过去的敬拜-爸爸说

【例 1】 (2008年第十三届“华杯赛”决赛)
甲、乙两人沿一个周 长
400
米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需
4
分钟，乙行走
一圈 需
7
分钟，他们同时同地同向出发，甲走完
10
圈后，改为反向行走，出发后 ，
每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人都击掌示意．问：当两人第
15
次击掌时，
甲共走了多少时间？乙走了多少路程？
A
甲
乙
B
C
5
［分析］甲走
10
圈时，共用了
10440
分钟，这段时间 乙行程
4075
圈，每当甲比乙
7
2
多走
1
圈 时，甲便追上乙一次，所以甲走完
10
圈时，比乙多走了
4
圈，两人共击7
2
掌
4
次，此时，甲、乙两人相距圈；
7
2

11

8
甲反向行走后，经过





分钟，两人第一次相遇，以后两人总行程每增
7

47

11

11

28
加
1
圈，便出现一次 相遇，即相遇事件发生的时间间隔为
1




分钟，经
4711

285852
过
1025
分钟，两人最后 一次相遇，此时甲一共走了
402566
1111111111
24009分钟，乙走了
663781
米．
11711


［拓展］绕湖的一周是
22
千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时反向而行，甲以
4< br>千米／
小时的速度每走
1
小时后休息
5
分钟，乙以
6
千米／小时的速度每走
50
分钟后休息
10
分钟，则两人从出发到第 一次相遇用多少分钟？
200
［分析］甲的速度为
4
千米／小时

米／分钟，
3
乙的速度为
6
千米／小时
100
米／分钟．
根据题意可知：甲、乙出发
2
小时
10
分钟，甲行
428
(千米)，
乙行了
100502100101100 0
米

11
千米．

200

100

18
(分钟) 还剩下
22

811

3
千米
3000< br>米．需行驶
3000


3

所以相遇时间有
148
分钟．

［拓展］如图，长方形的长
AD< br>与宽
AB
的比为
5:3
，
E
、
F
为
AB
边上的三等分点，某时
刻，甲从
A
点出发沿长方形逆时针运动， 与此同时，乙、丙分别从
E
、
F
出发沿
长方形顺时针运动．甲、乙、 丙三人的速度比为
4:3:5
．他们出发后
12
分钟，三
人所在位置 的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，
三人所在位置的点的连线第二次构成 最大三角形？

［分析］长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样 的三角形一定有一条边与长方
形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上．
所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况．
将长方形的宽
3等分，长
5
等分后，将长方形的周长分割成
16
段，设甲走
4< br>段所用
的时间为
1
个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走
3
段、
5
段，由于
4
、
3
、
5
两两 互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有
1
个
人走了整数段 ．所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况．
对于甲的运动进行讨论：
6

8

10

16

时间(单位时间)
2

……
4

12

14

C

C

C

C

C

地点
A

A

A

对于乙的运动进行讨论：
3

10

18

19

26

27

时间(单位时间)
2

……
11

C

C

地点
B

A

B

A

D

D

对于丙的运动进行讨论：
3

10

18

19

26

27

时间(单位时间)
2

……
11

C

C

地点
B

A

B

A

D

D

需要检验的时间点有
2
、
3
、
10
、
11
、……
2
个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件．
3
个单位 时间的时候甲在
AD
上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相
当于
4
分钟．
10
个单位时间的时候甲、乙、丙分别在
C
、
B
、
A
的位置第二次构成最大三角形．
所以再过
40
分钟．三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

【例 2】 有一正方形，边长12厘米，甲、乙、丙三只蚂蚁从正方形的同一顶点沿正方形的
边同时同向出发．三只蚂蚁爬行的速度分别是：甲为每秒
0.96
厘米，乙为每秒
0. 81
厘米，丙为每秒
0.72
厘米．问：出发几秒钟后甲开始同时看见乙和丙的后背？
12(0.960.81)80
(秒)，即甲爬行80秒可以比乙多爬一个边长； 【分析】
12(0.960.72)50
(秒)，即甲爬行50秒可以比丙多爬一个边长． 若使甲能同时看见乙和丙的后背，则甲与乙、丙必须在同一条边上，所以甲比乙和
丙多爬的距离在< br>(4k3)
个边长和
(4k4)
个边长之间．那么，甲比乙多爬的距离为< br>3个边长和4个边长之间、7个边长和8个边长之间……根据前面的计算，甲可能
看见乙的后背的 时间段可能是240秒到320秒之间、560秒到640秒之间、880秒
到960秒之间…… 同理，甲可能看见丙的后背的时间段可能是150秒到200秒之间、350秒到400秒
之间、5 50秒到600秒之间……选取其中公共的时间段，即560秒到600秒之间．
在560秒时，甲与 乙的距离为1个边长，则甲只有在正方形的某个顶点处才能看见
乙的后背，否则必须爬到下一个顶点处才 能看到乙的后背．甲爬一个边长需要
120.9612.5
秒，而
12.545 562.5
秒，所以当甲爬了
562.5
秒时，甲恰好到达
正方形的顶点处 ，这时才开始同时看见乙和丙的后背．

