六年级下册奥数专题练习-复杂分数应用题-全国通用
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复杂分数应用题
【复杂的一般分数问题】
例1 已知甲校学生数是
乙校学生数的40％，甲校女生数是甲校学生数的
30％，乙校男生数是乙校学生数的42％。那么，两
校女生总数占两校学生总数
的百分之几？
（全国“幼苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：关键是要求出甲、乙两校学生数，分别占两校总人数的几分之几。
因为甲校学生数是乙校学生数的40％，所以，甲、乙两校学生数之比为
所以，两校女生占两校学生总数的
例2 有一堆糖果，其中奶糖占45
％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占
25％。那么，这堆糖中有奶糖____块。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
16块水果糖之后，其它糖就是奶糖的（1-25％）÷25％=3（倍）。
例3 某商店经销一种商品，由于进货价降低了8％，使得利润率提高了10％。<
br>那么这个商店原来经销这种商品所得利润率是百分之几？
（长沙市奥林匹克代表队集训试题）
讲析：“利润”是出售价与进价的差；“利润率”是利润与进货价的比率。
设这种商品原进价为每件a元，出售后每件获利润b元。那么 现进价为每
件
（1-8％）×a=92％a（元），
例4
学校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。下午有一同学问老
（1992年小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：本题的关键是要注意“时间”和“时刻”这两个概念的区别。
从早晨6点到中午12点共有6小时，从中午12点到下午6点40分共有
设从中午12点到“现在”共a小时，可列方程为
解得 a=4。
所以，现在的时间是下午4点钟。
【工程问题】
例1
一件工作，甲做5小时后，再由乙做3小时可以完成；若乙先做9小
时后，再由甲做3小时也可以完成。
那么甲做1小时以后，由乙做____小时可以
完成？
（1987年北大附中友好数学邀请赛试题）
讲析：因为“甲做5小时，乙做3小时可以完成”；
或者“甲做3小时，乙
做9小时也可以完成”。由此得，甲做5-3=2（小时）的工作量，就相当于乙
做
9-3=6（小时）的工作量。
即：甲做1小时，相当于乙做3小时。
由“甲做5小时，乙再做3小时完成”，可得：甲少做4小时，就需乙多做
3×4=12（小时）。
所以，甲做1小时之后，还需要乙再做3+12=15（小时）才能完成。
例2 如
果用甲、乙、丙三根水管同时往一个空水池里灌水，1小时可以灌满；
如果用甲、乙两根水管，1小时2
0分可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时
15分可以灌满。那么，用乙管单独灌水，要灌满一池水
需要____小时。
（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：关键是求出乙的工作效率。
例3
一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成；乙队单独做
时，突然遇到地下水，影
响施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了
10天完成工程。问整个工程要挖多少方土？
（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）
讲析：甲、乙两队合做，则工效可提高20％，所以每天可以完成
例4 某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗
位工作时，9小时可以
完成一项生产任务，如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，
可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生
产效率不变时，
也可以提前1小时完成这项生产任务。问：如果同时交换A与B，
C与D的工作岗位，其他工人生产效率
不变时，可以提前几分钟完成这项生产任
务。
（全国第四届“华杯赛”决赛试题）
所以，同样交换A与B，C与D之后，全组每小时可以完成：
例5
一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作。甲工地的工作量是乙工
已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天。那么，这批工人有____人。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：把甲、乙两地全部工作量作单位“1”，由“甲工地的工作量是
把工人总数作单位“1”，由“上午去甲工地人数是去乙工地人数的3
所以，一天中去甲、乙工地人数之比为：
例6 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。要灌满一池水
，
单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要
丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？
（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）
有当开到甲水管时，水才会溢出。
溢出。
的思路是在假设要打开水管若干个循环之后， 水才开始
开始溢出。所以，这样解的思路是错误的。
分数与繁分数化简
【分数化简】
讲析：容易看出，分子中含有因数37，分母中含有因数71。所以可得
（长沙地区小学数学奥林匹克选拔赛试题）
讲析：注意到，4×6=24，2＋4=6，由此产生的一连串算式：
16×4=64
166×4=664
1666×4=6664
……
（全国“育苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：容易看出分子中含有因数3。把485
31分解为48531=3×16177，然后
可试着用16177去除分母：
【繁分数化简】
（1990年马鞍山市小学数学竞赛试题）
讲析：如果分别计算出分子与分母的值，则难度较大。观察式子，可发现分
子中含有326×274，分
母中含有275×326。于是可想办法化成相同的数：
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
讲析：可把小数化成分数，把带分数都化成假分
数，并注意将分子分母同乘
以一个数，以消除各自中的分母。于是可得
例3 化简
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
讲析：由于分子与分母部分都比较复杂，所以只能分别计算。计算时，哪一
步中能简算的，就采用简算的
办法去计算。
所以，原繁分数等于1。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：连分数化简，通常
要从最下层的分母开始，自下而上逐步化简。依此
法计算，题目的得数是2。（计算过程略）
55、对称变换
【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大
学者海伦请教一个问题：
从A地出发到河边饮马，再到B地（如图4.32所示），走什么样的路最近？
如
何确定饮马的地点？
海伦的方法是这样的：如图4.33，设L为河，作A
O⊥L交L于O点，延长
AO至A＇，使A＇O=AO。连结A＇B，交L于C，则C点就是所要求的饮
马地点。
再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么呢？
因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A＇C是相等的。而A＇B
是一条线段，所以A＇B是连结A＇
、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以
AC+CB=A＇C+CB=A＇B也是最短的一条路了。
这就是海伦运用对称变换，找到的
一种最巧妙的解题方法。运用这种办法，可以巧妙地解决许多几何问题
。
【划线均分】通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线，都可以把原
图形均分成
两个大小、形状完全相同的图形。利用这一性质，可以使某些较复杂
的问题迅速地解答出来。例如
（1）把图形（图4.34）的面积，用一条直线分成相等的两个部分。
解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形（长方形）组成的组合图形，而
矩形既是轴对称
图形，也是中心对称图形， 所以只要找出两个对称中心（对角
线交点），利用中心对称图形的上述性质
，通过两个对称中心作一条直线，就能
把它的面积分成相等的两个部分了。如前页的三种分法都行（如图
4.35所示）。
（2）如图4.36，长方形ABCD内有一个以O点为圆心的圆，请画一条直
线，
同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。
大家知道，
长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。长方形的对
称中心是对角线的交点，圆的对称中心是
它的圆心。
根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心O点和P点（如图
4.
37），再过O、P作直线L，此直线L即是所画的那根直线。