小升初数学典型例题

别妄想泡我
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2020年12月13日 02:26
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美文美句摘抄-新月集

2020年12月13日发(作者:童翼驹)


典型应用题
【平均数问题】
例1 小强骑自行车从甲地到乙地,去 时以每小时15千米的速度前进,
回时以每小时30千米的速度返回。小强往返过程中的平均速度是每小 时
多少千米
(江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛试题)
讲析:我们不 能用(15+30)÷2来计算平均速度,因为往返的时间
不相等。只能用“总路程除以往返总时间”的 方法求平均速度。


所以,往返的平均速度是每小时

例2 动物园的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群,则每
只猴子可得12粒;如 果只分给第二群,则每只猴子可得15粒;如只分给
第三群,则每只猴子可得20粒。那么平均分给三群 猴子,每只猴子可得
____粒。
(北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
讲析:设花生总粒数为单位“ 1”,由题意可知,第一、二、三群猴


于是可知,把所有花生分给这三群猴子,平均每只可得花生

例3 某班在 一次数学考试中,平均成绩是78分,男、女生各自的平
均成绩是分和81分。问:这个班男、女生人数 的比是多少
(全国第三届“华杯赛”决赛第二试试题)


讲析:因男生平均比全班平均少分,而女生平均比全班平均的多3
分,故可知
×男生数=3×女生数。
∶3=女生数:男生数
即 男生数:女生数=6:5。
例4 某次数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人,现在将一等奖
中最后4人调整为二 等奖,这样,得二等奖的学生平均分提高了1分,得
一等奖的学生的平均分提高了3分。那么,原来一等 奖平均分比二等奖平
均分多____分。
(1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:设原来一等奖每人平均是a分。二等奖每人平均是b分。则有:
10a+20b=6×(a+3)+24×(b+1)
即:a-b=10. 5。
也就是一等奖平均分比二等奖平均分多分。
【行程问题】
例1 甲每分钟走50米 ,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙
两人从A地,丙一人从B地同时相向出发,丙遇到乙后2 分钟又遇到甲,
A、B两地相柜______米。
( 1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:如图,当乙丙在D点相遇时,甲已行至C点。 可先求出乙、两
相遇的时间,也就是乙行距离AD的时间。

乙每分钟比甲多走 10米,多少分钟就多走了CD呢而CD的距离,就
是甲、丙2分钟共行的距离:(70+50)×2= 240(米)。
于是可知,乙行AD的时间是240÷10=24(分钟)。
所以,AB两地相距米数是(70+60)×24=3120(米)


例2 在一条 公路上,甲、乙两个地点相距600米,张明每小时行走4
千米,李强每小时行走5千米。8点整,他们 两人从甲、乙两地同时出发
相向而行,1分钟后他们都调头反向而行,再过3分钟,他们又调头相向而行,依次按照1、3、5、7……(连续奇数)分钟数调头行走。那么,
张、李两个人相遇时是8 点_____分。
(1992年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题)


(千米)=150(米)
他俩相向走(1+5)分钟,反向走(3+7)分钟后两人相距 :600+150
×〔(3+7)-(1+5)〕=1200(米)
所以,只要再相向行 走1200÷150=8(分钟),就可以相遇了。从而
可知,相遇所需要的时间共是
1+3+5+7+7+8=24(分钟)
也就是相遇时是8点24分。
例3 快、 中、慢三辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面
的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟,10分 钟、12分钟追上骑车人。
现在知道快车每小时走24千米,中车每小时走20千米,那么,慢车每小< br>时走多少千米
(全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题)
讲析:如图所示, A点是三车的出发点,三车出发时骑车人在B点,
A
1
、A
2
、A< br>3
分别为三车追上骑车人的地点。





快车走完2.4千米追上了他。由此可见三辆车出发时,骑车人已走的路程

AB=(千米)。
所以,慢车的速度是:

例4 一辆车从甲地开往 乙地。如果把车速提高20%,可以比原定时
间提前一小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将速 度提高25%。
则可提前40分钟到达。那么,甲、乙两地相距______千米。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:首先必须考虑车速与时间的关系。
因为车速与时间成反比,当车速提高20%时,所用时间缩短为原来





