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基础数学论文 作者：孟正平
谈一谈椭圆周长公式的求法
基础数学对于我们各各学科的发展中都起着非常重 要的作用，但在
基础数学领域中也有许多令我们无法精确解决的问题。比如：如何精确
计算椭圆 周长公式，体现在实际应用中的像在航天方面如何更精确计算
卫星所经过的轨道等等。基础数学看上去是 很枯燥的，但它是值得我们
深入探究的一门基础学科，在十几年的学习和研究过程中，数学的魅力
深深地吸引着我。
为了让我们比较容易地了解椭圆，请看下面圆在各种情况下的投影
图；在 投影图中，我们假定光线垂直射向纸面，那么
1) 当圆面平行于纸面时，则圆在纸面上的投影就是圆本身，此时b=a。
2）当圆面与纸面倾斜任意角度α时
（α>0℃，α<90℃），则圆在纸面上
的投影都是椭圆，此时b≠a，b≠0。
3）当圆面垂直于纸面时，则圆的上半
周与下半周重合，他们在纸面上的投
影是圆的两条重合的直径，此时b＝0。
以上投影图的描述就是椭圆变化的全过程，任何椭圆都可以在这个
变化过程中找到。
椭圆是人们很熟悉的几何图形，可是要想计算他的周长可不是那么
容易，请看高等数学关于椭圆周长的证 明；

椭圆投影图
L＝4a

2
1e
2cos
2
t
dt＝4a·E(e·π2)
0
由上式的证明可以导出：
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基础数学论文 作者：孟正平


1

2
2

1•3< br>
2
e
4

1•3•5

2
e6

L
1
2


1

e




22•432•4•65
 







2

4


6
25

8

L2



ab


1

46425616384

c
注：
e
a
a
2
b
2
ab
,


,当b=a时 ，则e=λ=0,这时：
a
ab
L
1
2

a

1000

2

a
L
2



aa

10000
< br>
当b=0时，则e=λ=1,这时：


1

2

1•3

2
1

1•3•5

2
1

L
1
2

a

1







2

2•4

3

2•4•6

5



125

11

L
2< br>


a0


1

46425616384

演示表明：L
1
和L
2< br>仅是椭圆的近似公式，迄今为止高等数学也不能
彻底精确地解决椭圆周长的计算问题。
我通过大量的实验、观察与计算求导出来的以下精确计算椭圆周长
的公式，其中c
2
= a
2
-b
2
当b＞a2时，

2ab
2

a2b


222
L

b4c




b4c

22
ac

ab

222
当b＝a2时， L

2
b
2
4c
2

2a
22

b4c
2
（中点公式）
ab
当b＜a2时，

2aa
2

a2b< br>

222
L

b4c



b4c


22
bc

ab
222
以上这三个公式实质是一个公式，它表明了椭圆的不同状态，这种状态
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也包含了椭圆周长的一切变化过程。
当b=a时，
L
< br>a

a2

a
（圆的周长公式）
当b=0时，
L2a2a4a
（圆的两条直径）
可见这个新椭圆公式不仅可以描绘椭圆周长的变化过程，而且完整
具体，具备公式的一般形式。
现在我们用现实的例子进行验证：
神州五号飞船的近地点为200公里，远地点为343公里 ，地球半径
约为6371公里，据此可以求出：a＝6642.5公里，b＝6642.115175公 里，
c＝71.5公里，这是一个十分接近于圆的椭圆轨道，把a、b、c的值代入
公式得：

2ab
2

a2b


222
L＝

b4c




b4c
2 2
ac

ab

222
＝435424186.8 ＋20449＋

1.000028967－1.299.28961

4 3524186.8＋20449

＝41734.9091公里 （飞船椭圆轨道的周长）
公式L的使用说明：
b
2

a2b

2a
一、 当的小数部分的第一 位或连续多位是零时，那么的值
22
ac
a＋b
的第一位非零数字，都应与< br>2a
的小数部分的第二位非零数字对
a＋b
齐后在相减，如上式中括号内两个带 箭头的数字所示
二、 当
2a
的小数部分的第一位是非零数字时，就可以按小数的减 法
a＋b
规则正常相减。
验证：因为
2

a


aa

，所以当椭圆十分接近于圆时，用


ab

来计算
椭圆的周长误差会很微小，此时会出现，
L

ab

的现象，因为


ab

＝41734.84945，L＝41734.9091公里 （实际值）

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如果用L
1
和L
2
来计算椭圆周长，不仅计算过程非 常烦琐，而且当
椭圆特别扁时，则L
1
和L
2
将会失去意义，无法进 行精确计算。而新椭
圆周长公式则可以轻而易举地进行精确计算。
在新椭圆周长公式中，它的 脊梁“中点公式”是证明出来的，其余
部分是由大量的数学实验和计算后，与实际椭圆周长相比较而猜导 出来
的，它是通过集体智慧而挖掘出来的。
实践是检验真理的唯一标准，以现在的科技手段要 想精确的测出任
何椭圆的周长应该不是难事，有了新椭圆公式计算也将变得很容易。用
任意一个 标准椭圆沿直线滚动一周，即可测出该椭圆的周长，只要能多
试一试则可以验证公式的正确性和适用性。
仁者见仁，智者见智。祖国和民族的利益高于一切，随着我国基础
数学事业的快速发展，也将使 我国在基础研究领域方面对世界产生深远
的影响。
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