［拓展］(2004年第九届“华杯赛”总决赛试题)
正方形跑道
ABCD
．甲、乙、丙三人同时从
A
点出发同向跑步，他们的速度分别

为每秒5 米、4米、3米．若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形
的同一条边上，且他们在自己的 前方．从此时算起，又经过21秒，甲、乙、丙三
人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同 一位置．求正方形周长的
所有可能值．
［分析］设正方形的边长为
a
米．< br>a

54

a
，所以甲跑
a
秒可以比 乙多跑一个边长；
a

53

0.5a
，甲跑0.5a
秒可以比丙多跑一个边长．
若使甲能同时看见乙和丙，且他们在自己的前方，则 甲比乙和丙多跑的距离在
4k3
个边长和
4k4
个边长之间．根据前面的 计算，甲可能看见乙的后背的时间
段可能是
3a
秒到
4a
秒之间，< br>7a
秒到
8a
秒之间……甲可能看见丙的后背的时间段
可能是
1.5a
秒到
2a
秒之间，
3.5a
秒到
4a
秒之 间……选取其中公共的时间段，即
3.5a
秒到
4a
秒之间．
在< br>3.5a
秒时，甲只有在正方形的某个顶点处才能看见丙的后背，否则必须跑到下
一个顶 点处才能看到丙的后背．甲跑一个边长需要
a50.2a
秒，而
0.2a18 3.a
秒，所以当甲跑了
63.6a
秒时，才开始同时看见乙和丙的后背．
4a

54

4a
，所以经过
4a
秒后甲第 一次追上乙，此时甲、乙、丙分别跑了5
圈、4圈、3圈，所以这也是出发后三人第一次处在同一位置． 所以
4a3.6a21
，
即
a52.5
．
52.54210
(米)，所以正方形的周长应为210米．

［拓展 ］在正三角形
ABC
中，
D
是边
AB
上的一点，且
DA:DB7:8
，学学和思思两人在
三角形边上分别匀速行走．学学从
A
点开始沿
ABCA
的方向走，思思从
B
点开始沿
BAC B
的方向走．已知两人第一次相遇恰好是在
D
点，且两人第
一次在线段< br>BD
(不含端点)上相遇时，相遇点距
B
点24米．则
AB
的 长度等于
________米．
【分析】由于两人第一次相遇恰好在
D
点， 此时学学和思思所走的路程分别为
AD
和
BD
，
根据“时间相同，速 度比等于路程的比”，可得学学和思思的速度比为
AD:BD7:8
．
设每边长为 15个单位．设第
x
次相遇时是两人第一次在线段
BD
(不含端点)上相遇，由于第一次相遇以后，两人每合走一个周长就相遇一次，则此时两人共走
(x1)
个 周长加1条边，即
45

x1

1545x30
， 其中学学走了
7
21x14
．
78
要想在线段
BD
上相遇，则
21x14
除以45的余数应大于7，小于15．因为
21x 1421x151
，被3除余1，所以被45除只能余10或13．
如果
21 x1410(mod45)
，则
21x24(mod45)
，
7x8 (mod15)
，
x14(mod15)
；
如果
21x14 13(mod45)
，则
21x27(mod45)
，
7x9(mod1 5)
，
x12(mod15)
．
所以，两人第12次相遇是第一次在线段
BD
(不含端点)上相遇，被45除余13也
就是说距离
B
点2个单 位，所以1个单位是12米，边长为15个单位，也就是180
米．
另解：同上可得到学学和思思的速度比为
AD:BD7:8
．
当两人第一 次在线段
BD
(不含端点)上相遇时，根据两人行走的方向，思思一定是
经过
B
点后走到相遇点的，学学一定是经过
A
点后走到相遇点的．考虑思思在这
次 相遇前走到
B
点时学学所处的位置，如果学学当时在
A
点，两人将再次相遇在
D
点，不合题意；如果此时学学不在
AB
边上，两人更不可能在线段
BD
(不含端点)
上相遇；只有当学学此时在
AB
边上且不在两个端点时，两 人将必然在线段
BD
(不
含端点)上相遇．所以当思思走了整数圈，学学走的路程超过 某个整数圈，又小于
1
这个整数圈再加上圈时，两人再向前走将必然在线段
BD
(不含端点)上相遇．
3
7
71
假设此时思思走了
m
圈 ，根据速度比，学学走了
m
圈，则有
nmn
(
n
为< br>83
8

45x30



1111
整数)，即
nmmn
，故
mnmmn
，由于是第 一次在线段
BD
8338
1121
(不含端点)上相遇，由于
mn 1
，则
mmn
，得
m5
，那么
m
的< br>8333
最小值为6．
711
当
m6
时，思思走了6圈到
B
点，学学走了
65
圈，即走了5圈后又走了
844
3 1
圈，此时走到
AB
边的处，距离
B
点则为
AB
的 ，两人相向而行直至相遇，思
44
8182
思走了其中的，所以
AB
的