例5 游船顺流而下每小时行8千米, 逆流而上每小时行7千米,两
船同时从同地出发,甲船顺流而下,然后返回。乙船逆流而上,然后返回,
经过2小时同时回到出发点,在这2小时中,有______小时甲、乙两船的
航行方向相同。
(上海市第五届小学数学竞赛初赛试题)
讲析:关键是要理解上行与下行时间各占全部上下行总时间的百分之
几。
因为两船2小时同时返回,则两船航程相等。又上行船速是每小时行
7

例6 甲、乙两车分别从A、B两城同时相向而行,第一次在离A城30
千米处相遇。相遇后两车又继续前行, 分别到达对方城市后,又立即返回,
在离A城42千米处第二次相遇。求A、B两城的距离。
(《小学生科普报》小学数学竞赛预选赛试题)
讲析:如图所示。两车第一次在C地相遇,第二次在D地相遇。

甲、乙两车从开始到第 一次C点相遇时,合起来行了一个全程。此时
甲行了30千米,从第一次相遇到第二次D点相遇时,两车 合起来行了两
个全程。在这两个全程中,乙共行(30+42)千米,所以在合行一个全程
中, 乙行(30+42)÷2=36(千米),即A、B两城的距离是30+36=66
(千米)。
例8 甲、乙两车分别从A、B两地出发,在A、B之间不断往返行驶,
已知甲车的速度是 每小时15千米,乙车的速度是每小时35千米,并且甲、


乙两车第三次相遇(两车同时 到达同一地点叫相遇)的地点与第四次相遇
的地点恰好相距100千米。那么A、B两地的距离等于__ __千米。
(1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:根据甲、乙两车的速度比为3∶7,我们可将A、B两地平均分
成10份(如图)。

因为甲、乙两车速度之比为3∶7,所以甲每走3份,乙就走了7份。
于是它们第一次在a
3
处相遇。甲再走份,乙走份,在a
7
与a
8
之中点处甲< br>被乙追上,这是第二次相遇;甲再又走份,乙走份,在a
9
点第三次两车
相遇; 甲走6份,乙走14份在a
5
点第四次两车相遇。

(千米)。

例9 在400米环形跑道上, A、B两点相距100米(如图)。甲、乙
两 人分别从A、B两点同时按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米,乙每秒跑
4米,每人每跑100米,都要停 10秒钟,那么,甲追上乙需要____秒钟。

(1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:各跑100米,甲比乙少用的时间是100 ÷4-100÷5=5(秒钟),
现在甲要比乙多跑100米,需20秒钟。由20÷5=4(个百米) ,可知,
乙跑400米以后,甲就比乙多跑100米。这样便刚好追上乙。
甲跑完(400+100)米时,中途停了4次,共停40秒钟。故20×5+40=140
(秒)。
当乙跑完400米以后,停了10秒,甲刚好到达同一地点。所以,甲
追上乙需要140秒钟。
例10 甲、乙二人在同一条环形跑道上作特殊训练:他们同时从同一
地点出发,沿相反方 向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑
第二



第一次相遇点190米,问这条环形跑道长多少米
(全国第四届“华杯赛”复赛试题)
讲析:图为甲、乙两人每跑到原出发点时,就返回头跑。于是,从出
发点切开,然后将环形 跑道拉直,这样,他俩就可以看作在AB线段上的
往返跑步(如图)。跑第一圈时,乙的速度与甲的速度 的比是3∶2。当
甲从

原速跑到A点。


(个)全程,即刚好到达D点。

所以,在AD段中,甲、乙两人都是按各自的加速度相向而行。不难
求得


例11 图,大圈是400米跑道,由A到B的跑道长是200米,直线距
离是50米。父 子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼,儿
子跑大圈,父亲每跑到B点便沿直线跑,父亲每 100米用20秒,儿子每
100米用19秒。如果他们按这样的速度跑,儿子在跑第几圈时,第一次< br>与父亲再相遇



