不规则立体图形的表面积和体积
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“华杯赛”专题讲座
立体几何专题
不规则立体图形的表面积和体积
基础知识：规则立体图形的表面积和体积
正方体（棱长为a）
长方体（边长a、b、c）
圆柱体（底面半径r，高h）
圆锥体（底面半径r，高h）
表面积
6a
2
2（ab+bc+ca）
2πr
2
+2πr·h
πr
2
+πr·l
体积
a
3
abc
πr
2
·h
例1.把19个边长为2厘米的正方体重叠起
来，作成如图那样的组合形体，求这个组合形体的体
积和表面积。
[答疑编号5]
【答案】体积是152立方厘米；表面积是216平方厘米。
【解答】体积：19×2
3
＝152（立方厘米）
上下看：3×3＝9
左右看：4＋3＋1＝8
前后看：4＋4＋3＝10
（9＋8＋10）×2×2
2
＝216（平方厘米）
进一步思考：
（1）对于由小正方体搭起来的组合形体，其表面积总是等于三个方向看到的面积之和的两倍？
[答疑编号5]
【答案】不是
（2）如果挪
动最上面那个小正方体，将它移动到其他位置，那么所得到的新的组合形体的表面
积最少是多少？
[答疑编号5]
【答案】200平方厘米
【解答】找盖住的面最多的位置，最多可以盖住3个面。
例2.如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体。问
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这个物体的表面积是多少平方米？（π取3.14。）
[答疑编号5]
【答案】32.97平方米
【解答】结合例1的方法，我
们将这个物体的表面积分为上下底的面积和侧面积两部分，不难看出
这种叠放并不影响上下底的面积。
解：上底面积与下底面积相等，都是π×1.5
2
=2.25π（平方米）；
侧面积就是三个圆柱体的侧面积之和，等于2π×（1.5+1+0.5）
×1=6π（平方米）；
这个物体的表面积是2.25π×2+6π=10.5π=32.97（平方米）。
进一步思考：
如果沿这个物体的中心轴切一刀，将之分成两个相同的立体图形，那么两个新立体图
形的表面
积之和是多少？
[答疑编号5]
【答案】44.97平方米
【解答】原来的表面还是表面不变，增加的就是切口。
1×1＋2×1＋3×1＝6（平方米）
32.97＋6×2＝44.97（平方米）
例3. 如图，有一个边长是5的正方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体
，
那么它的表面积减少了百分之几？
[答疑编号5]
【答案】8%
【解答】与前面的例题类似，我们一般不直
接计算切割后的立体图形的表面积，而是先将切割前后
的两个立体图形进行比较。
减少的面就就是两个3×2＝6的小长方形。
12÷150×100%＝8%。
例4.如图，有一个边长为20厘米的大立方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相
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同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米.那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
[答疑编号5]
【答案】3厘米
【解答】大立方
体的表面积是20×20×6＝2400平方厘米.在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个
面，但里
面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面却多出4个面；
在面上挖掉一个
小正方体后，外面少了1个面，但是里面却多出5个面.所以最后的情况是挖掉了三
个小正方体，但反倒
多出了6个面.可以计算出每个面的面积是
（2454－2400）÷6＝9，那么小正方体的棱长就是3.
例5.如下图，是一
个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘
米的正方体小洞.接着在小洞
的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前
两个相同，边长为厘米。求最后得到
的立体图形表面积是多少平方厘米。
[答疑编号5]
【答案】29平方厘米
【解答】正方体在挖小洞之前的表面积为6×2
2
平
方厘米，挖了小洞之后面积不但没有减少，反而还
要加上三个小洞的侧面积的和。三个小洞各有四个侧面
，每个侧面的面积分别是：
1
2
，（）
2
，（）
2
，
因此总的表面积为：
6×2
2
＋4×1
2
＋4×（）
2
＋4×（）
2
＝29（平方厘米）
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例6.
