 则有 165 棵树要让 56 人多植树. 若每人多植
2 棵, 则 56
人多植了
56
2
112
（棵）树,
完不成植树任务; 若每人多植 3 棵, 则 56 人多植
了
563
168
（棵）,
完成了植树任务.
所以,
n =
61
符合要求.
12.
答案：59
解答.
①
观察立体右面的正方体, 标有 1 个黑点的侧面到标有 2 个黑点的面, 再
到标有
4 个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.
② 观察中间上面的正方体,
既然从 1 个黑点到 2 个黑点, 再到 4 个黑点是逆时针, 则该
正方体标有
6 个黑点的面的对面标有 1 个黑点.
③ 观察立体左面的正方体, 正方体标有 3
个黑点的面紧邻标有 2 个黑点的面, 结合观察
立体中间上面的正方体,
可知该正方体中, 标有 4 个黑点的侧面的对面的黑点有 3 个, 且底
面标有 5
个黑点. 并且可知, 从 1 个黑点到 2 个黑点, 再到 3 个黑点是顺时针.
所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为 1、2 和 3 的三个侧面顺时针围绕公共顶点, 1
对
6, 2 对 5, 3 对 4. 所以,
立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面有 6 个黑点; 立体中左面
的正方体紧贴中间正方体的侧面有 6 个黑点; 立体中间上面的正方体紧邻下方正方体的侧面
有 5 个黑点; 立体中间下面的正方体后面的侧面有 2 个黑点, 底面有可能是有
1 个黑点. 所
以立体中间下面的正方体紧贴其他 3 个正方体的 3
个侧面黑点总数最少是 8 个.
4 个正方体黑点总数是 84, 3
对紧贴的侧面黑点总数最多是 25, 所以, 立体的侧面（包
括底面）所有黑点的总数最多是 59.
三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
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13.
答案：4
解答. 用右图代替题目中的
2
1
小长方形. 对于拼成的正方形图形, 记过左上顶点
的对角线为甲对角线,
另一条对角线为乙对角线.
图 A
首先, 有如下观察:
1)
当甲对角线是对称轴时,
a) 左上角的
2 2
小正方形是图
A
的
(1), (2),
(3), (4)
中之一;
b) 右下角的
2 2
小正方形是图
A
的
(1), (2),
(5), (6)
中之一;
2)
当乙对角线是对称轴时,
a) 右上角的
2 2
小正方形是图
A
的
(1), (2),
(7), (8)
中之一;
b) 左下角的
2 2
小正方形是图
A
的
(1), (2),
(9), (10)
中之一;
c)
若右上角的
2 2
小正方形是图
A
的
(1), (2), (7), (8)
中的一个,
则左下角的
2 2
小正方形分别是图
A
中的
(1), (2), (9), (10);
c) 若左上角的
2 2
小正方形是图
A
中的
(1), (2),
(3), (4)
之一,
则左下角的
2 2
小正方形分别是图
A
中的
(1),
(2), (5), (6).
根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星,
再去掉旋转重合的, 得到以下 4 种
图形:
14.
解答. 记第一种、第二种和第三种分类分别分了 i, j, k
类, 每类的盒子数目分别为
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a
1
, a
2
,
,
a
i
,
b
1
, b
2
,
, b
j
,
c
1
,
c
2
,
, c
k
,
令
n i j k
.
1) 因为
a
1
,
a
2
,
,
a
i
,
b
1
,
b
2
, ,
b
j
,
c
1
,
c
2
,
,
c
k
包含了 1 到 30 的所有整数, 所以
n
30
.
另一方面,
3155 a
1
a
2
a
i
b
1
b
2
1
2 30
3031
2
b
j
c
1
c
2
c
k
465 3155,
所以
n i j k 30
,
三种分类各自分类的类数之和是
30.
2)
不妨设
a
1
30
,
记这
30
个盒子的类为
A
类.
因为
i j k 30
,
必有
j
14
或
k 14
,
不妨设
j
14
. A
类的
30
个盒子分到这不超过
14
个类中去,
必有一类至少有三个
盒子,
这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.
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