即为24米，那么
AB
边的长度为
1541515
2
24180
(米)．
15
【低难度试题】
【例6】（★★★ ）在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人
相遇，再过4分甲到达B点，又 过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？
【分析】20分，30分。
解：由题意知，甲行4分相当于乙行6分。（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）
从第 一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所
以甲环行一周需1 2＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）。



【例7】（ ★★★）如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而
行，两人在C点第一次 相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求
这个圆的周长。
【解】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80×3=240米，两人的总路程和为一周
半， 又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长
为240-60= 180米，周长为180×2=360米。

【例8】（★★★★）甲、乙两名运动员在周长 400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，
两人从同一起跑线同时起跑，甲每分跑400米，乙 每分跑360米，当甲比乙领先整整一圈
时，两人同时加速，乙的速度比原来快
1
，甲 每分比原来多跑18米，并且都以这样的速度
4
保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？
【来源】 第九届《小数报》数学竞赛决赛应用题第3题
【解】 从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为400÷（400－360）＝10（分），

14
74
209
（分）甲到达终点还需跑（1000－400×10）÷（400＋ 18）＝，
1
14
2
乙还需要（1000－360×10）÷［360×（ 1＋
4
）］＝
9
（分）
74
2
由于
9
＜
209
，所以乙先到达终点。
【例9】（★★★） 右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别
从 A，B同时爬行。甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；
乙蚂蚁从B出发，沿外 圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只蚂蚁第一次相遇
时，乙蚂蚁共爬行了多少米？


【解】1.5米。“逗号”的周长与外圆的周长相等，都是40厘米。乙比甲多爬20厘米需
20÷（5－3）＝10（秒），此时甲爬了30厘米，位于圆内的弧线上，而乙位于外圆周上，
两只蚂蚁没有相遇。乙比甲多爬60厘米需60÷（5－3）＝30（秒），此时两只蚂蚁都在外
圆周 上，是第一次相遇，乙爬了5×30＝150（厘米）。
【例10】（★★★）小张和小王各以一定速 度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的
速度是180米分.
（1）小张和小王同时 从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是
多少米分？
（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
【解】（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是
500÷1.25-180=220（米分）.
（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就 是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需
要的时间是
500÷（220-180）＝12.5（分）. 220×12.5÷500＝5.5（圈）.
答：（1）小张的速度是220米分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.

【例 3】 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向
走 ．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已
知甲、乙的速度比是< br>3:2
，湖的周长是600米，求丙的速度．
1
3
【分析】甲第一次 遇见乙后
1
分钟遇到丙，再过
3
分第二次遇到乙，所以甲、乙经过
4
4
13
135
分钟的时间合走了一圈，甲、乙的速度和为
600 5120
米分，甲的
44
2

速度为
120

1

72
米分．甲、乙合走一圈需要5分钟，而甲第一次遇见乙后< br>3

111
1
分钟遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要
51 6
分钟，甲、丙的速度和为
444

1
600696米分，从而丙的速度为
967224
米分．
4
甲、乙两车同时从同 一点
A
出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小
时行驶65千米， 乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲
车从后面追上乙车，则甲车立刻 调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离
A
点有多少
环形线路
米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)
6(6555)0.05
小时， 【分析】第一次是一个相遇过程，相遇时间为：相遇地点距离
A
点：
550.05 2.75
千米．
6(6555)0.6
然后乙车调头，成为追及过程，追及时间 为：
小时，乙车在此过程中走的路程为：
550.633
千米，即5圈又3千米， 那么这
时距离
A
点
32.750.25
千米．
此时甲 车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离
A
点
0.252.75 3
千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要
走5圈又3千米，所以此时 两车又重新回到了
A
点，并且行驶的方向与最开始相
同．
所以，每4次相遇为一个周期，而
11423
，所以第11次相遇的地点与第3
次相遇的地点是相同的，与
A
点的距离是3000米．


［拓展 ］如图所示，甲、乙两人从长为
400
米的圆形跑道的
A
点背向出发跑步．跑 道右半
部分(粗线部分)道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、
乙速度 均为每秒
8
米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒
4
米．两人一直跑下去，
问：他们第99次迎面相遇的地方距
A
点还有米．
A

［ 分析］本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果
甲、乙各自绕着 圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相
同，那么两人所用的总时间也就相同， 所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到
A
点，即两人在
A
点迎面相遇，然后 再从
A
点出发背向而行，可以发现，两人的行
程是周期性的，且以一圈为周期． 在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相
遇，这是两人第一 次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，
又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出 发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点
都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是
A
点 ．本题要求的是第99次迎面相遇的
地点与
A
点的距离，实际上要求的是第一次相遇点 与
A
点的距离．
对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的 速度较快，所
以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了
20084100
米，此 时两人相距100
米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了
10050150
米，这就是第一次相遇点与
A
点的距离，也是
第99次迎面相遇的地点与
A
点的距离．