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椭周公式推导圆长的

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椭圆周长
椭圆是个不怎么完美的图形，因为它的面积有确 切公
式可以计算，但其周长却不能“精确”的计算出来，经过
数学家的计算与证明，最终得出椭 圆周长没有精确的初等
公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周
长进行的计算， 原理很简单，但计算过程可能很复杂。


在平面坐标系内
x
2
y
2
椭圆的标准方程为
2

2
1
，
a0,b0.

ab
参数方程为
xacos

,ybsin

,

0

2



当
ab
时，椭圆图像为

微积分是个好工具，他帮人类解决了很 多复杂问题。
这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知识。
若某条光滑曲线，能用参数方程表示
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xX

t

，
yY

t


当

t

时，该段曲线的长度
L
可表示为 < br>L




X'

t




Y'

t


22
dt< br>
下面借此公式来计算椭圆的周长，由于椭圆关于坐标
原点对称，计算起来比较方便。设 椭圆周长为L,则

L4

2
0
a
2
sin
2

b
2
cos
2

d

a
2
1cos
2

b
2
cos2

d


4

2
0


4a

2
0
1ecos

d

22

1
…………………○
其中
e
a2
b
2
c

，椭圆的离心率。
2
a
a
这个积分很难求出来，需要用一定的技巧：先用泰勒公
式把
1e
2cos
2

展开。

1x

k
 1kx
2
k

k1

2
k(k1)(k 2)
3
xx
……
2!3!
当
k
1
时，可得

x1

1x1

2
n2

n1

2 n3

!!x
n
2
n
n!

22
在此式中令
xecos

可得
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222n2n


ecos

2n3!!ecos

22< br>1ecos

1

n

2
2n!
n2
2
……………○
其中

2n1

!!135

2n1

2
式代入○
1
式周长L的计算试中后，那个复杂的定积把○
分 便能迎刃而解了，所以
222n2n


ecos

2 n3!!ecos

2
L4a

1

d< br>
n
0
22n!
n2



< br>e
2
4a




22

2n


2n3!!e
2
2
cos

d




n

0
2n!
n 2






2
cos
d




0



2n
3
……………○
这个式子还是很复杂，需要把中括号部分进行化简变换
一下。先求出
1 35

2n1




cos< br>
d


2

4

6
< br>2n2


2n1

!!


n
2
2n!
2
0
2n

4
………………○
4
式代入○
3
式，周长L就能很快得出来了。于是 把○
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


e
2

1




1•3•5

2n3

2n1

e
n
L4a







< br>2
n
2222

n2

2n!

2n1







2







2




2
2n





1•3 •5

2n1


e


2

a

1








2•4•62n

2n1




n1


2





2n1

!!

e
2n




2

a

1






2n

!!

2n1









n 1



这就是椭圆周长的公式，既著名的“项名达公式”，相
当的复杂，这应该是最精确的了，另外还有很多的近似公
式，不过误差太大，但可以满足工程上 的应用。现在科技
如此发达，有一些数学软件可以计算出椭圆周长，而且结
果相当的准确。计算 原理就是定积分的应用，但这个积分
不容易求出来，需要有一定的数学能力，有一定的耐心，
以 及对泰勒公式的应用要求较高。对周长级数形式L进行
展开得


1

2
e
2

13

e
4
135

e
6

1357

e
8
L2

a

1



•



••



•••






2

1

24

3

246

5

24 68

7

5
……………○
a
2
b< br>2
e
a
2
其中为半长轴，
a
为椭圆的离心率。 < br>x
2
y
2
例如,当椭圆方程为
25

16< br>1
时，
a5
，
b4
，
e
3

5
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则周长为


1

2
2

13

2
e
4

135

2
e
6

1357

2
e
8

L2

a

1

e

•



••



•••


24

3

246

5

2468< br>
7



2


28.36


另外有些近似公式作的也很好，例如

3

L



ab

ab


2


5
式近似计算来的，计算精度还行，推其实它是根据○
导过程有点复杂。
椭 圆周长的计算方法有很多，这只是其中一种而已，但
得到的结果都不“完美”，任然需要科学爱好者努力 攻克
这个小小的问题。
当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾
之一， 现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值， 这也是
科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分 有意
义的。认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因
为科学是发展的，科学是循序渐进 的过程。科学探索的过
程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明
天的正确，如果 没有这样的观念，科学也就难于进步。

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