人大附中华杯赛资料：《余数及同余(一)》配套练习题
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《余数及同余（一）》配套练习题
一、解答题
1、949除以一个两位数所得的余数是4，则这个两位数最大是多少？
2、
5
999
＋23
1000
的个位数字是几？
它除以7的余数是几？
3、算式7＋7
2
＋…＋7
1990
计算结果的末两位数字是多少？
4、算式2
2012
＋3
2012
＋7
2012
＋8
2012
得数的末位数字是多少？
5、
6、2001×2002×2003×…×2011×2012的积的末三位数是多少？
7、用某个自然数去除73、101、143所得到的余数相同，那么这个数最大是多少？
8、1937，2007，2112，2252除以某个自然数的余数全都相同，那么这个自
然数最大是多少？
千里之行 始于足下
1
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9、在1、2、3、…、2012这2012个数中
，至多能选出多少个数，使得选出的数中任何3个数的
和都是3的倍数？
10、已
知3个连续自然数依次是11、9、7的倍数，而且都在500和1500之间，那么这3个数的
和是多
少？
答案部分
一、解答题
1、
【正确答案】：63
【答案解析】：这个两位数肯定是949－4＝945的约数，
而945＝3
3
×5×7，它最大的两位数约数是3
2
×7＝63．
【答疑编号10256045】
2、
【正确答案】：6、1
【答案解析】：
5
999
的个位数字是5，
23
n
的个位数字变化周期是4，依次为：3、9、7、1，
所以23
1000
的个位数字是1。
因此5
999
＋23
1000
的个位数字是5＋1＝6。
5
999
除以7余6，
23
1000
除以7余2，
所以5
999
＋23
1000
除以7余6＋2－7＝1。
【答疑编号10256046】
3、
【正确答案】：31
2
千里之行 始于足下
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【答案解析】：7的n次方除以4的余数按照3，1循环；所以这个和除以4余3；
7的n次方除以25的余数按照7，24，18，1循环；所以这个和除以25余6。
除以4余3，除以25余6最小的数是31。
所以算式计算结果的末两位数字是31。
【答疑编号10256047】
4、
【正确答案】：4
【答案解析】：2的n次方的个位数字按2，4，8，6循环；
3的n次方的个位数字按3，9，7，1循环；
7的n次方的个位数字按7，9，3，1循环；
8的n次方的个位数字按8，4，2，6循环；
而2012整除4，由6＋1＋1＋6＝14，
于是，所求末位数字为4。
【答疑编号10256048】
5、
【正确答案】：76
【答案解析】：
只需求24
2012
的末两位数字即可，
而24
2
的末两位数字为76，
76
2
的末两位数字仍为76，
于是，24
2012
的末两位数字为76。
【答疑编号10256049】
6、
【正确答案】：6
【答案解析】：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12＝479001600。
我们也可以用简单的方法得到答案。
第一末两位是0；
第二我们只需要看百位上面的数字是几就可以了，通过计算，百位数数字是6。
【答疑编号10256050】
3
千里之行 始于足下
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7、
【正确答案】：14
【答案解析】：因为余数相同，那么这个数应该能整除它们的差。
101－73＝28
143－101＝42
求得（28，42）＝14．
【答疑编号10256051】
8、
【正确答案】：35
【答案解析】：2252－2112＝140
2112－2007＝105
2007－1937＝70
（140，105，70）＝35
【答疑编号10256052】
9、
【正确答案】：671
【答案解析】：容易看出，要想选出尽可能多的数使得其中任意3个数的和都是3的倍数，
应该使所有选出的数被3除的余数相同．
而在1、2、3、…、2012这2012个数中，
被3除余0的数有670个，
被3除余1的数有671个，
被3除余2的数有671个，
所以最多可以选出671个满足要求的数．
【答疑编号10256053】
10、
【正确答案】：3105
【答案解析】：由已知，第一个数能被11整除，被9除余8，被7除余5．
而被9除余8的数有：8、17、26、35、44、53、62、71、80……
被7除余5的数有：5、12、19、26、33、40、47、54、61……
所以满足被9除余8且被7除余5的数是一个以26为首项，
以63为公差的等差数列：26、89、152、215、278、341……．
4
千里之行 始于足下
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其中第一个能被11整除的是341．
因为11、9、7的最小公倍数是11×9×7＝693，
所以所求的第一个数被693除余341，又它在500～1500之间，
因此只能是341＋693＝1034．
于是所求三个数的和是1034＋1035＋1036＝3105．
【答疑编号10256054】
千里之行 始于足下
5