第11届华杯赛初赛试题详细解答
幼儿园小游戏-三年级英语试卷分析
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛试卷（小学组）
（时间2006年3月18日10：00～11：00）
注意：1、因为是平时练习，所以每个题中间留有空格，以便写详细的解题过程，
考试的时候也是要有过程的，只是过程写在草稿纸上！
2、对华杯赛初赛历届考过的所有题型一定要熟悉，相关公式、结论一定
要背诵！
一、选择题 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字
母写在
每题的圆括号内（每小题6分）.
1.
如图1所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，
图1
得到小正方形ABCD.
取AB的中点M和BC的中点N，剪掉
MBN
得五边形AMNCD.
则将折迭的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（ ）.
【考点与分析】答案选D.几何图形折叠、翻转、展
开图，这题最保守的做法是，按照题
意操作得到图形，考试的时候也可以撕草稿纸来操作！这题可以用还
原法--倒推！！由
第3个图，及对称性得解。
2．2008006共有（ ）个质因子. (A) 4 （B） 5 （C）
6 （D） 7
【考点与分析】答案选C.数论计数：计算质因数个数，注意本题是求质因数的
个数，不
是因素的个数。关键是分解质因素，这种大数如果用短除法就弱爆了。先分析2008006<
br>这个数，很明显，奇数位数字和=6+2=8=偶数位数字和，因此2008006能同时被7、11、<
br>13整除，而7×11×13=1001，因此2008006=7×11×13×2006=7×11×
13×2×1003，难道
1003是质数吗？1003附近是32
2
=1024，分
解1003也就是要找能够整除1003的小于
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32的质数，结果找到17,1003=17×59，因此2008006=2×7×11×13
×17×59，有6个质
因子。另一种解法可以用位值原理，2008006=2006000+200
6=2006×1001，接下来的
解法相同。
【延伸】
101、103、107、
109是质数；1009是质数；1003、1007都是合数，1001=7×11×13
1003=17×59 1007=19×53 ；
关于年份2016（注意到明年是2016年，华杯赛很喜欢考年份）
2016237
20180062016000201620161001
20180062371113
522
52
那么2016有 个质因子，质因子都是几？，2018006有
个质因子，质因子都
是几？
3.
奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”.
聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的
元旦一定是（ ）.
（A）星期一
（B）星期二 （C）星期六 （D）星期日
【考点与分析】答案选A。推理题
。一年有多少天？闰年366天、平年365天，闰年的
年份是4的倍数，注意明年2016是闰年有3
66天，2016年2月份有29天（注意这个出
题点）。对于本题，2006年是平年，只有365天
，52周是52×7=364天，那为什么会有
53个星期日呢？说明2006年的元旦和最后一天都是
星期日嘛。因此2007年的元旦是
周一。
【延伸】若今天是星期六，则从今天起10
2006
天后的那一天是星期
。（填1-7的数
字）。
4.
如图2，长方形ABCD中AB︰BC = 5︰4. 位于A点的第一
只蚂蚁按
ABC
DA
的方向，位于C点的第二只
蚂蚁按
CBADC
的方向同时出发
，分别沿着长
方形的边爬行。如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只
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图2
蚂蚁第二次相遇在（ ）边上.
（
A
）
AB （B） BC （C）
CD （D） DA
【考点与分析】答案选D.行程问题、赋值法。对于选择题和填空题的
“无头题”，可以
结合题意给出一定的数值，以方便计算。不妨假设AB=5米、BC=4米，两只蚂蚁
在B
点相遇（相遇就是同时到达B点），应该设两只蚂蚁速度是多少才合适呢？显然设为5
米秒
、4米秒，刚好1秒后相遇，那么可以利用下表解决哦：
第一次相遇
第二次相遇
合走
18
米
合走
36
米
用时
1
秒
用时？
很明显，第二次相遇用时2秒，这时候两只蚂蚁各自走的路程为：10米、8
米。很显然，
第二次相遇地点在DA边上。
【延伸】第3次、第4次……第10次相遇地点在哪？第2006次相遇地点在哪？
5.图3中ABCD是个直角梯形（
DABABC90
o
）.
以
AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米.
连接BE交AD于P，再连接PC. 则图中阴影部分的面积
是（ ）平方厘米.
（A）6.36 （B）3.18
（C）2.12
（D）1.59
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图3
【考点与分析】答案选B.
几何面积，等积变形，注意到题目的隐含条件，长方形或正方形、梯形所给的平行线。而且这个题目，只有一个已知条件是面积
6.36平方厘米，那么最后的结果肯定<
br>与6.36有关？是几分之几呢？能不能猜出来？当然考试还是要算的……
S
PDC
PDBC
S
PDB
，所以
S
阴
S
PDE
S
PDC
S
PDES
PDB
S
BDE
又，
S
BDE
DEAB
S
ADE
，一半模型出来了，所以选B.
【延伸】请认真体会，上面两个利用平行线等积变形的写法。
6.五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮, 排成一排表演节目.
