有点舍不得歌词-寂寞在唱歌阿桑

让学习更有效

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题
B
（小学高年级组）


一、填空题（每小题
10
份，共
80
分）

1.

计算：
57.6
8184
5
28.8
5
14.48012
1
2

________
．

【难度】★

【考点】计算：提取公因数

【答案】
12
1
2

【解析】

原式5 7.6
81841
5
28.8
5
14.480122
28.8
161841
5
28.8
5
14 .48012
2
28.8
2001
5
14.4801 2
2

28.84014.424012
1
2
12
1
2

2.

甲、乙、丙、丁四人共植树
6 0
棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是
其余三人的三分之一，丙植 树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树
________
棵．

【难度】★★

【考点】应用题：分数应用题

【答案】
13
【解析】

甲
=
总数的三分之一< br>=20
，乙
=
总数的四分之一
=15
，丙
=
总数的五分之一
=12
，所以丁
6020151213
（棵）

3.

当时间为
5
点
8
分时，钟 表面上的时针与分针成
________
度的角．

【难度】★★

【考点】行程：时钟问题

【答案】
106
【解析】
< br>5
点时，时针分针夹角
150
度，每分钟追赶
60.55.5度，所以
8
分钟追赶
5.5844
度，所以
成
15 044106
度


4.

某个三位数是
2< br>的倍数，加
1
是
3
的倍数，加
2
是
4
的倍数，加
3
是
5
的倍数，加
4
是
6
的 倍数，
那么这个数最小为
________
．


1

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【难度】★★

【考点】数论：余数、最小公倍数

【答案】
122
【解析】

这个三位数减去
2
得 到
3
、
4
、
5
、
6
的公倍数，取三位数< br>120
，所以最小值为
122
．


5.

贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一
种这样的星球局势，共可以组成
________
个两两都是友国的三国联盟．

【难度】★★★★

【考点】计数：组合计数

【答案】
7
【解析】

用
A
1
,A
2
,A
3
,A
4
,A
5
,A
6
,A
7
这< br>7
个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国
关系．则每个国家 连出
2
条虚线，
4
条实线．共
7227
条虚线，其余 为实线．

首先说明这
7
个点必然由
7
条虚线依次连接为一 个闭合回路．
A
2
必与两个点连接虚线，不妨记为
A
1
,A
3
，而
A
3
必然再与一个点连接虚线，记为
A
4< br>；

A
4
虚线连接
A
5
，否则剩下
3
个点互为敌国关系；

A
5
虚线连接
A
6
，否则剩下两个点无法由
2
条虚线连接；

A
6
虚线连接
A
7
，最后
A
7
只能虚线连接
A
1
．

最终连线图如下．


只要选出的三个点没有任何两个相邻则 满足条件．有
135
，
136
，
146
，
246< br>，
247
，
257
，
357
，这
7
种．（为了直观我们用
1,2,3,4,5,6,7
分别代表
A
1
, A
2
,A
3
,A
4
,A
5
,A
6
,A
7
）


6.

由四个互不相同的非 零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为
106656
，则这些四位数中最
大的 是
________
，最小的是
________
．

【难度】★★★

【考点】数论
:
位值原理

【答案】
9421
，
1249
【解析】

设其中 最小的四位数为
abcd
，一共可组成
432124
个不同的四位数 ，由于每个数字在每位
上均出现
6
次，则
24
个数和为
6

abcd

1111106656
，则四个数字之和为
16
，所以最大
和最小的可能为，
9421
和
1249、
8521
和
1258
、
8431
和
1348
、
7621
和
1267
、
7531
和
13 57
、
7432
和
2347
、
6541
和
1456
、
6532
和
2356
．



2

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7.

见右图，三角形
ABC
的面积为
1
，
DO:OB1:3
，
EO:OA4:5
，则三角形
DOE
的面 积为
________
．


【难度】★★★★

【考点】几何：等积变形

【答案】
11
135

【解析】

C
y
D
E
5x
4x

O
12x
A
15x
B
设三角形
DOE
的面 积为
4x
，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为
5x,12x,15x
，再设三角
形
DCE
的面积为
y
，则有
CEy
B E

4x12x

y4x5x
12x15x
，得< br>y
144
11
x
，则三角形
DOE
的面积为
4

11
451215
144
135
．

11

8.

三个大于
1000
的正整数满足：其 中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么
这
3
个数之积的末尾< br>3
位数字有
________
种可能数值．

【难度】★★★★★

【考点】组合：分类讨论数论综合

【答案】
4
【解析】

设三个数的个位分别为
a,b,c

⑴

如果
a,b,c
都相等，则只能都为
0
；

⑵

如果
a,b,c
中有两个相等，

①
a,a,c
且
ac
，必有
ca10a
，则
c10
，与
c
为数字矛盾；

②
a,a,c
且
a c
，则有
caa,aa10c
，则
a5,c0
；< br>
⑶

如果
a,b,c
都不相等，设
abc，则
cb10a,ca10b
，则
c10
，与
c
为数字矛盾；

综上三个数的个位分别为
0
，
0
，
0
或
0
，
5
，
5
；

⑴ 如果都为
0
，则乘积末尾
3
位为
000
；

⑵如果为
0
，
5
，
5
①如果个位为
0< br>的数，末尾
3
位都为
0
，则乘积末尾
3
位为
000
；

②如果个位为
0
的数，末尾
2
位都为< br>0
，则乘积末尾
3
位为
500
或
000
；< br>

3

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③如果个位为
0
的数，末尾
1
位为
0
设末尾两位为
c0
，设另外两个末尾
2
位为
a5 ,b5
，则
a5b5100ab50

ab

2 5
，若

ab

为奇数，则乘积末尾
3
位为75
；若

ab

为偶数则乘积
为
25，在乘上
c0
,
无论
c
为多少，末尾三位只有
000< br>，
250
，
500
，
750
这
4
种 ．综上，积的末尾
3
位有
000
，
500
，
250
，
750
这
4
种可能．


二、解答下列 各题（每题
10
分，共
40
分，要求写出简要过程）

9.