(全国第二届“华杯赛”复赛试题)
讲析:容易计算出,父亲经过150秒刚好跑完3小圈到达A点,儿子
经过152秒刚好跑完2圈到达A 点,儿子比父亲慢2秒钟,所以儿子将沿
跑道追赶父亲。
因为A到B弯道长200米,儿子每跑100米比父亲快一秒,可知恰好
在B点追上父亲。
即,儿子在跑第三圈时,会第一次与父亲相遇。
例12 甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园 。甲班步行的速度是
每小时4千米,乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆大客车,它
的 速度是每小时48千米。这辆车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学
生在最短时间内到达,那么甲班学 生与乙班学生需要步行的距离之比是
____。
(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:要使两个班在最短时间内到达,只有让两个班都同时运行且同
时到达。
设甲班先步 行后乘车。甲班、乙班和客车的行进路线如图所示。AB、
CD分别表示甲班和乙班步行距离。

当甲班从A地行至B地时,汽车共行了:AB+2·BC。
又汽车速度是甲班的12倍,所以

同理,当乙班从C地行至D地时,汽车共行了CD+2·BC。


又,汽车速度是乙班的16倍,所以


AB∶CD=15∶11。

即甲班与乙班需要步行的距离之比为15∶11。
例13 王经理总是上 午8点钟乘公司的汽车去上班。有一天,他6点
40分就步行上班,而汽车仍按以前的时间从公司出发, 去接经理,结果
在路途中接到了他。因此,王经理这天比平时提前16分钟到达公司。那
么汽车 的速度是王经理步行速度的____倍。
(《小学生科普报》小学数学奥林匹克通讯赛试题)
讲析:如图,A点表示王经理家,B点表示公司,C点表示汽车接王
经理之处。

王经理比平时提前16分钟到达公司,而这16分钟实际上是汽车少走
了2·AC而剩下的 时间,则汽车行AC路程需要8分钟,所以汽车到达C
点接到王经理的时间是7点52分钟。
王经理步行时间是从6点40分到7点52分,共行72分钟。
因此,汽车速度是王经理步行速度的72÷8=9(倍)。
【倍数问题】
例1 仓库里 有两个货位,第一货位上有78箱货物,第二货位上有42
箱货物,两个货位上各运走了相同的箱数之后 ,第一货位上的箱数还比第
二货位上的箱数多2倍。两个货位上各运走了多少箱货物
(1994年天津市小学数学竞赛试题)
讲析:因为两堆货物各运走相同数量的货物之后,第一堆 比第二堆货
物多2倍。即此时第一堆货物是第二堆货物的3倍。


所以,4 2的3倍的积与78的差,就是两堆中各运走货物的箱数的2
倍。故两个货位各运走的货物箱数是(42 ×3-78)÷2=24(箱)。
例2 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金 是每
个二等奖奖金的2倍,每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评
一、二、三等奖各 两人,那么每个一等奖的奖金是308元;如果评一个一
等奖,两个二等奖,三个三等奖,那么一等奖的 奖金是多少元
(全国第二届“华杯赛”复赛试题)
讲析:我们可将二等奖和三等奖都换成一等奖。

如果评1个一等奖,2个二等奖,3个三等奖时,每个一等奖的奖金
为:0

例3 甲、乙两个小朋友各有一袋糖,每袋糖都不到20粒。如果甲给
乙一定数量的糖后,甲的糖就是乙 的糖粒数的2倍。如果乙给甲同样数量
的糖后,甲的糖就是乙的糖粒数的3倍。那么,甲、乙两个小朋友 共有糖
____粒。
(1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题)。
讲 析:甲给乙一定数量的糖之后,甲是乙的2倍。这说明甲乙两个糖
数之和是3的倍数;同理,乙给甲一定 数量的糖后,甲是乙的3倍,这说
明甲乙两个糖数之和又是4的倍数。
所以,甲、乙两人糖粒总数一定是12的倍数。
又,每袋糖都不到20粒,所以甲乙两个糖数之和应为12、24、36
中的一个数。
经检验,当总糖数是24时,即甲为17粒、乙为7粒时,符合要求。
即两个小明友共有糖24粒。
例4 一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送
往考场。一小用的汽车 ,每车坐15人,二小用的汽车,每车坐13人,结
果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个 人参赛,这样两校需