如果贝贝和妮妮不相邻, 共有（ ）种不同的排法.
(A) 48
(B) 72 (C) 96 (D) 120
【考点与分析】答案选
B.排列与组合。捆绑排除法或者插空法。这题跟5人排在一起照
相，甲乙不能相邻。是等价的，所以是
个很常规的题型。
53
24A
3
1204872
，A
5
5
是5个人的全排列，减去贝贝和妮妮相捆绑排除法：
A
5
邻的就可以了，5个位置，贝贝和妮妮相邻的位置有4种情况（AB、BC、CD、DE），
然后贝贝
和妮妮还可以交换位置，所以×2，排好两个有特殊要求的，剩下3个全排列，
3
因此是
24A
3
插空法：没有特殊要求的先排，有特殊要求的作为“空”插进去。3
个人全排列，有4
32
A
4
324372
个空，留给2个有特殊要求的人，因此，
A
3
二、A组填空题（每小题8分）
7. 在算式
第 十 一 届
＋
华 杯 赛
2 0 0 6
中，汉字“第、十、一、届、华、杯、
赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的
7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法
算式成立.则“第、十、一、届、
华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于 . <
br>【考点与分析】答案填35.数字谜、数字和。2006年华杯初赛，关于年份2006这是第二
个题了，再次说明华杯出题者喜欢出年份的数字。这题有两种解法，第一种，超级无敌
大枚举，必须掌握
；第二种，利用余数的性质，比较难理解。
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方法一：关于数字谜问题，首先要看首位、末位。显然“第”=1，不然2006中的0出
不来，有0
说明进位了。“届”+“赛”可以等于6或者16，分两种情况讨论：
（1）“届”+“赛”=6：
（1,5） （2,4）
“一”+“杯”=10：(1,9） （2,8） （3,7）
（4,6）
“十”+“华”=9：（1,8） （2,7） （3,6） （4,5）
“第”=1
“第”=1，“届”、“赛”必须是（2,4）中的一个，那么“
一”、“杯”只能是（3,7）中
一个；“十”、“华”只能是（3,6）中一个，都有3矛盾；说明“
届”+“赛”只能是16
了。
（2）“届”+“赛”=16：（7,9）------只有这个可能
“一”+“杯”=9：（1,8） （2,7） （3,6） （4,5）
“十”+“华”=9：（1,8） （2,7） （3,6） （4,5）
“第”=1
“第”=1，“届”、“赛”必须是（7,9）中的一个，“一”、“杯”是（3,6）（4,5
）中一
个，“十”、“华”也是（3,6）（4,5）中一个并不矛盾，虽然不知道它们的具体取值，7
个
数字的数字和为：1+7+9+3+6+4+5=35
方法二：余数法。A+B=C，则方
程两边的数分别除以9的余数要相等，除以9的余数又
相当于数字和除以9的余数，2006除以9余8
，因此，“第 十 一 届”+“华 杯 赛”
的和除以9的余数也是8，即则“第、十、一、届、华、
杯、赛”所代表的7个数字的
和除以9余8，而“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字相当
于从1，2，
3，4，5，6，7，8，9这9个数字中舍弃两个数字，那么舍弃哪两个呢？
而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，小于45除以9余8的数有哪些呢？44、35、2
6……，
44是舍弃1得来的，但是要求舍弃2个数字，排除；35是舍弃和为10的两个数字，没有矛盾；26是舍弃和为19的两个数字，做不到。所以答案就是35.
第
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8. 全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种
，28人有直尺，有三角板的人中，
男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有
人.
【考点与分析】答案填23.容斥原理。必须充分理解韦恩图中每部分的含义。本题“每人恰有三角板或直尺中的一种”，说明两者都没有的是0，两者都有的也是0，那么韦恩图怎么
画？50
-28=22,22-14=8,31-8=23.
9.
图4是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直
棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内.
当吸管
一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底
面边缘2厘米，最多能露出4厘米
. 则这个玻璃杯的容
积为 立方厘米.
（取
3.14
） （提示：直角
三角形中“勾6、股8、弦10）
【考点与分析】答案填228.08.
圆柱体体积（容积）、勾股定理。这题出得相
当好，主要是要理解
题意，我们都有用吸管喝饮料的经历，吸管竖着插，露出的吸管最多，在玻璃杯里面
的部分不就是，
圆柱体的高了吗？高12-4=8cm，图4中的位置，吸管露出最少，相当于AC边，
斜边吧？AC=12-2=10cm
题目还提示你：
勾6、股8、弦10，那么AB=6，相当
于圆柱体底面圆的直径，那么半径r=3
图4
套用圆柱体公式：
V<
br>
r
2
h
3
2
8723.1
4226.08
（cm
3
）
10. 有5个黑色和白色棋子围
成一圈，规定：将同色
的且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在
异色的和相邻的两个棋子
之间放入一个黑色棋
子，然后将原来的5个棋子拿掉。如果从图5-(1)
的初始状态开始依照
上述规定操作下去，对于圆
圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有
个.
