第21届华杯赛初赛试题(初一组)及解析
英语四级报名网站-老牛舐犊
咨询电话：400-666-9695
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷（初一组）
一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将
表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．代数和
1 2008 2 2007 3 2006 4 2005L
1003100610041005
的个
位数字是（
）
B.8 C.9 D.0 A.7
【答案】B
【解析】只需考察每个组合的个位数的乘积，发现这 2015 个的组合中，个位数的乘积每十
个一循环，观察这个循环中的乘积和：
1 8+2 7 3 6+4
5 5 4 6 3 7 2 8 1 9 0 0 9=0
，因此每个循环的
个位数和为 0，观察最后循环外的几个数的乘积和：
1
8+2 7 3 6+4 5=8
。因此最后得到的个位数为 8
2．已知
1
A.
a
C.
a
）
2 3
3 2
B.
a
D.
a
【解析】
a, a
3
, ab
2
, ab
中易知只有
ab 0
，故
ab
最大，排除
B,C；另外由于
1 a 0
得
a
2
1
，即
a a
3
，排除 D，所以选 A
3．在数轴上，点
A
和点
B
分别表示数
a
和
b
，且在原点
O
的两则，若
a b 2016
，
科网ZXXK]
[来源:学
AO 2BO
，则
a
b
（
）
C.
672 D.0
A.6048
【答案】C
B.
6048
【解析】由
a b 2016
且 A,B 在 O 点两侧以及
a
2 b
知
a, b
的解有两种可能性：
i.
a 0, b 0
则可解得
a 2016 1344
，
b
2016 672
，
a b 672
2
3
1
3
咨询电话：400-666-9695
4．如右图所示，三角形
ABC
是直角三角形，
ABC 60
o
，若在直线
AC
或
BC
A
上取一点
P
，使得三角形
PAB
为等腰三角形，那么这样的点
P
的个数为（
）
A.4 B.5 C.6 D.7
C
B
【答案】C
【解析】考察不同的等腰三角形的顶角：
若 P 为顶角，则 P
必位于 AB 的中垂线上，而 AB 中垂线与直线 AC,AB 的交点有两个，故这样
的等腰三角形有 2 个；
若 A 为顶角，则 AB 为其中一条腰，将线段 AB 绕
A 点旋转，与直线 AC,AB 的交点有三个，但
是由于
ABC 60
，此旋转后的直线与 BC 延长线的交点与以 P 为顶点的一个三角形重合，
故这样不同的等腰三角形有 2 个；
若 B 为顶角，同样 AB 为其中一条腰，将线段
AB 绕 B 点旋转，与直线 AC,AB 的交点同样有三
个，同样与 P
为顶点的一个三角形重合，故不同的三角形只有 2 个；
综上这样的点 P 的个数为 6 个。
5．如右图，乙是主河流甲的支流，水流流向如箭头所示。
主流和支流的水流速度相等，船在主流和支流中的静水
速度也相等。已知
AC
CD
，船从
A
处经
C
开往
B
处
甲
D
C
乙
B
A
需用 6 小时，从
B
经
C
到
D
需用 8 小时，从
D
经
C
到
B
需用 5 小时。则船从
B
经
C
到
A
，再从
A
经
C
到
D
需
[来源:学+科+网]
用（ ）小时。
B.
12
1
A.
13
3
【答案】B
【解析】
1
3
1
C.
11
3
D.
10
1
3
[来源:学科网]
设
AC CD a
，
CB b
，静水速度为
v
，水流速度为
s
。由题意得
a b
6
v s
v s
a b
8
v s v s
a b
5
v s v s
[来源学科网ZXXK]
由后两个式子可以得到
1
8 1
5
代入第一个式子化简得到
b 2a
，
v s a b v s a b
船从 B 经 C 到
A，再从 A 经 C 到 D 需用时：
b a 2a
8 5 21a 8b v
(2a b) a
s v s v s a b a b a b
将
b
3 3
a
b
2
a
代入得到
a 2a
21a 8b 21a 16a
37 1
12
咨询电话：400-666-9695
6．甲、乙、丙、丁四种商品的单价分别为 2
元，3 元，5 元和 7 元，现从中选购了 6 件共花
费了 36 元。如果至少选购了 3
种商品，则买了（
）件丁商品。
D.4 A.1 B.2 C.3
【答案】D
【解析】由于至少选购了 3 中产品，故丁产品最多买 4
件，如果丁产品少于 4 件，则 6 件总
花费
7 3+5 2+3
1=33
元，矛盾，故丁必须买 4 件；同时如果丁买 4 件，丙与乙各买
一件，总花费正好是 36 元。
综上丁买了 4 件
二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）
7．如右图，在平行四边形
ABCD
中，
AB 2AD
，点
O
为平
行四边形内一点，它到直线
AB, BC,
CD
的距离分别为
a, b, c
，
A
D
c
a
b
O
B
C
且它到
AD
和
CD
的距离相等，则
2a b c
【答案】0
。
【解析】考察平行四边形的两条高，AB 为底边的高为
a c
，AD
为底边的高为
b c
，由面
积不变定理有
S
AB
a c
AD
b
c
，得
b c 2
a c
，即
2a c b 0
8．如右图所示，韩梅家的左右两侧各摆了 3
盆花，韩梅每次按照
以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧
离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有
花顺序。
【答案】20
【解析】
韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，我们将三个左
和三个右组成的排列（例如：左左右左右右 是一种排列）分别对应一种搬花的顺序，并且
不同的排列对应不同的搬花的顺序。所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个
数相同。故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数。对于这种排列只需要考虑在 6
种不同的搬
个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有
C
6
20
。
3
咨询电话：400-666-9695
9．如右图，在等腰梯形
ABCD
中，
AB∥CD
，
AB 6
，
CD
14
，
E
A
D
B
C
AEC 90
o
，
CE CB
，则
AE
2
【答案】84
【解析】
.
E
A
B
D
G
F
C
AG BF h
，
CG 10
，
CF 4
AC
2
AG
2
CG
2
h
2
100
CE
2
BC
2
BF
2
CF
2
h
2
16
AE
2
AC
2
CE
2
84
10．已知四位数
x
是完全平方数，将其 4
个数字各加 1 后得到的四位数仍然是完全平方数，
则
x
【答案】2025
。
【解析】设
x a
，另一个数为
b
则有
b
a 1111
，即
a b
b a
1111
2 2 2 2
由于
1111
10111
，且
101,11
均为质数；故
a b
101, b a 11
，解得
a 45
故
x
2025
[来源学科网]