要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一人参加竞赛,二小 又要
比一小多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛
(全国第一届“华杯赛”决赛试题)
讲析:原来二小比一小多一辆车,各增加一人后,两校所需车 一样多。
由此可见,一小增一人就要增加一辆车,所以原来汽车恰好全部坐满,即
原来一小人数 是15的倍数。
后来又增加1人,这时二小又要多派一辆车,所以在第二次增加人数
之前 ,二小的车也恰好坐满。即人数是13的倍数。
因此,原来每校参加的人数都是15的倍数。而加1之后,是13的倍
数。
即求15的某个倍数恰等于13的倍数减1。
因为15×6=90,13×7=91,所以,两校各有92人参加竞赛。
从而可知,两校共有184人参加竞赛。
【年龄问题】
例1 小明今年5岁,爸爸的年龄是小明的7倍,再过多少年爸爸的
年龄是小明年龄的3倍
(1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题)
讲析:可先求出当爸爸年龄是小明年龄的3倍时,小明的年龄是多少
岁:
(5×7-5)÷(3-1)=15(岁)。
故,再过10年,爸爸的年龄是小明年龄的3倍。
例2 今年祖父的年龄是小明年龄的6倍。几年后,祖父年龄是小明
年龄的5倍。又过几年 后,祖父年龄是小明年龄的4倍。问:祖父今年多
少岁
(全国第二届“华杯赛”少年数学竞赛试题)
讲析:因为今年祖父年龄是小明年龄的6倍。所以,年龄差是小明年
龄的5倍,即一定是5的倍数。
同理,又过几年后,祖父的年龄分别是小明年龄的5倍和4倍,可知
年龄差也是4和3的倍 数。而年龄差是不变的。


由3、4、5的公倍数是60、120、……可知,60是比较合理的。所以,
小明今年的年龄是60÷(6-1)=12(岁);
祖父今年的年龄是12×6=72(岁)。
例3 1994年姐妹两人年龄之和是55岁。若干年前,当姐姐的年龄只
有妹妹现在这么 大时,妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半。姐姐是哪一年
出生的
(长沙地区数学竞赛预选赛试题)
讲析:设若干年前,妹妹的年龄为x岁,则现在妹妹为2x岁; 姐姐
在“若干年前”那一年的年龄也为2x岁,则姐姐现在的年龄为3x岁。
由2x+3x=55,可知,x=11。
所以,今年姐姐的年龄是3×11=33(岁)。
故姐姐是1960年出生的。
【时钟问题】
例1 把一个时钟改装成一个 玩具钟,使得时针每转一圈,分针转16
圈,秒针转36圈。开始时三针重合。问:在时针旋转一周的过 程中,三
针重合了几次(不计起始和终止的位置)
(全国第三届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:如图,设时针和分针第一次在B点重合。从开始到 重合,时针
走了AB,而分针走了一圈后再又走AB。








例2 7点____分的时候,分针落后于时针100°。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:7点整时,分针落后于时针210°,时针每分钟走°,分针每
分钟走6°,依照追及问题有:
(210-100)÷()=20(分钟)。
故,在7点20分钟的时候,分针落后时针100°。
【其他问题】
例1如图是一个围 棋盘,还有一堆围棋子,将这堆棋子往棋盘上放,
当按格点摆成某个正方阵时,尚多余12枚棋子,如果 要将这个正方阵改
摆成每边各加一枚棋子的正方阵,则差9枚棋子才能摆满。
问:这堆棋子原有多少枚
(全国第四届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:把这堆棋 子摆成正方形实心方阵,还多余12枚,若把这个正
方阵每边各加一枚棋子时,其贴边加上的棋子为12 +9=21(枚)。

所以,新方阵每边棋子数为(21+1)÷2=11(枚)。从而 可知,原来
这堆棋子共有11×11-9=112(枚)。
例2 小玲从家去学校,如果 每分钟走80米,结果比上课时间提前6
分钟到校;如果每分钟走50米,则要迟到3分钟,小玲的家到 学校的路
程有多远


(西南地区小学数学竞赛试题)
讲析: 本题属于盈亏问题,提前6分钟和迟到3分钟,所相差的距离,
是由于每分钟相差30米而造成的。
∴(80×6+50×3)÷(80-50)=21(分钟);
80×(21-6)=1200(米)
即小玲家到学校有1200米。

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