【
考点与分析】答案填4.操作最值问题。这题是操作问题，操作题一定要动手操作。问
最大值，从极端思
维考虑，显然答案是5、4、3、2、1中一个，先看5个黑子的情
况，倒推法，那前一步考虑这5个黑
子是怎么得来的，出矛盾。图5给出的那个刚
好第3个图往下推，可以得4个黑子，因此答案就是4.
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图5
三、B组填空题（每题两个空，每个空4分）
11.
李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥.
若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若
每亩施5千克，则余下化肥200千克.
那么李大爷共承包了麦田 亩，这批
化肥有 千克.
【考点与分析】500,2700. 应用题--盈亏问题。盈亏问题不管多么复杂都可以用方程或<
br>者方程组解决。设李大爷共承包了麦田
x
亩，这批化肥有
y
千克.
6xy300
解得，
x
=500，
y
=2700
则，
5xy200
验证，得结论。
12.
将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：
a
=171921……9799101103.
则数a共有 位，数a除以9的余数是
.
【考点与分析】101，4。
计数、余数（数字和）
1、3、5、7、9占了5
位，11、13、15、……97、99占了2×45=90位，再加上101、103占的6位，
5+90+6=101，所以a共有101位。
一个数a除以9的余数相当于a的各位数字和除以9的余数，本题a的数字和可以这么求：
1
1、13、15、17、19、21、23、25、27、29……91、93、95、97、99，可以把十位
数字的在一起
求和，个位数字的在一起求和，因此a的数字和为：
(1+3+5+7+9)+
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×5+(1+3+5+7+9)×5×9+(1+0+1+1+0+3
)
=25+45×5+25×5×9+6（注意：没必要计算出来，用弃9法）
除以9的余
数，用弃9法，已经是9的倍数的直接弃除，如果考虑除以7的余数，弃除的是7的倍
数，这点要理解。
45×5是9的倍数，因为45是9的倍数，弃除，显然25×5×9+是9的倍数，弃除。
因此只要求25+6=31除以9的余数，显然是4.
13.自制的一副玩具牌共计52张（
含4种牌:红桃、红方、黑桃、黑梅.每种牌都有1点、
2点、……、13点牌各一张）.
洗好后背面朝上放好.
一次至少抽取_____张牌，才
能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同.
如果要求一次抽出的牌中必定有3
张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取_____张牌.
【考点与分析】27,37。最不利原则。
华杯赛特别喜欢考扑克牌，扑克牌除掉大小王，有
52张，52=13×4，有四种花色、两种颜
色的扑克牌，注意花色跟颜色的区别。花色是指红桃、红
方、黑桃、黑梅，4种；颜色只有
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红色和黑色 2种。本题利用最不利原则，当取26张牌，比如取13张红桃、13张红
方，这
时候“倒霉蛋”取了26张牌，再取1张，“倒霉蛋“就翻身了26+1=27。
3张
牌的点数不相邻（不计颜色），最不利的一种情况时，取（1、2、4、5、7、8、10、11、
13
），不取（3、6、9、12），“倒霉蛋”要取4×9=36张，36+1=37“倒霉蛋”就翻身了，所以答案37.
14.图6中有 个正方形，有 个三角形.
答案：99,155
图6
解：第1问，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；面积为1的正
方形的个数：36；面积为
2的正方形的个数：4；面积为4的正方形的个数：
25；面积为9的正方形的个数：16；面积为16
的正方形的个数：9；面积为
25的正方形的个数4；面积为36的正方形的个数：1。所以，共有36+4+25+16+9+4+1=95（个）正方形。
第2问。方法1：以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：
只有1个基本图形单位的三角形共72个；
由2个基本图形单位组成的三角形共37个；
由4个基本图形单位组成的三角形共30个；
由8个基本图形单位组成的三角形共4个；
由9个基本图形单位组成的三角形共10个；
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由16个基本图形单位组成的三角形共2个；
所以图中共有三角形72+37+30+4+10+2=155（个）。
方法2：依三角形的斜边的长度数三角形。
（1）斜边和水平线成45度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为1：
长度为3的斜边共有：5条；长度为4的斜边共有：1条。
因为图中这类斜边每条带有2个三角形，所以共有
2×（36+15+5+1）=114
（个）。
（2）斜边水平的三角形，从上向下：
斜边在第一条线有2个；斜边在第二条线有4
个；斜边在第三条线有4个；斜
边在第四条线有5个；斜边在第五条线有2个；斜边在第六条线有2个；
斜边
在第七条线有2个；
所以这种类型的三角形共有21个。
（
3）斜边为垂直线的三角形，从左向右：斜边在第一条线有2个；斜边在第
二条线有2个；斜边在第三条
线有5个；斜边在第四条线有3个；斜边在第五
条线有3个；斜边在第六条线有4个；斜边在第七条线有
1个，所以这种类型
的三角形共有20个。共有114+21+20=155（个）三角形。
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