下图是一个边长为4厘米的正方体，分别从前后、左右、上下各面的中心处向内挖去一个
边长1厘米的正
方体，做成一个玩具，它的表面积是多少平方厘米？
[答疑编号5]
【答案】120平方厘米
【解答】4
2
×6＋1×1×4×6＝120（平方厘米）
进一步思考：
如果将各个相对的面挖通，得到一个新的玩具，那么这个玩具的表面积是多少平方厘米？
[答疑编号5]
【答案】126平方厘米
【解答】这回不容易直接想象内部的空间，那么可以反过来，从挖掉的部分入手考虑。
1×（4－1）×4×3＝36（平方厘米）
36＋4
2
×6－1
2
×6＝126（平方厘米）
例1.有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图），
求这
个立体图形的表面积。
[答疑编号5]
【答案】216平方厘米
【解答】由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将这
个立体图形看成由8个棱长为
2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示，
八个棱长为2厘米的正方
体分别在8个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每
个小正方体都有2个
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面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积4平方厘米，所以总的表面积为
（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12－4×12＝216（平方厘米）。
例2
.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一
个圆柱形的洞
。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞
口是直径为4厘米
的圆，求该图立体的表面积和体积?（π取＝3.14）
[答疑编号5]
【答案】785.12平方厘米；668.64立方厘米
【解答】这个几何体的表面积可分为外表面积和内表面积两部分，外表面积好求；求内表面积时，
可把挖
去部分的立体图形从原立方体中等积位移出来后分析求得。体积则用原立方体的体积减去被
挖部分体积即
可。
解：表面积＝立方体表面积－4个正方形面积－2个圆形面积＋4个长为4宽为3的上下左右
面
＋（两个正方形挖去两个圆的部分）＋高为6的圆柱侧面积.
10
2
×6－4
2
×4－π×2
2
×2＋4×4×（10－4）÷2×2×2＋（4
×4×2－2
2
×π×2）＋2×2×π×（3＋3）
＝536－8π＋192＋32－8π＋24π＝760＋8π＝785.12（平方厘米）
体积＝大正方体－4个4乘4乘3的立方体－1个边长为4的正方体－1个高为6的圆柱.
10<
br>3
－4×4×3×4－4
3
－2×2×π×（3＋3）＝1000－256－2
4π＝668.64（立方厘米）
例3.将图中的平面图形折叠成一个
四棱锥（中央是一个面积为18平方厘米的正方形，四周都是
腰长为5厘米的等腰三角形），那么这个四
棱锥的体积是多少？
[答疑编号5]
【答案】24立方厘米
【解答】根据面积可以求出正方形对角线的长为：6厘米。
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四棱锥的高h
2
＝5
2
－3
2
，解得h＝4厘米。
四棱锥的体积为：
V＝sh＝×18×4＝24立方厘米
例4.一个盛水的容器是由两个圆柱体组成的，大圆柱体的底面半径为10厘米，并且它的底面半
径和高
都是小圆柱体的两倍.现在容器里有一些水，水面离容器顶有11厘米（如图1），而如果把容
器倒过来
，水面离顶部有5厘米（如图2）.那么这个容器的容积是________立方厘米（取p＝3）？
[答疑编号5]
【答案】5400立方厘米
【解
答】大圆柱体的底面积是小圆柱体的底面积的4倍.假设小圆柱体的高是x厘米，根据两个图中
的白色部
分体积相等，可以列方程得：
x÷4＋（11－x）＝5，
解得：x＝8.
所以该容器的容积是：
5×5×3×8＋10×10×3×（8×2）＝600＋4800＝5400（立方厘米）
例5.中国古代数学家如何求出半径为R的球的体积。
祖暅原理：两个立体图形，用
一组平行的平面去截，如果其中每个平面截这两个立体图形得到
的截面面积都相等，那么这两个立体图形
的体积就相等。
应用祖暅原理求出半径为R的球的体积（先求半球的体积）：
构造
一个新的立体图形，首先做一个底面半径为R，高也为R的圆柱体，再从圆柱体的上表面
向下挖去一个高
为R的圆锥体（如图所示）。将这个新的立体图形与半球放置在同一个桌面上。
对
于平行于底面的一组平面，用它们去截半球和新的立体图形。考察高度为H的平面，它截半
球得到一个圆
（设半径为a），截另一个得到一个圆环（外径为R，设内径为b）。
由勾股定理，有a
2
+H
2
=R
2
，所以圆的面积是p×a
2=
p（
R
2
-H
2
）；
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再分析右面这个图形，可知内径b=H，
因此圆环的面积是p×R
2
-p×H<
br>2
=p（R
2
-H
2
）。
由祖暅原理可知，半球的体积与右面的立体图形相等，
所以球的体积是。
例6.如
图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，
那么挖出部分的
体积是多少？（p取3）
[答疑编号5]
【答案】15616
【解答】将所剩几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的
底面置于同一水平面，并考
察高度为h的水平面与两个几何体所截的截面面积。
由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。
所以挖出部分的体积是
。
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