将
11
的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．

【难度】★★★★

【考点】数论：完全平方数

【答案】不能

【解析】

原数的数字和为
123L 9101148
，为
3
的倍数，而交换数字位置不会改变数字和，
所以无论怎么调整得到的数一定为
3
的倍数；而一个平方数如果为
3
的倍数 ，则一定为
9
的倍数，
而
48
不是
9
的倍数，所以 无法通过交换数字位置得到一个完全平方数．


10.

如右图所 示，从长、宽、高为
15
，
5
，
4
的长方体中切走一块长、 宽、高为
y,5,x
的长方体（
x,y
为整数），余下部分的体积为
120
，求
x
和
y
．

x
4
y

15
5
【难度】★★★

【考点】几何：长方体正方体

【答案】
x3,y12

【解析】

1554y5x120

解得
xy 36
；
361362183124966
，因为
x, y
为整数，且
x4,y15
，

所以
x3,y12
．


11.

圆 形跑道上等距插着
2015
面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出 发
点时，甲跑了
23
圈，乙跑了
13
圈．不算起始点旗子位置，则甲 正好在旗子位置追上乙多少次？

【难度】★★★★

【考点】行程问题：环形跑道

【答案】
5
次

【解析】

设每两面旗子间距离为
1
，即跑道周长为
201 5
．因为
v
甲
:v
乙
23:13
，设
v
甲
23x
，
v
乙
13x
，甲

4

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要 追上乙则需比乙多跑
n
圈，

23x13x

t201 5n
，
10xt2015n
，即甲追上乙时所花时间
t
403 n403n
2x
，则甲追上乙时，所走路程为
23x
2x

23403
2
n
；要恰好在旗子位置追上，则所走路
程一定为整数，即< br>n
为偶数，所以
n2,4,6,8,10
（最多多跑
10
圈 ）；综上所述，甲正好在旗
子位置追上乙
5
次．


12.

两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得
11
分且对方少于
10
分者胜，
10
平后多得
2
分者胜．两人的 得分总和都是
31
分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有
多少种 可能？

【难度】★★★★

【考点】组合：体育比赛

【答案】
8
【解析】

设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如 果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，
所以甲第二局输第三局赢．

甲 第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得
4
分，所以乙第二局至少赢甲
4
分及以上，所以
只能以
11
分取胜．

所以第二局的比分可以为：< br>0:11,1:11,2:11L7:11
，共
8
种．（乙在第二局赢了多少分 ，甲都可
以通过一、三局赢回多少分使两人总分相同，所以甲在第二局得分从
0~7
都 可能；例如三局比分
分别为
20:18
、
0:11
、
11: 2
）


三、解答下列各题（每小题
15
分，共
3 0
分，要求写出详细过程）

13.

如右图所示，点
M< br>是平行四边形
ABCD
的边
CD
上的一点，且
DM:MC1 :2
，四边形
EBFC
为平行四边形，
FM
与
BC
交于点
G
．若三角形
FCG
的面积与三角形
MED
的面积之 差为
13
cm
2
，
求平行四边形
ABCD
的面积．


【难度】★★★★

【考点】几何：蝴蝶模型

【答案】
60
【解析】
连接BD
QDEBC

DEEM
BC

DM1
MB

MC

2


S
V
DEM
S

SV
CEM

S
V
DEM

1

V
CEM
S
V
CBM
S
V
BDM
2令
S
V
DEM
a

则
S
V
CEM
S
V
BDM
2a，S
V
CBM
4a< br>
S
V
BCF
S
V
BCE
246 a


5

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QMBCF


CG
GB

CF
MB

EB3
MB

2


S
V
GCF
CG3
S

GB

2

V
BGF
S
3
V
GCF

32
S
318
V
BCF

5
6
5
a

Q
S
V
GCF
S
V
DEM
13


18
5
aa13

a5

Q
S
V
BCD
S
V
BDM
S
V
BCM
2a4a6a

S
Y
ABCD
2S
V
BCD
26a12a12560c m
2


设
“
一家之言
”
、
“< br>言扬行举
”
、
“
举世皆知
”
、
“
知 行合一
”
四个成语中的每个汉字代表
11
个连续的非
零自然数中的一 个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个
汉字所代表的数之和都是
21
，则
“
行
”
可以代表的数最大是多少
?
【难度】★★★★★

【考点】组合：最值构造

【答案】
8
【解析】经观察不难发现其中
“
一
”
，
“
言
”
，
“
举
”
，
“
知
”
，
“
行
”
，各出现两次，其它汉字只有一次．令
这五个汉字所代表的数依次为
a,b,c,d,e
（均为正整数），

设< br>11
个连续自然数为

x1

,

x2

,,

x11

，

则

x1



x2



x11

abcde214
，

即
11xabcde18
，则
x0
，且
abcd1 23410
时，
e
最大为
8
，
11
个数为< br>1
到
11
．可构造出
“
一家之言
”
、
“
言扬行举
”
、
“
举世皆知
”
、
“知行合一
”
分别为
“3
，
5
，
11
，
2”
，
“2
，
10
，
8
，
1”< br>，
“1
，
9
，
7
，
4”
，
“4
，
8
，
6
，
3”
．

综上，
“
行
”
可代表的数最大为
8
．





6

14.

让学习更有效







































7